Esercizi sulle funzioni polidrome (non svolti a lezione per mancanza ...

Esercizi sulle funzioni polidrome (non svolti a lezione per mancanza di
tempo)
ACHTUNG: Questi appunti sono pieni di errori... Okkio...
Esercizio 1
Calcolare in campo complesso, l’integrale
2π
dθ
I =
(2 + cos θ) 2
0
con le solite sostituzioni, diventa l’integrale sulla circonferenza unitaria di
dz
I =
iz
1
4
iz(4 + z + z−1
dz =
) 2
−4iz
(z2 + 4iz + 1) 2
(2 + z+z−1
2 ) 2 =
L’integrale ha due poli doppi
z1 = −2 + √ 3
z2 = −2 − √ 3
ma solo z1 è all’interno del cammino di integrazione.
per cui
f(z) =
−4iz
(z − z1) 2 (z − z2) 2
d 4z
Res[f(z); z1] = − i
dz (z − z2) 2
(z − z2)
= −4i
z1
2 − 2z(z − z2)
(z − z2) 4
z − z2 − 2z
−4i
(z − z2) 3
z + z2
= 4i
(z − z2) 3
I = 8π z1 + z2
−4
= −8π
(z1 − z2) 3
8 · 3 √ 4π
=
3 3 √ 3
Esercizio 2
Calcolare l’integrale
∞
sin x
I =
x dx
0
Notando che l’integrando è dispari e che sinx = eix +e −ix
2i :
z1
I = 1
+∞
e
2i −∞
ix
x +
+∞
−∞
e−ix
x
z1
= 1
4i (I1 + I2)
1
z1
=

Dove, con il Lemma di Jordan, I1 va integrato in campo complesso sul semipiano
positivo, mentre I2 sul semipiano negativo. Dedichiamoci a I1
I1 = lim
r→0 lim
R→∞
C(R)
quindi
∞
2
da cui
r
lim
r→0 i
∞
2
0
−r
−R
eiz dz = 0 =
z
eix R
e
dx +
x r
ix
x dx
−r ∞
(...)dx + (...)dx +
−∞
eix
dx =
x + 1
2 c(r)
π
0
e ireiθ
dθ = iπ
eix dx = iπ
x
eiz dz = i
z
r
π
0
e ireiθ
dθ
− 1
2 c(r)
Da ricordare la formula:
∞
P dx
−∞
f(x)
= 2πi
x − x0
Res[f(z); zk] + iπf(x0)
Imzk>0
oppure, se chiudo il cerchio nel semipiano inferiore
∞
P dx
−∞
f(x)
= 2πi
x − x0
Res[f(z); zk] − iπf(x0)
Imzk

che, infatti tende a zero per ɛ → 0 e a infinito per R → ∞.
A causa della polidromia, z assume valori diversi su L1 e L2
per cui
L1 : z = x
L2 : z = z + e 2πi
IC =
0
L1
f(z)dz +
x p−1
x 2 + 1 dx
f(z)dz =
L2
xp−1e2π(p−1)i ∞
x
0
p−1
x2 ∞
dx −
+ 1 0 x2 dx =
+ 1
∞
x
0
p−1
x2 + 1 dx
· 1 − e 2π(p−1)i
=
∞
· 2ie π(p−1)i
sin(πp)
A questo punto restano da calcolare i residui della funzione
p−1 z
Res[f(z); z = +i] =
=
z + i
e π
2 (p−1)i
=
2i
−iei π
2i
Quindi
p−1 z
Res[f(z); z = −i] =
z − i
z=i
z=−i
= − 1 3iπ
e 2
2 p
2 p
iπ
= −1 e 2
2 p
IC = − 1
e
2
iπ
2 p + e 3iπ
2 p
= − eiπp −i
e
2
π
2 p π +i
+ e 2 p = −e iπp cos( π
2 p)
∞
x
I =
p−1
x2 + 1 dx = 2πi −eiπp cos( π
2 p)
2ieπ(p−1)i sin(πp) =
0
Esercizio 4
Risolvere
∞
I = (log x) n R(x)dx
0
Qualche richiamo preliminare sui logaritmi...
log z = log(ρe iθ ) = log ρ + iθ
π
2 sin( πp
2 )
Considerata la funzione f(z) = 1/z, il logaritmo puo’ essere definito come la sua
primitiva. Siccome la f(z) e’ singolare nell’origine, il suo integrale e’ definito a
meno di una costante, cioe’ del numero di avvitamenti intorno all’origine (winding
number).
g(z) =
C(1,z)
= dz′
= log z + 2πn = Logz
z ′
3

Le proprieta’ dei logaritmi imparate nel calcolo reale, valgono nel calcolo complesso
solo per Logz.
ma
log(z1 · z2) = log z1 + log z2
Log(z1 · z2) = Logz1 + Logz2
Notiamo che anche l’∞ e’ una singolarita’:
Log(1/z) = −Logz
Riassumendo
Logz = Log(ρe iθ ) = log ρ + iθ + 2iπn
Se 0 ≤ θ ≤ 2π la funzione ha una discontinuita’ sull’asse reale per x > 0 e il taglio
va effettuato da 0 a +∞ Calcoliamo qual’e’ la discontinuita’ del logaritmo:
∆f(x) = lim log(xe
ɛ→0
iɛ ) − log(xe i(2π−ɛ)
) =
lim [log x + iɛ − log x − i2π + iɛ] = −2πi
ɛ→0
Fine della digressione
Quando andiamo a integrare in campo complesso, gli integrali sui cerchi non
contano. Quello che serve e’ trovare un salto di polidromia che equivalga all’integrale
che vogliamo calcolare nel campo reale. In questo caso dobbiamo cercare una
funzione f(z) definita in campo complesso, tale che ∆f(x) = (log x) n R(x)
Per n = 0: ∆f(x) = R(x)
In questo caso serve una funzione la cui discontinuita’ sia una costante. In
questo caso e’ semplice e’ trovare la soluzione
∆g(z) = 1
La funzione che ha discontinuita’ costante e’ proprio il logaritmo.
Quindi
∆ log z = 2πi
g(z) = i
log z
2π
f(z) = i
log zR(z)
2π
Passiamo a n = 1 In questo caso deve essere
∆g(z) = log z
Proviamo a sviluppare e poi a fare l’eguaglianza tra i coefficienti:
∆(log z) 2 = lim
ɛ→0
(log xe iɛ ) 2
− log(xe (2π−ɛ)i
2
) =
= (log x) 2 − (log x + 2πi) 2 = −4πi log x + 4π 2
4

g(z) = A(log z) 2 + B log z
∆g(z) = A(−4πi log x + 4π 2 ) + B(−2πi) = log x
Facendo i conti si ottiene che A = i
4π
f(z) = g(z)R(z) =
e B = 1/2 Quindi
i
4π log2 z + 1
log z R(z)
2
Dimostriamo la formula per n qualsiasi. Ricordando che xα e’ funzione polidroma
e che il suo salto vale 2πiα, e ponendo xα α log x = e
1 − e 2πiα ∞
0
dxe α log x R(x) = 2πi
Res[e α log z R(z); zk]
Sviluppando entrambi i membri in serie di potenze
α
n
n ∞
dx(log x)
n! 0
n R(x) − α
n
n ∞
dx(log x + 2πi)
n! 0
n R(x) =
2πi αn
Res[(log z)
n!
n R(z); zk]
n
k
Quindi, il risultato finale dell’esercizio e’
∞
dx [(log x) n − (log x + 2πi) n ] R(x) = 2πi
Res[(log z) n R(z); zk]
0
5
k
k