Prova scritta di MATEMATICA DISCRETA - LS Ingegneria Informatica

Prova scritta di MATEMATICA DISCRETA - LS Ingegneria Informatica - 16/03/04 1
COGNOME: NOME:
TEST – Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda.
Risposte
Domande 1 2 3 4 5 6 7
1 Sia X un insieme ed A1, A2, . . . , An suoi sottoinsiemi finiti. Allora:
[1] #(∪ n i=1 Ai) =
I⊆{1,...,n},I=∅ (−1)#I #(∩j∈IAj)
[2] #(∪ n i=1 Ai) =
i=1,...,n #(Ai)
[3] #(∪ n i=1 Ai) =
I⊆{1,...,n},I=∅ (−1)#I−1 #(∩j∈IAj)
[4] #(∪ n i=1 Ai) =
j=1,...,n (−1)j−1 #(∩i=1,...,jAi)
2 Denotiamo con ψ(n) il valore della funzione di Eulero per n ∈ Z + . La relazione
a ψ(n)+1 ≡ a mod n
[1] é sempre vera, per ogni a ∈ Z
[2] é vera a ∈ Z solo se n é primo
[3] é vera solo se MCD(a, n) = 1
[4] é vera per ogni a ∈ Z tale che MCD(a, n) = 1, ed é vera per ogni a ∈ Z se n é libero da quadrati
3 Sia A un insieme numerabile. La seguente affermazione é in generale falsa:
[1] A × A ha la potenza del continuo
[2] Ogni sottoinsieme di A é discreto
[3] L’insieme delle parti di A ha la potenza del continuo
[4] L’insieme delle parti di A é in corrispondenza biunivoca con le successioni a valori in {0,1}
4 Sia X un alfabeto (ordinato) di 10 lettere. Quante sono le parole (non vuote) nell’alfabeto X aventi lunghezza ≤ 4 e
tali che ogni lettera sia - nell’ordine alfabetico fissato - minore o uguale alla successiva?
[1] 210
[2] nessuna delle precedenti
[3] 1000
[4] 10000
5 Sia A l’insieme dei grafi connessi con insieme dei vertici V = {v1, v2, v3, v4}. Sia ∼ la relazione di equivalenza su A
definita da
G ∼ G ′ se e solo se #(E) + #(E ′ ) ∈ P
Allora, il quoziente A
∼
[1] é costituito da due elementi, ovvero [G1] e [G2], con score(G1)=(2,2,2,2) e score(G2)=(3,3,3,3).
[2] é costituito da due elementi, ovvero [G1] e [G2], con score(G1)=(2,2,2,2) e score(G2)=(1,1,2,2).
[3] é costituito da due elementi, ovvero [G1] e [G2], con score(G1)=(1,1,1,1) e score(G2)=(2,2,2,2).
[4] é costituito da un solo elemento.
6 Le soluzioni della congruenza 14x ≡ 21 mod 77 sono:
[1] [7], [18], [29], [40], [51], [62] e [73] in Z77
[2] [7], [29], [51] e [73] in Z77
[3] [7] in Z11
[4] [7] e [-4] in Z11
7 In un mazzo da 52 carte, quante mani realizzano un tris di donne?
[1] 1584
[2] 8448
[3] 4224
[4] nessuna delle precedenti
ESERCIZI – Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi.
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Esercizio n. 1 – Si determinino, se esistono, tutte le soluzioni ¯x del seguente sistema di congruenze, con 100 ≤ ¯x ≤ 300:
⎧
⎪⎨ 2x + 2 ≡ −x + 4 mod 7
2x + 1 ≡ x mod 6
⎪⎩
3x ≡ 1 mod 5
Esercizio n. 2 – Dire se esistono, e in caso affermativo determinare, le soluzioni intere delle seguenti equazioni: (a)
148x + 212y = 12 (b) 148x + 212y = 2
Esercizio n. 3 – Si risolva la seguente equazione ricorsiva:
an = an−1 + 2(n − 1), n ≥ 2
a1 = 2
Esercizio n. 4 – Si risolva la seguente equazione ricorsiva:
⎧
⎪⎨ an = 7an−1 − 12an−2, n ≥ 2
a0 = 1
⎪⎩
a1 = 2
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Stringa risposte corrette domande test:
N.C. D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
1 3 4 1 3 2 1 3
Risposte corrette esercizi:
Es. 1: Sol. generale: ¯x = 17 + 210h, h ∈ Z. Unica sol. nell’intervallo richiesto: ¯x = 227.
Es. 2: (a) ammette soluzioni e (b) no, perch MCD(148, 212) = 4.
Soluzioni di (a): {(−30 + 212/4h, 21 − 148/4h) = (−30 + 53h, 21 − 37h), / h ∈ Z}.
Es. 3: an = n 2 − n + 2
Es. 4: an = −1 · 4 n + 2 · 3 n
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