Esercizi sulle variabili aleatorie

Esercitazioni del corso di Statistica
Prof. Mortera – a.a. 2010/2011
Esercizi sulle variabili aleatorie
1. Avete risparmiato 10 dollari che volete investire per un anno in azioni (A)
e/o buoni del tesoro a breve termine (T). Ovviamente i ricavi sono incerti
come risulta dalla seguente tabella delle probabilità soggettive
A
T -10% 0 10% 20%
6% 0 0 0,10 0,10
8% 0 0,10 0,30 0,20
10% 0,10 0,10 0 0
a) Calcolare la covarianza tra A e T
b) Se investite l’intera somma in azioni, quale sarà il valore atteso del
vostro ricavo? E la deviazione standard?
c) Si ripeta l’esercizio per i casi seguenti
• i 10$ vengono investiti interamente in buoni del tesoro
• 5$ sono investiti in azioni e 5$ sono investiti in buoni del tesoro
Chiaramente desiderate che il vostro investimento conduca ad un
elevato ricavo atteso (µ grande) e ad un basso rischio (σ piccolo).
Quale scelta di portafoglio porta ad un µ massimo? Quale il σ più
piccolo?
2. Sulla base delle esperienze passate, il gestore di un negozio sportivo di
biciclette ipotizza che il numero di biciclette (X) che verranno vendute il
prossimo anno saranno fra 40 e 90, con la seguente distribuzione
X p(X = x)
40 0,05
50 0,15
60 0,41
70 0,34
80 0,04
90 0,01
a Qual è il numero medio e la deviazione standard di biciclette vendute?
b Se il gestore ordina 60 biciclette, con quale probabilità saranno tutte
vendute? Con quale probabilità rimarranno scorte di magazzino non
desiderate?
c Per essere pressoché certo (al 95%) di avere un numero sufficiente di
biciclette, quante ne dovrebbe ordinare?
1

3. La Wildcat Oil Exploration ha deciso di impiegare tutte le risorse di cui
dispone per finanziare 10 perforazioni. Ognuna ha il 20% di probabilità
di successo (che produca petrolio), ed è indipendente da ciò che avviene
nelle altre perforazioni.
Per evitare la bancarotta, almeno 3 perforazioni devono produrre petrolio.
Qual è la probabilità che eviti la bancarotta?
4. Un esame a risposta multipla è composto da 10 domande, ognuna con 5
risposte di cui solo una esatta. Perché l’esame venga superato, si deve dare
la risposta giusta ad almeno 6 domande. Con quale probabilità l’esame
viene superato se:
a si sostiene l’esame senza sapere nulla, e a ogni domanda si sceglie una
risposta a caso fra le 5 disponibili
b si è studiato abbastanza da eliminare 3 risposte per ogni domanda: lo
studente risponde a caso fra le restanti 2 risposte rimaste
c si è studiato abbastanza da essere sicuri della risposta corretta su 2
domande. Per le restanti 8 domande la risposta viene scelta a caso
fra le 5 opzioni
5. Johnson’s Sports (affitto barche sportive) dovrà riparare le barche a vela
danneggiate. Esperienze passate indicano che ognuna delle 5 barche ha
il 50% di probabilità di avere necessità di riparazioni, indipendentemente
dalle altre. La riparazione di una barca costa 600$. Si determini il costo
atteso delle riparazioni.
6. Si supponga che il numero di chiamate che arrivano ogni secondo ad un
centralino telefonico sia una variabile di Poisson con media 5.
a Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi
nessuna chiamata.
b Supponendo che il centralino sia in grado di soddisfare non più di 3
chiamate al secondo, calcolare la probabilità di trovarlo occupato.
7. Le Hawaii hanno una popolazione di 1.100.000 individui, 60% di origine
asiatica, 39% bianchi e 1% neri. Se viene estratto un campione di 7 persone
a qual è la probabilità che la maggioranza sia asiatica?
b qual è la probabilità che nessuno sia nero?
c qual è il numero atteso e la deviazione standard del numero di asiatici
nel campione?
d se viene estratto un campione di 500 persone, come si trasformano le
probabilità dei punti a e b?
8. Sia X distribuita come una normale di media 16 e deviazione standard 5.
Si determinino:
2

a P (X > 20)
b P (20 < X < 25)
c P (X < 10)
d P (12 < X < 24)
9. Una coppia di sposi non sa se comprare casa subito o aspettare un anno,
nel qual caso l’incremento di prezzo può essere oltre le loro disponibilità.
La loro previsione è che, se aspettano un anno, l’incremento di prezzo sarà
approssimativamente normale, con media 8% e, riflettendo l’incertezza del
mercato, deviazione standard 10%.
a Se il prezzo cresce oltre il 25% non possono acquistare casa. Qual è la
probabilità che ciò avvenga?
b D’altro canto, se il prezzo scende la loro scommessa di aspettare un
anno viene premiata. Con quale probabilità si verifica?
10. Il tempo necessario per completare un compito d’esame è distribuito come
una normale di media 110 minuti e deviazione standard 20 minuti.
a Qual è la frazione di studenti che finisce il compito entro 2 ore?
b Quando si dovrebbe interrompere il compito per consentire al 90% degli
studenti di completarlo?
11. I fusti di albero inviati in falegnameria hanno diametro (D) e altezza (H)
(misurati in piedi) che seguono la seguente distribuzione
H
D 20 25
1.0 .15 .09
1.25 .15 .30
1.50 .03 .17
1.75 .00 .10
a Determinare la media e la varianza di D condizionatamente a H = 25
b Determinare la media e la varianza di H per i fusti di diametro D = 1.50
c Determinare la media di H, la varianza di H e la covarianza tra D e H
d Determinare il coefficiente di correlazione tra D e H e interpretare il
risultato
12. Le lavatrici di una azienda hanno durata media di 5 anni e varianza
64 mesi 2 . Assumendo che la distribuzione della durata segua una distribuzione
normale:
a si stabilisca quale garanzia l’azienda deve offrire alla clientela in modo
che durante il periodo di garanzia l’azienda sia chiamata a riparare
solo lo 0, 1% delle lavatrici vendute;
3

si determini la percentuale di macchine che l’azienda dovrà riparare nel
caso in cui la garanzia è fissata a 2 anni.
13. Un’industria adotta per la propria produzione due diversi cicli produttivi.
In particolare, il 25% della produzione giornaliera deriva dal primo
ciclo e il restante 75% dal secondo. Definendo con X e Y le variabili
casuali associate alla produzione giornaliera, rispettivamente del primo
e del secondo ciclo produttivo, e sapendo che X ∼ N(1200, 64) e Y ∼
N(1230, 100), determinare la probabilità che la produzione giornaliera
complessiva dell’industria sia compresa tra 1200 e 1220.
14. Un autore ha stipulato un contratto con un editore per la pubblicazione
di un libro, secondo il quale riceve una somma forfettaria di lire 2 milioni
più lire 2000 per ogni copia venduta. L’autore ritiene che il numero delle
copie vendute possa essere rappresentato da una variabile casuale normale
di media 40000 e deviazione standard 10000. Qual è la probabilità che
l’autore riceva dall’editore una somma superiore a 40 milioni?
15. In una sala cinematografica si svolgono due spettacoli serali per 280 giorni
l’anno. Sia X il numero di spettatori presenti ad un dato spettacolo e
si supponga che E(X) = 60 e V ar(X) = 900. Supponendo che P (X <
40) = 0.4 e P (X > 120) = 0.005 e considerando i 4 spettacoli che hanno
luogo in due giorni successivi, calcolare sotto l’ipotesi di indipendenza la
probabilità che:
a non più di una volta ci siano meno di 40 spettatori;
b almeno una volta ci siano più di 120 spettatori;
c in due spettacoli ci siano meno di 40 spettatori;
d in uno spettacolo ci siano più di 120 spettatori.
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