Cenni sulla meccanica quantistica di Feynman - Ademollo

Con questo valore di Aɛ, il secondo membro della (20) definisce la somma sui cammini. Questa
espressione viene generalmente chiamata integrale sui cammini (path integral), o anche integrale
Dx(t). La (20) si scrive allora simbolicamente
funzionale e la si indica col simbolo b
a
b
(22) K(b, a) =
4 Esempio: la particella libera
a
i
Dx(t) exp
S[x(t)]
.
Per illustrare in un caso semplice il metodo della somma sui cammini descritto sopra, ci proponiamo
di calcolare l’ampiezza di Feynman K(b, a) per una particella libera. Partiamo dalle
equazioni (20) e (19) con V = 0 e scriviamo
(23) K(b, a) = lim
N→∞ Aɛ
N−1
r=1
Aɛ
∞
im
dxr exp
−∞
2ɛ
N
i=1
(xi − xi−1) 2
Facciamo per primo l’integrale su x1, prendendo solo i fattori che dipendono da x1 e utilizzando
la formula
∞
(24)
e −αx2
+βx π
dx =
α eβ2 /4α
, Re α > 0
−∞
estesa al limite Re α → 0+. Si ottiene allora
∞
im
Aɛ dx1 exp (x1 − x0)
−∞ 2ɛ
2 2
(25)
+ (x2 − x1)
∞
m
im 2
=
dx1 exp 2x1 − 2x1(x0 + x2) + x
2πiɛ −∞ 2ɛ
2 0 + x 2
2
= 1
m
√ exp
2 4iɛ (x0 + x2) 2 + im
2ɛ (x20 + x 2
2) = 1
im
√ exp
2 2 · 2ɛ (x2 − x0) 2
.
Facciamo un secondo passo moltiplicando questo risultato per
im
Aɛ exp
2ɛ (x3 − x2) 2
e integrando su x2. Si ottiene
∞
im
Aɛ dx2 exp
−∞ 2ɛ (x3 − x2) 2
× 1
im
√ exp
2 4ɛ (x2 − x0) 2
(26)
∞
m
im
3
=
dx2 exp
4πiɛ −∞ 2ɛ 2x22 − x2(x0 + 2x3) + ( 1
2x20 + x23 )
= 1
m
√ exp
3 12iɛ (x0 + 2x3) 2 + im 1 (
2ɛ 2x20 + x23 )
= 1
im
√ exp
3 3 · 2ɛ (x3 − x0) 2
.
6
.