Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni
(A.A. 2007/08)
Roberto Casalbuoni ∗
Dipartimento di Fisica dell’Universita’ di Firenze, 50019, Firenze
Sezione INFN, 50019 Firenze
Istituto di Fisica Teorica Galileo Galilei in Arcetri, 50125 Firenze, Italy
I. Il modello a quark 2
II. Il modello a partoni 10
A. Scattering elettrone protone 10
B. Il modello a partoni 14
C. Le funzioni di struttura 18
III. Cromodinamica quantistica (QCD) 24
A. Correzioni di ordine superiore. 29
B. Lamb-shift e g − 2 33
C. Rinormalizzazione. 36
IV. Le transizioni di fase 41
A. Introduzione 41
B. La teoria di Landau delle transizioni del secondo ordine 46
C. Transizioni del 1 0 ordine 51
V. Rottura spontanea delle simmetrie 53
A. Esempio di rottura spontanea della simmetria 56
B. Il teorema di Goldstone 58
C. I modelli σ non-lineari 62
VI. Azione effettiva 66
VII. Teorie di campo a temperatura finita 69
A. Introduzione 69
B. Formalismo di Matsubara 70
C. Le frequenze di Matsubara 72
D. Path integral formulation 73
E. Correzioni di temperatura alla massa 74
VIII. La transizione chirale in QCD 75
A. Il modello σ-lineare a temperature e densità finite 77
IX. Teorie di gauge sul reticolo 81
A. Introduzione 81
B. La geometria del reticolo 82
C. Le quantità dinamiche sul reticolo 83
D. Scalari e fermioni sul reticolo 84
E. Il loop di Wilson e confinamento 88
F. L’espansione per accoppiamenti forti 89
X. QCD a densità finita 92
A. La teoria effettiva alla superficie di Fermi 93
B. Gas di fermioni libero 96
C. Correzioni a un loop 98
D. Un modello giocattolo 99
E. Superconduttività di colore 102
F. Lagrangiana effettiva per la fase CFL 104
∗ Electronic address: casalbuoni@fi.infn.it

I. IL MODELLO A QUARK
Per giustificare l’introduzione del modello a quark occorre risalire all’introduzione dell’isospin in fisica nucleare.
Nel 1932 Heisenberg aveva formulato l’ipotesi che la differenza tra il protone ed il neutrone fosse dovuta alle sole
forze elettromagnetiche, e che avessero invece lo stesso comportamento rispetto alle interazioni forti responsabili del
legame nucleare. Questo ipotesi era basata sull’idea che protone e neutrone avevano circa la stessa massa (mp =
938.272 MeV , mn = 939.57 MeV ), ma fu successivamente rinforzata dall’osservazione che i legami nucleari tra
neutrone-protone, protone-protone e neutrone-neutrone, erano con buona approssimazione identici. Questa simmetria
tra protone e neutrone (per altro solo approssimata dato che è rotta certamente dalle forze e.m.) poteva essere descritta
immaginando il protone ed il neutrone come gli stati di polarizzazione di una particella di spin 1/2. Veniva dunque
immaginata una simmetria rotazionale in uno spazio astratto, detto di isospin, nel quale il protone ed il neutrone
vengono pensati come le due componenti di un isospinore, il nucleone:
p
N =
(1.1)
n
L’insieme delle trasformazioni unitarie ed a determinante uno operanti sugli isospinori forma il gruppo SU(2) di isospin
(ricordarsi che quando si considerano gli spin seminteri occorre considerare le trasformazioni di SU(2) piuttosto che
di O(3), le rotazioni nello spazio tridimensionale). Dunque il nucleone è la rappresentazione di spin 1/2 del gruppo
SU(2) di spin isotopico. Il protone è l’elemento di questo doppietto con la componente 3 dell’isospin (T3) uguale ad
1/2, mentre il neutrone è la componente con T3 = −1/2. Possiamo anche osservare che la carica elettrica del protone
e del neutrone possono essere espresse tramite la relazione
Q = T3 + 1
2
in unità e (la carica elettrica del protone).
Nel 1934 Yukawa introdusse i pioni carichi (π ± ), e successivamente nel 1938 Kemmer il pione neutro π 0 come
responsabili delle interazioni forti. Nel linguaggio dei grafici di Feynman le interazioni tra nucleoni erano dunque
rappresentate come in Fig. 1.
n
p
p
p p
p
π
−
n p
n n n
p
π
n n
π π
0 0
n n
Figura 1 Gli scambi di pioni che danno origine alle forze tra nucleoni
L’interazione è analoga a quella dell’elettrodinamica, ma il pione, contrariamente al fotone ha spin 0 ed inoltre è
psudoscalare. Quindi l’interazione ha una forma
d 4 x jπ(x) · φπ(x) (1.3)
+
t
2
(1.2)

con la corrente del nucleone data da
jπ = igπ ¯ Nγ5 T N
con Ti = σi/2 le tre componenti dell’isospin (σi le matrici di Pauli) e φπ il campo del pione, definito in termini delle
componenti cariche come
φ ± π = φ1π ∓ iφ2 π √ , φ
2
0 π = φ 3 π (1.4)
In queste formule le componenti del nucleone vanno pensate come spinori di Dirac, e la presenza della γ5 è per
assicurare la conservazione della parità visto che il pione è pseudoscalare e quindi il suo campo cambia segno per
parità. L’interazione risulta invariante per rotazioni nello spazio dello spin isotopico, perche’ sia ¯ N T γ5N che φπ si
comportano come vettori in questo spazio. Notiamo anche che la relazione tra carica elettrica ed isospin, può essere
scritta nel caso del pione nella forma
Q = T3
Infatti le componenti φ ± π e φ 0 π hanno isospin rispettivamente +1, −1, 0. Nel 1953-55 Gell-Mann e Nishijima unificarono
queste formule per la carica elettrica, facendo uso della nozione di numero barionico, tale che
Segue allora che se scriviamo
3
(1.5)
B(N) = +1, B( ¯ N) = −1, B(π) = 0 (1.6)
Q = T3 + B
2
questa formula si applica sia ai barioni che ai mesoni. È anche da notare che l’idea di numero barionico, come quantità
esattamente conservata, fu introdotta da Stückelberg nel 1938 e rendeva conto della stabilità della materia, sebbene
ai giorni odierna questo tipo di idee sia meno apprezzato.
Nel 1947 Butler e Rochester osservarono le prime particelle strane, cioè i mesoni K, che esistono nelle forme K 0 , ¯ K 0
e K ± . La peculiarità di queste particelle era di essere prodotte in modo relativamente copioso (quantità dell’ordine
del % rispetto ai pioni), mentre il loro decadimento risultava molto lento, con vite medie di circa 10 −10 sec, tipiche
delle interazioni deboli. Pais (1950-52) dette una prima spiegazione assumendo che le particelle strane (nel frattempo
era stata rivelata la Λ 0 , barione neutro di spin 1/2) fossero prodotte in coppie (produzione associata) tramite le
interazioni forti e poi decadessero solo a causa delle interazioni deboli. Questa formulazione suggeri a Gell-Mann e
Nishijima l’esistenza di un ulteriore numero quantico conservato dalle interazioni forti, detto stranezza, ma violato
dalle interazioni deboli. Dati i processi di produzione osservati per queste particelle, l’assegnazione della stranezza
risultava compatibile con le seguenti scelte
S(π) = 0 = S(N) = 0, S(K 0 ) = −S( ¯ K 0 ) = 1, S(K ± ) = ±1, S(Λ 0 ) = −1 (1.8)
Infatti i processi tipici erano (vedi per esempio Fig. 2
(1.7)
π − + p → Λ 0 + K 0 (1.9)
p + ¯p → K 0 + ¯ K 0 (1.10)
K − + p → Λ 0 + π 0 (1.11)
Se si assegnano (K + , K 0 ) e ( ¯ K 0 , K − ) ad isodoppietti e Λ 0 ad un singoletto di isospin (consistente ancora con le
reazioni osservate), la formula per la carica elettrica può generalizzarsi ulteriormente
Infatti
Q = T3 + B
2
+ S
2
(1.12)
Q(K0 ) = − 1 1
2 + 0 + 2 = 0 (1.13)
Q(K + ) = 1
2
+ 0 + 1
2
Q(Λ 0 ) = 0 + 1
2
− 1
2
= +1 (1.14)
= 0 (1.15)

Figura 2 Un esempio di produzione associata dovuta all’interazione di un pione negativo con un protone in una camera a bolle
di idrogeno: π − + p → Λ 0 + K 0 . La Λ 0 decade in p + π − mentre il K 0 decade in π + + π −
0
− 1
− 2
S
π
Ottetto dei mesoni, mesoni,
B = 0, 0,
J = 0
−
K
K
0
π
0
η
0
K +
K +
K
− 0
π
− 1 − 1/2 0 1/2 + 1
Figura 3 Gli ottetti dei mesoni pseudoscalari e dei barioni
+
T
3
0
− 1
− 2
S
Σ
Ottetto dei barioni , B = 1, 1,
J = 1/2
−
n p
Ξ
−
Σ
0
Λ
0
Ξ
0
Σ
− 1 − 1/2 0 1/2 + 1
Se si riportano gli stati noti dei barioni e dei mesoni, mettendo insieme gli stati vicini in massa, in un grafico (T3, S),
si vede che questi si dispongono con grande regolarità in ottetti e decupletti (vedi Figure 3 e 4). Nel 1961 Gell-Mann
e Ne’eman spiegarono questa regolarità assumendo che la simmetria delle interazioni forti fosse legata ad un gruppo
di simmetria piú grande dell’SU(2) di isospin e proposero il gruppo SU(3), che contiene SU(2) come sottogruppo
ed ha tra i suoi generatori la stranezza S. Cosí come SU(2) è il gruppo delle matrici 2 × 2 complesse, unitarie ed
a determinante uno, che agisce sui vettori complessi a due componenti (spinori), SU(3) è il gruppo delle matrici
3 × 3 complesse, unitarie ed a determinante uno, che agisce sui vettori complessi a tre componenti. Gli spinori a
2 componenti costituiscono la rappresentazione fondamentale (cioè la rappresentazione di dimensione più bassa non
banale) di SU(2), cioè la rappresentazione di spin 1/2. I vettori complessi a tre componenti costituiscono analogamente
la rappresentazione fondamentale di SU(3). La virtù della rappresentazione fondamentale è che da essa si possono
+
T
3
4

Figura 4 Il decupletto dei barioni
S
0
− 1
− 2
− 3
Δ
− 3/2
Decupletto Decupletto dei dei barioni barioni , , B=1, B=1, B=1 , J= J= 3/2
3/2
−
0
+
Σ
*−
Δ
Ξ
*−
Σ
*0
Ω
−
Δ
Ξ
*0
Σ
*+
− 1 − 1/2 0 1/2 1
costruire tutte le altre tramite prodotti tensoriali. Per SU(2) si ha
Δ
++
3/2
T
3
2 ⊗ 2 = 1 ⊕ 3 (1.16)
che riesprime in termini di dimensioni delle rappresentazioni il fatto che 2 spin 1/2 danno luogo allo spin 0 ed allo
spin 1. Per SU(2) si ha infatti che la dimensione n della rappresentazione di spin j è uguale a 2j + 1. Nel caso di
SU(3) si può mostrare che valgono le seguenti regole per il prodotto di rappresentazioni
3 ⊗ 3 ⋆ = 1 ⊕ 8 (singoletto ⊕ ottetto) (1.17)
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10 (singoletto ⊕ 2 ottetti ⊕ decupletto) (1.18)
vediamo dunque che la classificazione empirica degli adroni in ottetti e decupletti trova una sua giustificazione in
termini di rappresentazioni di SU(3). Naturalmente SU(3) non è una simmetria esatta delle interazioni forti perché
le masse degli adroni all’interno di ogni singola rappresentazione non sono identiche. Infatti Gell-Mann e Okubo nel
1961 proposero un preciso schema di rottura di questa simmetria. In questo schema non solo era possibile rendere
conto delle masse osservate in termini di 3 parametri, ma si poteva anche prevedere la massa dell’Ω − , uno dei membri
del decupletto (vedi Fig. 4), che a quel tempo non era stata ancora osservata. Il valore teorico risultava
M th
Ω− = 1685 MeV (1.19)
Nel 1964 questa particella fu scoperta nei laboratori di Brookhaven in un processo molto spettacolare, ottenendo un
valore per la massa
M exp
Ω − = 1686 ± 12 MeV (1.20)
Inoltre le proprietá di decadimento risultavano consistenti con il valore previsto di S = −3 (vedi Fig. 5).
Abbiamo già osservato che i vari spin si possono ottenere combinando in modo opportuno degli spin 1/2. Partendo
da questa idea, Fermi e Yang nel 1949, proposero un modello per i pioni come composti dei nucleoni:
π + ≈ p¯n, π − ≈ ¯pn, π 0 ≈ ¯pp − ¯nn (1.21)
Questi sono infatti le tre componenti di isospin 1 che si formano a partire da due isospin 1/2. Poiché la fondamentale
di SU(3) contiene tre componenti, Sakata nel 1956 propose una generalizzazione del modello precedente ai mesoni
strani, aggiungendo una terza particella a protone e neutrone, il barione Λ0 . Cioè Sakata identificava le componenti
della rappresentazione fondamentale di SU(3) con le seguenti particelle
⎡
ψα = ⎣ p
n
Λ0 ⎤
⎦ , α = 1, 2, 3 (1.22)
5

Figura 5 La scoperta della particella Ω − . Nel decadimento si perdono tre unita’ di stranezza (S(Ω − ) = −3). Questo avviene
tramite i decadimenti successivi Ω − → Ξ 0 + π − , Ξ 0 → Λ 0 + π 0 → Λ 0 + 2γ ed infine Λ 0 → π − p
L’indice α caratterizza i tre barioni. Le prime due componenti si trasformano come una rappresentazione di isospin
1/2 e quindi l’azione di SU(2) sui vettori a 3 componenti è data dalle matrici
⎡ ⎤
a b 0
⎣ c d 0 ⎦ (1.23)
0 0 1
Vediamo dunque che le componenti (p, n) del tripletto si comportano come una rappresentazione di isospin 1/2, mentre
la Λ 0 risulta un singoletto di isospin (cioè non si trasforma). In questo modo il doppietto dei mesoni strani risultava
come lo stato composto
K + ≈ p ¯ Λ 0 , K 0 ≈ n ¯ Λ 0
Questo modello funziona bene per i mesoni ma ha subito dei problemi se si voglione descrivere anche i barioni come
stati composti della fondamentale di SU(3). Infatti i barioni hanno spin 1/2 e ci voglione dunque un numero dispari
di tripletti (ognuno dei quali è fatto da spin 1/2). Si vede allora che non è possibile riprodurre il numero barionico in
modo corretto dato che il tripletto ha B = 1, se si assumono i barioni fatti da 3 costituenti come viene naturale vista
la (1.18). Ne segue che tutti i barioni composti dovrebbero avere B > 1 che, se si assume la conservazione di B, è in
contraddizione con decadimenti quali
Ξ − → π − + Λ 0
dato che Ξ − , essendo composto, avrebbe B = 3, mentre Λ 0 ha B = 1. La virtù principale del modello di Sakata era
però nell’idea di partire dalla raprresesentazione fondamentale di SU(3) per costruire i barioni. Nel 1964 Gell-Mann e
Zweig ripresero questa idea assumendo che il tripletto fondamentale fosse costituito da 3 nuove particelle dette quark.
Si aveva allora
qα =
6
(1.24)
(1.25)
⎡
⎣ u
⎤
d ⎦ ,
s
α = u, d, s (1.26)
Il numero barionico non è più vincolato e viene assunto essere 1/3. Gli stati adronici si assumono allora composto
secodo lo schema
mesoni ≈ ¯qq, barioni ≈ qqq (1.27)

Dato che i numeri quantici T3, S e B sono additivi, risulta necessario assumere la validità della formula di Gell-Mann
e Nishijima anche a livello dei quark che quindi dovranno assumere carica frazionaria come illustrato nella seguente
tabella e in Fig. 6
Notiamo che ancora vale la relazione:
T3 S B Q
u 1/2 0 1/3 2/3
d -1/2 0 1/3 -1/3
s 0 -1 1/3 -1/3
Q = T3 +
S + B
2
7
(1.28)
(1.29)
I simboli u, d, s stanno per up, down e strange (strano) e le assegnazioni di T3 e S per i quark sono come per (p, n) e
Figura 6 I numeri quantici dei quark
S
−1/2 + 1/2
d
Λ 0 . Le costituzioni degli stati adronici in termini di quark sono: per l’ottetto barionico
per l’ottetto mesonico
e per il decupletto barionico
−1
s
u
n ≈ ddu p ≈ uud
Σ − ≈ dds Σ 0 , Λ 0 ≈ uds Σ + ≈ ssu
Ξ − ≈ ssd Ξ 0 ≈ ssu (1.30)
K 0 ≈ ¯sd K + ≈ ¯su
π − ≈ ūd π 0 , η 0 ≈ ūu, ¯ dd, ¯ss π + ¯ du
K − ≈ ūs ¯ K 0 ≈ ¯ ds (1.31)
∆ − ≈ ddd ∆ 0 ≈ ddu ∆ + ≈ duu ∆ ++ ≈ uuu
Σ ∗− ≈ dds Σ ∗0 ≈ dus Σ ∗+ ≈ uus
Ξ ∗− ≈ ssd Ξ ∗0 ≈ ssu
Ω − ≈ sss (1.32)
Viste la (1.27) e la (1.18) si può notare che tutte le rappresentazioni che occorrono nel prodotto ¯qq e qqq sono osservate,
eccetto per il barione singoletto di SU(3). Inoltre il modello cosí formulato non rende conto del perché non si osservino
stati mesonici più complessi quali qqqq. Vedremo che la spiegazione si trova assumendo un ulteriore grado di libertà
per i quark, il cosí detto colore. Occorre anche osservare che all’inizio i quark non erano pensati come un vero grado
di libertà dinamico, ma piuttosto come una sorta di artificio matematico per rendere più maneggevole la teoria dei
gruppi. Tra i motivi di questo atteggiamento scettico erano:
T3

1. In una camera a bolle lo spessore di una traccia carica è proporzionale al quadrato della carica stessa. Quindi
confrontando tra loro le tracce cariche era possibile con una certa facilità distinguere una eventuale carica
frazionaria da una carica intera. Poiché non si aveva evidenza sperimentale non restava che concludere che
i quark non fossero prodotti alle energie disponibili. Si otteneva cosí un limite inferiore dell’ordine del GeV
sulla massa dei quark. Questo implicava una energia di legame molto grande per tre quark che costituivano un
protone anch’esso con massa dell’ordine del GeV .
2. La relazione spin-statistica. Nel 1934 Pauli aveva dimostrato il suo famoso teorema secondo il quale le particelle
di spin intero devono soddisfare la statistica di Bose-Einstein, e quelle di spin semintero la statistica di Fermi-
Dirac. Se adesso consideriamo il decupletto dei barioni, vediamo che le particelle Ω − , ∆ − e ∆ ++ sono costituite
da 3 quark identici, rispettivamente sss, ddd e uuu che inoltre devono essere nello stesso stato di spin al fine di
riprodurre lo spin 3/2 di queste particelle. Visto che in genere lo stato fondamentale si ha per funzioni d’onda
simmetriche nello scambio delle variabili di posizione, queste configurazioni risultavano proibite dal teorema
spin-statistica (dato che secondo il teorema i quark, avendo spin 1/2, dovevano essere fermioni). Ovviamente
si poteva pensare che lo stato fondamentale fosse descritto da funzioni d’onda antisimmetriche, ma era molto
difficile costruire dei potenziali di interazione realistici per giustificare questa assunzione. Tra le varie ipotesi
fatte ci fu anche quella che i quark fossero particelle speciali che obbedivano una parastatistica di ordine 3
invece che una statistica normale. In una parastatistica di ordine k, possono coesistere nello stesso stato sino
a k particelle, quindi la statistica di Fermi è di ordine 1, mentre quella di Bose è di ordine infinito. Ma questo
sembrava molto esotico e non facilmente riconducibile a principi primi.
Nel 1965 Han e Nambu trovarono una spiegazione che per certi versi va nella direzione di una parastatistica, ma in
termini molto più elementari. La loro spiegazione può essere illustrata nel modo seguente. Supponiamo di sapere che
l’elettrone obbedisce al principio di Pauli ma non sapere che ha spin 1/2. L’osservazione sperimentale ci dice però che
due elettroni possono coesistere nello stesso orbitale atomico con violazione apparente del teorema. Possiamo sí dire
che l’elettrone soddisfa una parastatistica di ordine 2, ma più semplicemente la soluzione sta nel fatto che l’elettrone
ha un ulteriore grado di libertà a due valori (lo spin) che permette giusto a due elettroni di stare nello stesso orbitale,
uno con spin up e l’altro con spin down. Seguendo questo argomento si può supporre che ogni quark esista in tre stati
possibili (stati di colore), che sono generalmente indicati con red, blue e white. Quindi la funzione d’onda dei quark
è del tipo
qα,a, α = u, d, s, a = R, W, B (1.33)
(oltre ad essere uno spinore di Dirac per ogni scelta degli indici α e a). Quindi l’Ω − ha una configurazione descritta
da una funzione d’onda completamente antisimmetrizzata nel colore
Ω − ≈ ɛabcsasbsc, a, b, c = R, W, B (1.34)
Abbiamo allora due distinti gruppi SU(3) che agiscono sui quark, uno detto di flavor che agisce sull’indice α e rimescola
tra loro i quark u, d, s (cioè i diversi flavor) a colore fissato. L’altro (indicato con SU(3)c) agisce invece sull’indice a
di colore a flavor fisso. Inoltre, mentre l’ SU(3) di flavor è una simmetria approssimata, si suppone che SU(3)c sia
invece una simmetria esatta di natura simile alla simmetria che dà luogo alla conservazione della carica elettrica (cioè
la simmetria di gauge). Han e Nambu postularono anche che i soli possibili stati fisici fossero neutri rispetto al colore,
cioè stati di singoletto (questa ipotesi è nota oggi come confinamento), come gli atomi sono ordinariamente neutri
rispetto alla carica elettrica. Ma mentre gli atomi si possono ionizzare, oggi si sospetta che stati liberi di quark (o più
in generale stati che non siano singoletti) non esistano in natura. Segue che gli stati osservabili sono fatti dalle solo
combinazioni di quark che producono singoletti di colore. Vediamo dalla (1.18) che questo è il caso per ¯qq e qqq. Il
problema che allora si poneva era la possibilità di avere un test sperimentale sull’ipotesi del colore. Un possibile modo
è nello studio del decadimento π 0 → 2γ. Questo è un decadimento elettromagnetico, che era già stato calcolato nel
modello di Fermi-Yang, usando il grafico di Feynman di Fig. 7 ed era stato trovato un risultato in accordo con i dati
sperimentali. Osserviamo che si hanno due contributi a questo grafico, uno quando circola un protone nel triangolo
ed uno quando circola il neutrone. Il risultato è proporzionale a
Q 2 (p) − Q 2 (n) (1.35)
dato che la funzione d’onda del π 0 è proporzionale a ¯pp − ¯nn. Questa differenza di quadrati vale 1 nel modello di
Fermi-Yang. Nel modello a quark si ha analogamente che la funzione d’onda del π 0 è data da ūu − ¯ dd e quindi
l’ampiezza è proporzionale a
Q 2 (u) − Q 2 (d) = 4 1 1
− =
9 9 3
8
(1.36)

Figura 7 Il grafico di Feynman per il decadimento π 0 → γγ
g
π 0
Se però i quark esistono in tre colori, il diagramma di Fig. 7 va ripetuto 3 volte riottenendo cosí lo stesso risultato
del modell di Fermi-Yang. Un ulteriore test dell’idea del colore proviene dall’analisi della sezione d’urto totale
e + e − → adroni, dove cioè si contano tutti i possibili adroni prodotti nello stato finale. Se tutti gli adroni provengono
da quark (questo non è completamente vero, perché in parte sono prodotti dai leptoni τ che hanno massa sufficiente per
decadere in adroni, ma questo contributo può essere sottratto), allora questa sezione d’urto è la stessa di e + e − → ¯qq
sommata su tutti i quark con massa m < Eb (Eb = energia del fascio). Infatti i quark si devono alla fine ricombinare
per dare adroni (vista l’ipotesi del confinamento) con probabilità uno. Dunque
σT (e + e − → adroni) =
q,mq

Figura 8 Il rapporto R dai dati sperimentali
II. IL MODELLO A PARTONI
A. Scattering elettrone protone
Consideriamo per iniziare lo scattering e−p → e−p con il protone considerato puntiforme.
l’ampiezza di scattering è
L’espressione per
iTfi = −i d 4 x d 4 y j el
µ (x)g µν DF (x − y)j mprot
ν (y) (2.1)
dove l’espressione per la corrente elettromagnetica sia per l’elettrone che per il protone è data da
jµ(x) = ±e ¯ ψ(x)γµψ(x) (2.2)
dove ψ è il campo corrispondente. L’ampiezza invariante risulta data da (q = pf − pi = ki − kf con pi, pf gli impulsi
dei protoni e ki, kf quelli degli elettroni)
√
M =
2m ū (rf )
(kf )(−ieγµ)u (ri)
(ki) −igµν
q2 + iɛ ū(sf )
(pf )(ieγν)u (si)
(pi) (2.3)
fermioni ext
Mediando sugli spin iniziali e sommando su quelli finali si trova
con
Si trova dunque
|M| 2 = e4
Lel
4q4 µνL µν
prot
Lµν(p1, p2) = Tr [(ˆp1 + m)γµ(ˆp2 + m)γν] =
10
(2.4)
= 4[(p1µp2ν + p1νp2µ − gµν(p1 · p2 − m 2 )] (2.5)
|M| 2 = 8e4
q 4 [(pf · kf )(pi · ki) + (pf · ki)(pi · kf ) −
− M 2 (kf · ki) − m 2 el(pf · pi) + 2m 2 elM 2 ] (2.6)
con M la massa del protone. Qui e nel seguito trascureremo la massa dell’elettrone e quindi
|M| 2 = 8e4
q 4 [(pf · kf )(pi · ki) + (pf · ki)(pi · kf ) − M 2 (kf · ki)] (2.7)
La derivazione fin qui fatta è corretta per protoni puntiformi, ma come possiamo tenere in conto in modo fenomenologico
la loro estensione? Cioè è possibile esprimere la sezione d’urto in termini di funzioni che tengano conto della
struttura del protone? Conviene riconsiderare l’espressione generale per l’elemento di matrice T
iTfi = −i d 4 x d 4 y j el
µ (x)g µν DF (x − y)j prot
ν (y) (2.8)

Questa scrittura, all’ordine più basso nell’interazione elettromagnetica è completamente generale, in quanto si è fatto
uso solo della forma generale dell’accoppiamento elettromagnetico e dell’equazione per il campo elettromagnetico
stesso. D’altra parte nella discussione del caso puntiforme si è assunto che la corrente del protone abbia la stessa
forma di quella dell’elettrone che è stata desunta dall’equazione di Dirac per un accoppiamento locale tra campo e
particella. Ma se il protone non è puntiforme non possiamo assumere la semplice espressione
jµ(x) = e ¯ ψ(x)γµψ(x) (2.9)
D’altra parte il protone è comunque una particella di spin 1/2 e potrà quindi essere descritto da campi di Dirac.
Potremo quindi generalizzare l’espressione precedente sostituendo a ¯ ψγµψ il più generale quadrivettore proprio
conservato. Prendendo l’elemento di matrice tra stati di impulso definito potremo scrivere
j fi
µ (pf , pi) = eūf
F1γµ + G1σµνp ν f + G2σµνp ν i + F3(pf + pi)µ + F4qµ
dove le Fi e Gi sono funzioni scalari e quindi funzioni del solo possibile invariante che si può fare con i due vettori
on-shell pf e pi, cioè q 2 . Moltiplicando per q µ ed usando la conservazione della corrente e l’equazione di Dirac per gli
spinori (questi sono spinori liberi e possiamo dunque usarli per descrivere il fatto che il protone ha spin 1/2 e massa
M) si trova
da cui
0 = q µ j fi
µ (pf , pi) = eūf [F1(ˆpf − ˆpi) − G1σµνp µ
i pν f + G2σµνp µ
f pν i +
+ F3(p 2 f − p 2 i ) + F4q 2 ]ui =
= ūf −G1σµνp µ
i pνf + G2σµνp µ
f pνi + F4q 2
ui
ui
11
(2.10)
(2.11)
G1 = −G2, F4 = 0 (2.12)
Inoltre usando l’identità di Gordon il termine in F3 si può riscrivere come combinazione lineare del termine in γµ e
σµνqν per cui in definitiva rimangono solo due termini possibili, che riscriveremo nella forma
j fi
µ (pf , pi) = eūf F1(q 2 )γµ + κ
2M F2(q 2 )iσµνq ν
ui
(2.13)
Nel limite q → 0 non fa differenza se il protone è puntiforme oppure no, quindi si deve ritrovare la corrente per una
particella puntiforme. Dunque
F1(0) = 1 (2.14)
Se invece si considera un neutrone si possono applicare simile considerazioni, ma in questo caso la normalizzazione è
Ovviamente queste relazioni risultano da
F1(0) = 0 per un neutrone (2.15)
Q = d 3 xj0(x) (2.16)
Possiamo adesso ripetere il calcolo fatto per lo scattering nel caso puntiforme, solo che nelle regole di Feynman si
dovrà usare per il protone il vertice
−ieOµ = −ie γµF1 + κ
F2iσµνq
ν
(2.17)
2M
Il calcolo della rate mediata sugli spin produrrà il risultato
|M| 2 = e4
Lel
4q4 µνL µν
prot
dove L el
µν è definito in (2.5) e ricordiamo dalla (2.7) che per mel = 0 si ha
(2.18)
L el
µν = 4[kiµkfν + kfµkiν − gµν(ki · kf )] (2.19)

mentre il tensore Wµν è definito da
L µν
prot(pf , pi) = Tr[(ˆpf + M)O µ (ˆpi + M) Ōν ] (2.20)
con Ōν = γ0O ν† γ0. La sezione d’urto differenziale risulta data da (Ei, Ef sono le energie iniziali e finali degli elettroni)
dσ = |M|2
4MEi
d 3 kf
(2π) 3 2Ef
d 3 pf
(2π) 3 2p 0 f
Integrando sugli impulsi finali si ha il risultato (ν = pi · q/M):
(2π) 4 δ 4 (pf + kf − pi − ki) (2.21)
dσ
α
=
dΩdEf Lab
2
4E2 i sin4
cos
(θ/2)
2 (θ/2) − q2
2M sin2
(θ/2) δ(ν + q2
) (2.22)
2M
Abbiamo visto per descrivere lo scattering elastico di elettroni su protoni non puntiformi è possibile generalizzare
quanto fatto nel caso puntiforme semplicemente scrivendo l’espressione più generale per la corrente del protone (cioè
per una particella di spin 1/2). In questo modo la sezione d’urto viene parametrizzata in termini di due fattori di
forma funzioni del quadrato del quadrimpulso trasferito dal fotone. Nel caso che ci interessa adesso, cioè il processo
ep → eX con X un arbitrario stato adronico, la precedente generalizzazione della corrente non è fattibile. Infatti in
maniera astratta l’oggetto di interesse è l’elemento di matrice
12
〈X|j em
µ |pi〉 (2.23)
dove l’operatore di corrente elettromagnetica deve essere pensato come un operatore che agisce nello spazio di Hilbert
relativo a tutte le particelle considerate. Il problema si semplifica molto se però consideriamo la sezione d’urto ottenuta
sommando su tutti i possibili stati finali compatibili con la conservazione dell’impulso e dell’energia. Per capire come
si procede a questa generalizzazione consideriamo la sezione d’urto differenziale puntiforme
dσ = |M|2
4MEi
d 3 kf
(2π) 3 2Ef
(2π) 3 2p 0 f
d 3 pf
(2π) 3 2p 0 f
(2π) 4 δ 4 (pf + kf − pi − ki) (2.24)
Usando la (2.18) la possiamo riscrivere nella seguente forma
dσ = 1 d
4MEi
3kf (2π) 32Ef d3pf 4 e
q4 1
2 Lel
1
µν
2 Lµν
(2π) 4 δ 4 (pf − pi − q) (2.25)
con q = ki − kf . Possiamo identificare l’espressione per la corrente elettromagnetica di una particella puntiforme
di spin 1/2 con l’elemento di matrice dell’operatore di corrente elettromagnetica nello spazio a molte particelle e
riscrivere il tensore Lµν per una particella puntiforme nella forma simbolica
e la sezione d’urto come
con
dσ
dΩdEf
=
1
2 Lµν = 1
2
1
= 1
2
E 2 f
4MEi 2Ef
si,sf
〈pf , sf |j em
µ (0)|pi, si〉〈pf , sf |j em
ν (0)|pi, si〉 ⋆ =
〈pf , sf |j em
si,sf
= α2
q4 Ef 1
Ei 2 Lel µνW µν
Wµν =
1 1
4πM 2
si,sf
1
(2π) 3
16π2α2 q4 1
2 Lel
µν
d 3 pf
(2π) 3 2p 0 f
µ (0)|pi, si〉〈pi, si|j em
ν
〈pf , sf |j em
d 3 pf
(2π) 3 2p 0 f
† (0)|pf , sf 〉 (2.26)
1
2 Lµν
prot(2π) 4 δ 4 (pf − pi − q) =
µ (0)|pi, si〉〈pi, si|j em
ν
† (0)|pf , sf 〉
(2.27)
× (2π) 4 δ 4 (pf − pi − q) (2.28)

Le espressioni cosi scritte sono ovviamente valide sia nel caso di un protone puntiforme che di un protone esteso, purché
l’elemento di matrice della corrente sia identificato in un caso con ūf γµui e nell’altro con ūf Oµui. Con questa forma
di scrittura risulta però chiaro anche come estendere il formalismo per trattare lo scattering anelastico. Dovremo
sostituire lo stato finale di protone con il generico stato adronico |X〉, sommare su tutti i possibili stati finali ed
integrare su tutti gli impulsi finali. Dovremo cioè scrivere il tensore Wµν nella forma
Wµν =
1
4πM
N
1
2
N
si
d 3 pn
(2π)
n=1
32p0 n
× 〈pi, si|j em†
ν (0)|p1, · · · , pN, X〉(2π) 4 δ 4
〈p1, · · · , pN, X|j em
µ (0)|pi, si〉
N
n=1
pn
− pi − q)
dove la somma su N include la somma sul numero di adroni finali nonché sui loro numeri quantici quali spin, ecc.
Dato che questo tensore è mediato sugli spin iniziali e sommato su tutti i possibili stati finali, non può dipendere
altro che dall’impulso inziale del protone e dall’impulso trasferito q. Inoltre la corrente elettromagnetica è hermitiana
e conservata. Segue dunque (anche osservando che nella sezione d’urto differenziale Wµν compare saturato con un
tensore simmetrico)
e
13
(2.29)
Wµν(pi, q) = Wνµ(pi, q) (2.30)
q µ Wµν = q ν Wµν = 0 (2.31)
Che la forma della conservazione della corrente assuma questa forma l’abbiamo già visto per la corrente di Dirac, ma è
in realtà una proprietà generale. Infatti se consideriamo l’elemento di matrice dell’operatore di corrente tra autostati
dell’impulso ed usiamo il fatto che detto U = e iP · x con Pµ l’operatore di quadrimpulso, si ha
dato che U è l’operatore di traslazione. Segue allora
j em
µ (x) = Uj em
µ (0)U −1
(2.32)
∂ µ 〈p ′ |j em
µ (x)|p〉 = ∂ µ 〈p ′ |Uj em
µ (0)U −1 |p〉 = ie i(p′ − p)x i(p ′ − p)µ〈p ′ |j em
µ (0)|p〉 (2.33)
Possiamo scrivere l’espressione più generale per il tensore Wµν
Wµν(pi, q) = −W1gµν + W2
M 2 piµpiν + W4
M 2 qµqν + W5
M 2 (piµqν + piνqµ) (2.34)
La notazione W3 è riservata per il caso dello scattering νp → eX, che anche è stato molto studiato, in cui il tensore
Wµν non è simmetrico ed inoltre si può avere violazione di parità. Se adesso imponiamo la conservazione della corrente
si trovano le due equazioni
che hanno per soluzione
0 = q µ Wµν = −W1qν + W2
M 2 (q · pi)piν + W4
M 2 q2 qν + W5
M 2 ((pi · q)qν + q 2 piν) (2.35)
−W1 + W4
M 2 q2 + W5
M 2 (pi · q) = 0
W2
M 2 (pi · q) + W5
M 2 q2 = 0 (2.36)
W5 = − (pi · q)
q2 W2
2 M
W4 =
q2
W1 + (pi · q) 2
q2 W2
M 2
Si vede allora facilmente che il tensore Wµν si può riscrivere nella forma
Wµν = W1 −gµν + qµqν
q2
+ W2
M 2
piµ − (pi · q)
q2
qµ piν − (pi · q)
q2
qν
(2.37)
(2.38)

Questa espressione evidenzia le proprietà di Wµν che vediamo dipendere da due funzioni, che però, a differenza
del caso dello scattering elastico, dipendono da due variabili. Infatti in quel caso valeva la relazione cinematica
q 2 + 2(q · pi) = 0 che seguiva dalla conservazione del quadrimpulso pf = pi + q e dal fatto che si aveva protoni
sia nello stato inziale che finale. In questo caso, la relazione è q 2 + 2(q · pi) = M 2 X − M 2 . Quindi q 2 e q · pi sono
variabili indipendenti, dato che la massa dello stato adronico X è considerata variabile. Gli invarianti che si usano
per descrivere le funzioni Wi sono q 2 e ν = (pi · q)/M. La massa dello stato finale è quindi
M 2 X = (pi + q) 2 = M 2 + 2Mν + q 2
e diventa uguale a M 2 (scattering elastico) a q 2 = −2Mν. Per ottenere la sezione d’urto differenziale possiamo adesso
usare la (2.27) con l’espressione trovata per Wµν. Ricordando l’espressione del tensore leptonico data in (2.5) si ha
Lel µνW µν = 4[kiµkfν + kiνkfµ − gµν(ki · kf )]
× W1 −gµν + qµqν
q2
+ W2
M 2
piµ − (pi·q)
q2
qµ
piν − (pi·q)
q2 qν
e utilizzando le relazioni cinematiche q 2 = 2q · ki = −2q · kf e q 2 = −2ki · kf si ha
ed infine
Nel riferimento del laboratorio si trova
e quindi dalla (33.5)
L el
µνW µν
= 4 2W1(ki · kf ) + W2
M 2
2(ki · pi − 1
2 pi · q)(kf · pi + 1
2 pi · q) −
− M 2 (ki · kf ) − 1
2 (pi · q) 2
L el
µνW µν
= 4 2W1(ki · kf ) + W2
M 2
2(ki · pi)(kf · pi) − M 2
(ki · kf )
L el
µνW µν = 8EiEf
dσ
dΩdEf
= 4α2 E 2 f
q 4
2W1 sin 2 (θ/2) + W2 cos 2 (θ/2)
W2 cos 2 (θ/2) + 2W1 sin 2 (θ/2)
Ricapitolando, le sezioni d’urto differenziali nei casi considerati sono:
Scattering elastico (particella puntiforme)
Scattering anelastico
B. Il modello a partoni
dσ
dΩdEf
= 4α2 E 2 f
q 4
dσ
dΩdEf
cos 2 (θ/2) − q2
2M 2 sin2
(θ/2) δ(ν + q2
2M )
= 4α2 E 2 f
q 4
W2 cos 2 (θ/2) + 2W1 sin 2 (θ/2)
Abbiamo detto che nello scattering anelastico si studia la dipendenza della sezione d’urto dalla massa dello stato
adronico prodotto. Per fare questo non abbiamo bisogno di osservare questo stato, perché la sua massa é determinata
dalle sole variabili cinematiche degli elettroni. Ricordiamo infatti dalle (2.39) che q2 + 2Mν = M 2 X − M 2 . Inoltre
q2 = −4EiEf sin 2 (θ/2) e ν = Ei − Ef , quindi dalla misura di Ef e di θ si risale a M 2 X . Nell’esperimento l’unica cosa
che si deve fare è osservare l’elettrone finale e misurarne l’energia e l’angolo di scattering. Questo tipo di processi in
cui certe osservabili non vengono misurate sono detti inclusivi (qui non si osserva lo stato adronico). Un altro processo
di questo tipo è l’annichilazione e + e − in adroni, che abbiamo discusso precedentemente, in cui si contano gli stati
14
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)

adronici finali ma ci si disinteressa delle loro caratteristiche. Per contrasto lo scattering elastico elettrone-protone è
un processo esclusivo (si misurano tutte le caratteristiche dello stato finale).
Nel processo di scattering anelastico si può variare il q 2 del fotone virtuale, quindi partendo da q 2 piccoli con i
quali si possono studiare caratteristiche del protone quali l’estensione, il suo momento magnetico, ecc., cioè le sue
caratteristiche statiche, si passa a valori di q 2 per i quali è possibile studiare la struttura interna. Se il protone è
costituito da oggeti puntiformi, l’andamento dei fattori di forma W1 e W2 che descrivono lo scattering anelastico dovrà
tendere ai corrispondenti fattori di forma del caso puntiforme. Se i costituenti, assunti di massa m, sono particelle di
Dirac dovremo avere, confrontando la (2.45) con la (2.46),
dove abbiamo introdotto la variabile positiva
W1 → W point
1
W2 → W point
2
= Q2 Q2
δ(ν −
4m2 2m )
15
= δ(ν − Q2
) (2.47)
2m
Q 2 = −q 2
Osserviamo che in queste circostanza lo scattering anelastico dell’elettrone sul protone è generato da una serie
incoerente di scattering dell’elettrone sui costituenti puntiformi del protone. Questa approssimazione di scattering
incoerente è simile all’approssimazione impulsiva usata in fisica nucleare. La differenza importante con questo caso è
che i costituenti del nucleo possono essere emessi dopo lo scattering, se i costituenti del protone sono quark, questi
non possono essere emessi come particelle libere ma devono necessariamente ricombinarsi in adroni (stati neutri di
colore). Notiamo che le espressioni per W1 e W2 del caso puntiforme possono essere messe in una forma più suggestiva
mW point
1
νW point
2
= Q2 Q2
δ(1 −
4mν 2mν )
(2.48)
= δ(1 − Q2
) (2.49)
2mν
Si vede che queste particolari combinazioni (adimensionali) hanno la proprietà di essere funzioni solo della quantità
(adimensionale) Q 2 /(2mν). Al contrario, nel caso elastico, le corrispondenti funzioni dipendono da una esplicita scala
di massa, le dimensioni del protone dell’ordine di ( √ 0.71 GeV ) −1 . Riassumendo, per Q 2 sufficientemente grande
ci aspettiamo che il fotone osservi i costituenti puntiformi del nucleone ed in corrispondenza che W1 e W2 abbiano
proprietà simili a quelle del caso puntiforme. In particolare, dato che per grandi q il fotone penetra all’interno
del protone esso non vedrà più la scala di massa associato al raggio protonico, quindi le funzioni di distribuzione
dovrebbero mostrare proprietà di scaling analoghe al caso puntiforme (scaling di Bjorken)
con
lim
Q2→∞ MW1(ν, Q 2 ) = F1(ω)
lim
Q2→∞ νW2(ν, Q 2 ) = F2(ω) (2.50)
ω = 2pi · q
Q 2
2Mν
=
Q2 La proprietà per cui a grandi Q 2 si perde traccia della dimensione del protone è simile a quanto avviene nello
scattering di fotoni su atomi, allorché si comincia a rivelare la componente nucleare. Possiamo fare un modello
semplificato ricordando la descrizione semplificata della distribuzione di carica in un atomo, in termini di un potenziale
coulombiano schermato
V (r) = − Ze2
4πr e−r/a
Per r ≫ a il potenziale tende a zero, mentre per r ≪ a tende al potenziale di un nucleo statico con carica Ze. Quindi
l’atomo è configurato come una distribuzione continua di cariche negative, con raggio dell’ordine di a, che schermano
un nucleo puntiforme. La sezione d’urto differenziale per un elettrone su questa sorgente risulta
dσ
dΩ =
4Z2α2m 2
(4| k| 2 sin 2 (θ/2) + a−2 ) 2 = 4Z2α2m 2a4 (1 + |q | 2a2 ) 2
(2.51)
(2.52)
(2.53)

con q l’impulso del fotone virtuale. Dunque per piccoli q (cioè per grandi distanze) il fotone vede semplicemente le
dimensioni atomiche che si misurano dall’espressione della sezione d’urto, dato che
dσ
lim
a|q |≪1 dΩ = 4Z2α 2 m 2 a 4
Se invece andiamo a grandi valori di |q |, il fotone è in grado di vedere il nucleo puntiforme e si ritrova la sezione
d’urto coulombiana
dσ
lim
a|q |≫1 dΩ = 4Z2α2m 2
|q | 4
Si ha dunque una transizione tra i due regimi al crescere di q . Lo stabilirsi dell’andamento in 1/ sin 4 (θ/2), caratteristico
di una sorgente puntiforme, è l’analogo dello stabilirsi del regime alla Bjorken. Ancora, nella transizione tra i
due regimi la dipendenza dalle dimensioni del bersaglio scompare e la sezione d’urto in avanti θ ≈ 0 cresce in modo
violento. Vale la pena ricordare qui che furono precisamente queste caratteristiche che permisero a Rutherford di
dimostrare la validità dei modelli atomici con un nucleo pesante centrale. In questo senso gli esperimenti di SLAC
hanno rappresentato una riedizione dell’esperimento di Rutherford ad un’altra scala. Infatti le previsoni di scaling di
Bjorken sono state puntualmente confermate dai dati sperimentali (vedi Fig. 9). In effetti si ha uno scaling piuttosto
precoce, esso si stabilisce già per valori di Q 2 dell’ordine di pochi GeV . Dati i precedenti fatti sperimentali risulta
Figura 9 La misura effettuata a SLAC del prodotto νF2. I risultati mostrano che a fissato ω, il prodotto non cambia con Q 2 ,
in accordo all’ipotesi di scaling
2
= Σ
partoni
Figura 10 Lo scattering anelastico di fotoni su protoni si può pensare come la somma di tutte le sezioni d’urto per lo scattering
del fotone sui partoni che costituiscono il protone
naturale fare l’assunzione che lo scattering del fotone virtuale sul protone sia calcolabile effettuando una somma incoerente
delle sezioni d’urto per lo scattering del fotone sui vari costituenti (detti partoni), pesata con una funzione
2
16
(2.54)
(2.55)

di distribuzione del partone, che descrive la probabilità che il partone considerato abbia un dato impulso ed una data
energia. Si assume cioè che lo scattering sia calcolabile dai grafici rappresentati in Fig. 10.
Introduciamo allora una funzione di probabilità per il partone di tipo i, Pi(x), dove x è la frazione dell’impulso del
protone portata da questo partone. La funzione di probabilità Pi(x) è tale che
dPi(x) = fi(x)dx (2.56)
rappresenta la probabilità che il partone abbia una frazione d’impulso compresa tra x e x + dx. Segue quindi la
condizione di normalizzazione
x fi(x) dx = 1 (2.57)
i
dato che la somma di tutte le frazioni d’impulso deve fare uno. La sezione d’urto anelastica è allora data schematicante
da
dσ
=
protone
fi(x)dσi
(2.58)
partone
dove
i
dσi = e 2 i dσpoint
dove ei sono le cariche dei partoni in unità e, e dσpoint è la sezione d’urto su bersaglio puntiforme di carica e che
abbiamo precedentemente calcolato. È opportuno insistere che nell’uguaglianza precedente si assume che i partoni
finali si ricombinino in adroni con probabilità 1. Questo tipo di schematizzazione richiede una definzione delle variabili
cinematiche dei partoni, in termini delle variabili di protone, data nella seguente tabella
Protone Partone
Energia E xE
ImpulsoL pL xpL
ImpulsoT
Massa
pT = 0
M
pT = 0
m = x2E2 − x2p2 L = xM
dove pL e pT sono le componenti dell’impulso in direzione parallela e perpendicolare (trasversa) rispetto alla direzione
del protone. In sostanza si è assunto che il partone abbia impulso trasverso piccolo rispetto all’impulso del protone.
Questo segue dall’idea base di questo modello, cioè che, ad alti impulsi del fotone, il tempo di interazione tra fotone e
partone sia piccolo rispetto ai tempi di interazione dei partoni tra loro. Quindi i partoni non fanno in tempo a cambiare
il loro impulso trasverso prima che il fotone li urti. Osserviamo però che questo tipo di considerazioni porta ad assumere
una massa variabile per il partone. Questo non ha molto senso, e l’unico modo per ricomporre le cose è di supporre
m = 0, che però ha come conseguenza che anche la massa del protone dovrebbe essere nulla. La cinematica non è quindi
molto consistente. In realtà le cose possono essere riconciliate allorché uno abbia una teoria dinamica completa (quale
è QCD, cioè la cromo-dinamica-quantistica). A questo livello dobbiamo contentarci di considerazioni che, sebbene
fisicamente sensate, sono un pò qualitative. Possiamo infatti rendere la cinematica consistente considerando il protone
in riferimento di Lorentz particolare, il cosi detto riferimento p∞, cioè un riferimento in cui il protone si muove con
velocità della luce, e quindi l’impulso spaziale domina sulla massa e E = |p|. Le masse diventano trascurabili ed
inoltre il fattore di dilatazione temporale tende a rallentare la rate con la quale i partoni interagiscono tra di loro.
In questo riferimento, il modello a partoni diventa esatto, e per esempio l’ipotesi di scattering incoerente diviene
completamente giustificata. Saremo più vicini a questo limite quanto più le energie dei processi che si considerano
sono elevate. Possiamo adesso pensare alla possibilità che i partoni siano identificabili con i quark. In questo caso,
l’ipotesi che i partoni si ricombinino con probabilità 1 in adroni risulterebbe consistente con l’ipotesi del confinamento
ed ovviamente permette di identificare la sezione d’urto e − quark → e − quark pesata con le funzioni di struttura
fi(x) che danno la probabilità di presenza dei quark dentro il protone, con e − p → e − X, dato che, come discusso, non
si osserva lo stato finale.
Con queste premesse possiamo dare una derivazione approssimata della relazione tra le funzioni di struttura F1(ω)
e F2(ω) del protone e le funzioni di probabilità (dette anch’esse funzioni di struttura) fi(x). In questa derivazione
faremo uso della cinematica con massa variabile del partone. Ricordiamo che nel caso puntiforme si ha
F1(ω) point = MW point
1
17
(2.59)
(2.60)
= MQ2
4m2 Q2
δ(1 − ) (2.61)
ν 2mν

dalla definizione di ω segue
e
F1(ω) point = Q2
4Mx2 1 1 1 ω 1
δ(1 − ) = δ(1 − ) = δ(1 − ) (2.62)
ν xω 2ωx2 xω 2 xω
F2(ω) point = νW point
2
18
= δ(1 − Q2
1
) = δ(1 − ) (2.63)
2mν xω
Le funzioni di struttura per il protone saranno allora date (in sostanza per il significato fisico che gli attribuiamo)
dalla somma incoerente sulle funzioni di struttura dei partoni
Fa(ω) =
dx fi(x)Fa(ω) point , a = 1, 2 (2.64)
dove si è ovviamente tenuto conto dei pesi dovuti alle cariche elettriche. Si ha dunque
F2(ω) =
e 2
i dx fi(x)xδ(x − 1
) = e
ω 2
1 1
i fi
ω ω
i
i
e 2 i
È d’uso pensare alle funzioni Fi come funzioni di x invece che di ω = 1/x. La relazione precedente diviene allora
F2(x) =
ed inoltre
i
i
(2.65)
e 2 i xfi(x) (2.66)
F1(x) = 1
2x F2(x) (2.67)
Queste due relazioni sono le relazioni fondamentali del modello a partoni. La misura di W1 e W2 permette quindi
di avere una idea delle distribuzioni e delle cariche dei partoni. La relazione F1 = F2/(2x) è nota come relazione di
Callan-Gross ed è tipica per partoni di spin 1/2. Se ripetessimo questa analisi nel caso di spin 0 si troverebbe F1 = 0,
mentre F2 avrebbe la stessa espressione. Come si vede dalla Figura 11 i dati favoriscono l’ipotesi di spin 1/2.
C. Le funzioni di struttura
Iniziamo adesso una discussione sulle proprietà delle funzioni di struttura dei partoni, fi(x). Se identifichiamo i
partoni con i quark u, d, s e denotiamo le rispettive densità all’interno del protone con u p (x), · · · e con ū p (x), · · · le
densità per gli antiquark, avremo
1
x
p
F2 (x) =
2 2
(u
3
p (x) + ū p (x)) +
2 1
(d
3
p (x) + ¯ d p (x)) +
2 1
(s
3
p (x) + ¯s p (x)) (2.68)
Abbiamo qui 6 funzioni incognite. Ulteriori informazioni si possono avere sfruttando lo scattering di elettroni su
deuterio e supponendo che lo scattering su protone e neutrone sia incoerente a parte fattori di correzione nucleari. In
questa ipotesi
dσ(ed) = dσ(ep) + dσ(en) + correzioni nucleari (2.69)
I dati estratti in questo modo soffrono di incertezze ma sono utili per estrarre le funzioni di struttura del neutrone.
La funzione di struttura F n 2 (x) sarà allora
1
x F n 2 (x) =
2 2
(u
3
n (x) + ū n (x)) +
2 1
(d
3
n (x) + ¯ d n (x)) +
2 1
(s
3
n (x) + ¯s n (x)) (2.70)
Osserviamo che per la simmetria di isospin si passa dal protone al neutrone scambiando l’isospin up con l’isospin
down, scambiando cioè il quark u con il quark d. Si deve dunque avere
1
x F n 2 (x) =
2 2
(d
3
p (x) + ¯ d p (x)) +
2 1
(u
3
p (x) + ū p (x)) +
2 1
(s
3
p (x) + ¯s p (x)) (2.71)

Figura 11 La misura del rapporto 2xF1/F2 effettuata a SLAC
da cui
u p (x) = d n (x) ≡ u(x), d p (x) = u n (x) ≡ d(x), s p (x) = s n (x) ≡ s(x) (2.72)
Si ottengono in questo modo le due espressioni
e
1
x
F p
2
4
1
(x) = (u(x) + ū(x)) +
9 9 (d(x) + ¯ d(x) + s(x) + ¯s(x)) (2.73)
1
x F n 2 (x) = 4
9 (d(x) + ¯ d(x)) + 1
(u(x) + ū(x) + s(x) + ¯s(x)) (2.74)
9
Si possono porre ulteriori vincoli se separiamo le distribuzioni di quark, in distribuzioni di quark di valenza qv(x) e
contributi di coppie o di mare qs(x). La ragione per questi nomi, è che se immaginiamo che il protone sia costituito
da 3 quark di valenza p ≈ uvuvdv, e se ci sono interazioni, rappresentate in Figura 12 da linee ondulate, allora
ci aspettiamo che all’interno del protone queste interazioni possano produrre delle coppie ¯qsqs (a questo proposito
osserviamo che in linea di principio possono contribuire anche quark più pesanti di quelli qui considerati, ma la
probabilità per produrre questi quark decresce ovviamente con la loro massa). Naturalmente i quark di questo mare
di coppie avranno mediamente una frazione di impulso più piccola dei quark di valenza, e quindi la loro distribuzione
sarà più rilevante a bassi x che non ad alti x. Nell’approssimazione in cui i quark u, d, s abbiano circa la stessa
massa, si può assumere che le distribuzioni dei quark del mare siano tutte uguali tra loro e quindi scrivere
u(x) = uv(x) + S(x), d(x) = dv(x) + S(x) (2.75)
ū(x) = ¯ d(x) = ¯s(x) = s(x) ≡ S(x) (2.76)
19

Figura 12 Il protone visto come una collezione di quark
Si possono allora soddisfare facilmente un certo numero di identità che devono valere per queste distribuzioni al fine
di riprodurre i numeri quantici del protone, Q = 1, B = 1 e S = 0. Poichè queste seguono dal fatto che il protone è
fatto di due quark u ed un quark d, si deve avere
1
0
dx[u(x) − ū(x)] = 2
1
0
1
0 dx[d(x) − ¯ d(x)] = 1
dx[s(x) − ¯s(x)] = 0 (2.77)
Per quanto concerne i limiti di integrazione è ovvio che x vari tra 0 e 1, visto che è definito come frazione di impulso.
Osserviamo che questo segue anche dai valori che questa variabile assume in termini delle variabili cinematiche del
processo x = Q 2 /(2Mν) (vedi Fig. 13). Le funzioni di distribuzione si riscrivono dunque nella forma
1
x
p 4
F2 (x) =
9 uv(x) + 1
1
x F n 2 (x) = 1
9 uv(x) + 4
20
9 dv(x) + 4
S(x) (2.78)
3
9 dv(x) + 4
S(x) (2.79)
3
Come abbiamo già osservato, per piccoli valori di x ci aspettiamo che S(x) domini sulle distribuzioni dei quark di
valenza, che avranno in generale valori di x più elevati. Pertanto
e
Dunque
lim
x→0
1
x
1
lim
x→0
F p
2
4
(x) = S(x) (2.80)
3
x F n 2 (x) = 4
3
lim
x→0
F n 2 (x)
F p
2
S(x) (2.81)
(x) = 1 (2.82)

Figura 13 Il triangolo è la massima regione cinematicamente permessa in ep → eX, νmax = E nel riferimento del laboratorio.
W = MX
Per x → 1 invece il contributo del mare sarà trascurabile e quindi per x → 1
F
lim
x→1
n 2 (x)
F p
2 (x) = uv + 4dv
dv + 4uv
I dati sperimentali sono riportati in Fig. 14 e questi mostrano un buon accordo con queste previsioni ed inoltre ci
dicono che per x → 1 il contributo dei quark u è dominante su quelli di tipo d, come ci si attende intuitivamente.
Possiamo renderci conto dell’andamento della F2(x) ragionando ancora in modo intuitivo. Se il protone fosse costituito
Figura 14 Il rapporto F en
2 /F ep
2 in funzione di x come misurato a SLAC
da un solo partone puntiforme, avrebbe una distribuzione tipo delta di Dirac centrata a x = 1, perché si partone
porta via tutto l’impulso del protone. Se il protone è costituito da tre quark identici non interagenti, ognuno di essi
ha una frazione di impulso pari ad 1/3 dell’impulso del protone e quindi si ha ancora una delta centrata a x = 1/3.
21
(2.83)

Se i tre quark di valenza interagiscono tra loro ma senza emissione di coppie avremmo una distribuzione piccata a
x = 1/3 ma che tenderà a zero per x → 1 e x → 0. Infine se c’è emissione di coppie avremo un costributo del mare
per piccoli valori di x. Questa evoluzione della funzione di distribuzione è rappresentata in Fig. 15. Possiamo testare
queste ipotesi andando a studiare la differenza tra le funzioni di struttura del protone e del neutrone, per la quale il
contributo del mare si cancella
1 p
[F2 x (x) − F n 2 (x)] = 1
3 [uv(x) − dv(x)] (2.84)
Come si vede dai dati di Fig. 16 si ha infatti una distribuzione con un massimo nell’intorno di x = 1/3. L’andamento
generico delle funzioni di struttura complessive, del mare e dei quark di valenza è riportato in Fig. 17.
Figura 15 La funzione di struttura in varie situazioni
Abbiamo fin qui ipotizzato che i partoni fossero tutto identificabili con i quark. Possiamo però domandarci se
possano esistere dei partoni neutri (detti gluoni) che ovviamente non possono essere visti con questo tipo di esperimento.
Possiamo però avere una conferma indiretta di questo fatto. Supponiamo di voler calcolare l’impulso totale
del protone partendo dalle distribuzioni per i quark. Si avrà
1
0
dx (xp)[u(x) + ū(x) + d(x) + ¯ d(x) + s(x) + ¯s(x)] = p − pg
dove pg è l’impulso associato con gli eventuali partoni neutri. Dividendo per p, indicando con ɛg la frazione d’impulso
associata ai gluoni, e trascurando il contributo del quark s si ha
1
0
dx x[u(x) + ū(x) + d(x) + ¯ d(x)] = 1 − ɛg
Integrando le funzioni di struttura per il neutrone ed il protone si ha
dx F p
2 (x) =
4 1
dx x (u + ū) +
9 9 (d + ¯
d)
= 4
9 ɛu + 1
9 ɛd
22
(2.85)
(2.86)
(2.87)

Figura 16 La differenza F ep
2
− F en
2
in funzione di x misurata a SLAC
Figura 17 In a) le funzioni di struttura dei quark estratte dai dati di SLAC. In b) i contributi dei quark di valenza e del mare
alla struttura del protone
con
I dati sperimentali danno
da cui
dx F n 2 (x) =
ɛu =
1 4
dx x (u + ū) +
9 9 (d + ¯
d) = 1
9 ɛu + 4
9 ɛd
dx x(u + ū), ɛd =
4
9 ɛu + 1
9 ɛd = 0.18,
23
(2.88)
dx x(d + ¯ d) (2.89)
1
9 ɛu + 4
9 ɛd = 0.12 (2.90)
ɛu = 0.36, ɛd = 0.18 (2.91)

Ma la relazione per l’impulso totale del protone da
e quindi
ɛu + ɛd = 1 − ɛg
24
(2.92)
ɛg = 0.46 (2.93)
Dunque circa il 50% dell’impulso totale del protone è dovuto a particelle neutre, ai gluoni. Questo tipo di particelle
è una predizione di QCD.
III. CROMODINAMICA QUANTISTICA (QCD)
Nelle Sezioni precedenti abbiamo visto che la rappresentazione che ci siamo fatti del protone come costituito da
particelle cariche puntiformi, identificate come quark, è ben suffragata dai dati sperimentali. Abbiamo anche mostrato
che devono però esistere anche degli oggetti neutri all’interno del nucleone, i gluoni. Nel modello a quark avevamo
mostrato l’esigenza di un nuovo grado di libertà, il colore. All’inizio degli anni 70 cominciarono ad affermarsi le
teorie di Yang e Mills per la descrizione delle interazioni deboli. Apparve allora naturale cercare di applicare queste
idee anche alle interazioni forti. Le teorie di Yang-Mills sono una generalizzazione della teoria elettromagnetica nel
seguente senso. Si è visto che l’elettromagnetismo descrive particelle cariche in interazione con il potenziale di gauge
Aµ(x). La forma di questa interazione risulta dettata dall’invarianza di gauge, cioè dall’invarianza della teoria rispetto
alle seguenti trasformazioni combinate agenti sulla funzione d’onda della particella carica e sul potenziale e.m.
φ(x) → φ ′ (x) = e iα(x) φ(x), Aµ(x) → Aµ(x) − 1
q ∂µα (3.1)
Questa invarianza si impone, partendo da una lagrangiana invariante sotto la trasformazione globale, cioè con α
indipendente da x ed effettuando poi la sostituzione minimale
∂µ → ∂µ + iqAµ
Nella discussione del modello a quark abbiamo mostrato come si possano avere delle situazioni in cui si hanno
simmetrie interne, cioè simmetrie sotto trasformazioni che non coinvolgono né lo spazio né il tempo. Per esempio
l’isospin per il nucleone o la simmetria SU(3) di Gell-Mann e Néeman per i quark u, d, s. In questi casi le funzioni
d’onda sone delle quantità complicate che oltre ad avere indici di spin hanno anche indici corrispondenti ad ulteriori
numeri quantici. Per esempio, i quark u, d, s colorati sono descritti da una funzione d’onda a 36 componenti complesse
(3.2)
ψα,a,i(x), α = 1, · · · , 4, a = u, d, s, i = R, W, B (3.3)
dove α è l’indice spinoriale di Dirac, a corrisponde alla scelta tra i tre quark u, d, s, o come si dice alla scelta dei
flavors (sapori), mentre i sceglie il colore. Il primo indice è legato alla simmetria spazio-temporale di Lorentz, mentre
gli altri due sono legati a simmetrie interne. Ovviamente simmetria significa che effettuando una data trasformazione
sulla funzione d’onda, l’equazione da questa soddisfatta non cambia. Nel caso che stiamo considerando, limitandosi
alle simmetrie interne, si possono fare delle trasformazioni sull’indice a con matrici di SU(3)
oppure delle trasformazioni agenti su i
ψα,a,i(x) → Vabψα,a,i(x), V ∈ SU(3) (3.4)
ψα,a,i(x) → Uijψα,a,i(x), U ∈ SU(3) (3.5)
dove U è ancora una matrice di SU(3). Questo SU(3) deve però essere pensato distinto dall’altro, ed a questo scopo
lo denoteremo con SU(3)c. Si può anche fare una trasformazione combinata, detta di SU(3) ⊗ SU(3)c in quanto le
due trasformazioni agiscono in modo indipendente
ψα,a,i(x) → VabUijψα,a,i(x) (3.6)
Le due trasformazioni sono su basi completamente diverse. Le trasformazioni di tipo V non sono simmetrie delle
equazioni del moto. Infatti queste contengono dei termini che non sono invarianti. Sappiamo per esempio, che le
masse dei barioni all’interno dell’ottetto o del decupletto non sono uguali. Consideriamo come illustrazione il caso

in cui le masse dei quark u, d, s non sono uguali. In questo caso la lagrangiana contiene un termine di massa cosi
costruito
con
¯ψα,a,i(x)Mabψα,b,i(x) (3.7)
Mab =
Se adesso trasformiamo la funzione d’onda, avremo
che è invariante solo se
⎡
⎢
⎣
25
mu
0
0
md
0
0
⎤
⎥
⎦ (3.8)
0 0 ms
¯ψα,a,i(x)Mabψα,b,i(x) → ¯ ψα,b,i(x)V †
bc McdVdeψα,e,i(x) (3.9)
V † MV = M (3.10)
Se questa relazione deve valere per la generica matrice di V di SU(3), si può mostrare che M deve essere proporzionale
alla matrice identità e quindi le masse dei tre quark uguali. Simili considerazioni si possono fare per i barioni.
Dunque questa simmetria è solo approssimata o, come si dice, esplicitamente rotta dalle differenze di massa. In
questo senso queste simmetrie appaiono accidentali e dovute solo al fatto che i parametri assumono certi valori.
Nel caso considerato, per esempio, le masse dei quark u, d sono molto più vicine di quanto non lo sia a loro la
massa dello strano. Se mu = md = ms, il sottogruppo SU(2) che agisce sui quark u, d è una simmetria. Infatti
sperimentalmente la simmetria di isospin è meno rotta della simmetria SU(3). In questo caso sono i valori delle masse
che determinano la struttura della simmetria della teoria. Per quanto riguarda l’SU(3)c, questo è stato introdotto
come una simmetria esatta per risolvere il problema spin-statistica dei quark. Infatti nella nostra analogia funzionava
come lo spin dell’elettrone, semplicemente un grado di libertà che numera stati diversi di una stessa particella.
Nel lavoro di Yang e Mills del 1954, si partiva da una critica delle simmetrie globali esatte nelle teorie relativistiche.
Per capire le loro obbiezioni consideriamo la simmetria relativa all’elettromagnetismo nel caso globale, cioè nel caso
in cui il parametro della trasformazione di gauge sia indipendente da x. Questa è certamente una simmetria della
lagrangiana che descrive, per esempio un elettrone, senza bisogno di introdurre il potenziale elettromagnetico. Conseguenza
della simmetria è il fatto che la fase della funzione d’onda è arbitraria e quindi può essere fissata a piacimento.
Nel caso globale, se un osservatore nel punto x fissa la fase, questa dovrà essere adottata contemporaneamente da tutti
gli altri osservatori in tutti gli altri punti dello spazio-tempo. Questa idea fa però a pugni con la nostra idea intuitiva
di causalità. Il modo per evitare questo problema, suggerito da Yang e Mills era appunto di richiedere che questa
invarianza fosse locale e che quindi ogni osservatore potesse scegliere la fase a proprio piacimento. Ovviamente gli
osservatori devono essere in grado di comunicare tra loro la scelta di questa fase. Quindi se l’osservatore in x sceglie
la fase α(x), e l’osservatore in x + dx la fase α ′ (x + dx), richiederemo per continuità, che le due scelte differiscono di
una quantità proporzionale a dx
α ′ (x + dx) = α(x) + ∂µα(x)dx µ + Aµ(x)dx µ
La quantità Aµ(x)dx µ rappresenta dunque l’arbitrarietà nella scelta della fase da parte dell’osservatore in x + dx.
Possiamo anche dire che Aµ(x) è l’agente fisico che connette le due scelte. Come tale pare ovvio che le particelle
associate siano a massa nulla (cioè che propaghino l’informazione alla velocità della luce). Se la simmetria esatta
non è semplicemente una trasformazione di fase, ma una trasformazione più complicata, del tipo prima considerato,
allora si hanno più fasi arbitrarie. Consideriamo per semplicità il caso di una simmetria corrispondente al gruppo di
trasformazioni SU(2). la generica matrice unitaria 2 × 2 a determinante uno si può scrivere nella forma
U = e
iτ · nθ
dove τ sono le matrici di Pauli e |n| 2 = 1. In questo caso si ha
come segue sviluppando l’esponenziale ed utilizzando
(3.11)
(3.12)
e iτ · nθ = cos θ + iτ · n sin θ (3.13)
(τ · n) 2 = 1 (3.14)

Il determinante è allora dato da
det e
iτ · nθ
= det
cos θ + in3 sin θ (in1 + n2) sin θ
=
(in1 − n2) sin θ cos θ − in3 sin θ
= cos 2 θ + |n| 2 sin 2 θ = 1 (3.15)
Inoltre questa è la matrice più generale di SU(2) dato che dipende da 3 parametri. Ricordiamo che una matrice n × n
unitaria, a determinante uno, è definita da 2n 2 parametri soggetti a n 2 vincoli dalla condizione di unitarietà e ad un
vincolo dalla condizione sul determinante. Quindi una matrice di SU(n) contiene n 2 − 1 parametri indipendenti. Se
definiamo α = 2θn, la matrice di SU(2) può essere riscritta nella forma
U = e iτ · α
2
con α vettore arbitrario. Dunque uno spinore ha proprietà di trasformazione
Più in generale se ψ corrispondesse ad una rappresentazione di isospin T si avrebbe
26
(3.16)
ψ → e iτ
2 · α ψ (3.17)
ψl → (e i T · α )lmψm, l, m = 1, · · · , (2T + 1) (3.18)
Supponiamo dunque che la nostra teoria di partenza possieda una simmetria globale corrispondente ad un gruppo
G con generatori T A che soddisfino l’algebra di Lie
[TA, TB] = if C ABTC
Assumeremo anche che i generatori siano scelti in modo tale da soddisfare la condizione
Tr(TATB) = 1
2 δAB
Tutti i termini che non contengono derivate avranno le stesse proprietà sia nel caso locale che nel caso globale.
Dobbiamo dunque preoccuparci solo dei termini che contengono derivate della funzione d’onda. Per questi termini
introdurremo una generalizzazione della sostituzione minimale. Consideriamo un campo che si trasformi come una
qualche rappresentazione lineare di G
ψ → Uψ, U(x) = e iTAα A (x)
Ricercheremo una generalizzazione della derivata covariante tale che
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(Dµ)lmψm = (δlm∂µ + ig(Aµ)lm)ψm ≈ Dµψ → U(x)Dµψ (3.22)
da questa richiesta si possono fissare le proprietà di trasformazione di (Aµ)lm. Scriveremo anche più semplicemente
Aµ, intendendo con questo simbolo la matrice 2 × 2 che ha per elementi (Aµ)lm. La richiesta è dunque
Dal confronto si ha
(∂µ + igA ′ µ(x))ψ ′ (x) = (∂µ + igA ′ µ(x))U(x)ψ(x) = U∂µ + (∂µU) + igA ′ µ(x)U ψ(x) =
= U(∂µ + igAµ(x))ψ (3.23)
A ′ µ = UAµU −1 + i
−1
(∂µU)U
g
Nel caso di una trasformazione infinitesima potremo scrivere
e quindi
U(x) ≈ 1 + iα A (x)TA
δAµ = iα A (x)[ T A , Aµ(x)] − 1
g ∂µα A (x)TA
(3.24)
(3.25)
(3.26)

Dato che in questa trasformazione Aµ acquista un termine lineare nei generatori di Lie G, vediamo che è consistente
assumere Aµ ∈ Lie G. Quindi potremo scrivere
Si ottiene dunque
e dunque
(Aµ)lm = A A µ (TA)lm
(δA A µ )TA = iα A A B µ [TA, TB] − 1
g ∂µα A TA = −f C ABαAA B µ − 1
g ∂µα A TA
δA C µ = −f C ABα A A B µ − 1 C
∂µα
g
A differenza del caso abeliano il campo di gauge ha anche una trasformazione omogenea che sopravvive per
trasformazioni costanti.
Riassumendo, la derivata covariante è data da
Poiché sotto una trasformazione locale
vediamo che
Dµ = ∂µ + igA A µ TA
27
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
Dµψ → UDµψ = UDµU −1 Uψ (3.31)
Dµ → D ′ µ = UDµU −1 , ψ → ψ ′ = Uψ (3.32)
Dobbiamo adesso occuparci di costruire l’analogo del tensore elettromagnetico Fµν. Si può fare l’osservazione che
questo tensore si può ottenere tramite il commutatore di due derivate covarianti
[∂µ + iqAµ, ∂ν + iqAν] = iqFµν
L’invarianza della derivata covariante sotto trasformazioni di gauge ha come conseguenza l’invarianza di Fµν. Nel
caso di una simmetria non abeliana le cose sono diverse, perché come abbiamo visto la derivata covariante ha una
trasformazione omogenea non banale sotto il gruppo. Possiamo però definire ancora tramite il commutatore un tensore
che si trasforma in modo omogeneo
e quindi
Definendo
si ha
(3.33)
igFµν = [Dµ, Dν] = [∂µ + igAµ, ∂ν + igAν] = ig (∂µAν − ∂νAµ + ig[Aµ, Aν]) (3.34)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ + ig[Aµ, Aν] (3.35)
Fµν = F A µνTA
(3.36)
F A µν = ∂µA A ν − ∂ A ν − gf A BCA B µ A C ν (3.37)
Le proprietà di trasformazione di Fµν sono identiche a quelle della derivata covariante
Fµν → UFµνU −1
(3.38)
Si può allora definire una lagrangiana invariante analoga a quella per i potenziali e.m. tramite la seguente espressione
− 1
2 Tr[FµνF µν ] = − 1 µν
F A 2 FµνBTr[T A T B ] = − 1
4 F A µνF µνA
La differenza cruciale con il caso elettromagnetico è la presenza di termini bilineari nell’espressione del tensore Fµν
che daranno luogo a termini di interazione trilineari e quadrilineari nei potenziali. Questa diversità nasce dal fatto
(3.39)

che il potenziale Aµ non si trasforma solamente con il pezzo inomogeneo nel gradiente delle fasi, ma anche con un
termine omogeneo che è assente nel caso elettromagnetico. A sua volta questo è dovuto al fatto che la simmetria di
fase del caso elettromagnetica è una simmetria abeliana. Cioè due trasformazioni di fase commutano
e iα(x) e iβ(x) = e iβ(x) e iα(x)
mentre nel caso di simmetria non abelianale trasformazioni non comutano
28
(3.40)
e iαA (x)TA e iβ A (x)TA = e iβ A (x)TA e iα A (x)TA (3.41)
La conseguenza è che i potenziali appartengono ad una rappresentazione non banale del gruppo di gauge. Nel caso di
SU(2) i potenziali appartengono ad una rappresentazione di spin 1. Poiché l’argomento della sostituzione minimale si
applica ad ogni derivata applicata ad una funzione d’onda che si trasformi in modo non banale sotto il gruppo, segue
che anche in Fµν si devono introdurre derivate covarianti. Queste generano appunto i termini bilineari che abbiamo
calcolato per altra via. Vedremo dopo che la presenza di questi termini, detti non abeliani, ha profonde conseguenze
fisiche. Espresso con un linguaggio più fisico, il fatto che i potenziali abbiano un termine omogeneo di trasformazione
li rende simili ad una generica funzione d’onda, cioè anch’essi rappresentano funzioni d’onda che portano la carica del
gruppo. Poichè i campi di gauge si accoppiano a qualunque cosa carica, segue che si devono autoaccoppiare.
Vediamo adesso come si modificano le regole di Feynman considerando, ad esempio, un fermione accoppiato ad un
campo di gauge non abeliano. Come illustrazione consideriamo un doppietto di isospin (per esemplificare consideriamo
questa simmetria come se fosse esatta), per esempio i quark u e d. La funzione d’onda avrà anche un indice di isospin
ψαa =
La lagrangiana che descrive le equazioni del moto dei fermioni sarà
e la corrispondente equazione del moto
uα
dα
, a = 1, 2 (3.42)
¯ψ[i ˆ D − m]ψ = ¯ ψ[i ˆ ∂ − g Aµγ µ · τ
− m]ψ (3.43)
2
(i ˆ ∂ − m)ψ = g Aµγµ · τ
ψ (3.44)
2
Le soluzioni dell’equazione d’onda libera nello spazio degli impulsi sono del tipo uα(p)χa, con
χ1 =
1
0
, χ2 =
0
1
Quindi χ1 descrive il quark up, mentre χ2 il quark down. Per il vertice avremo un fattore −igγµτ/2 e quindi per il
grafico elementare di Fig. 18 si ottiene
(3.45)
ū(pf )(−igγµ)u(pi)χ † τ
f 2 χi · ɛ a ɛ λ µ(k) (3.46)
con χf,i che descrivono gli stati di isospin finali ed iniziali, ɛ λ µ è il vettore di polarizzazione per una particella vettoriale
a massa nulla, e ɛ a è una base di vettori tridimensionali che seleziona la componente del campo Aµ. In modo analogo
le interazioni trilineari e quadrilineari dei campi Aµ danno luogo ai vertici raffigurati nelle Figure 19 e 20 , per i quali
non scriveremo però le espressioni analitiche. Le precedenti considerazioni si estendono in maniera banale ai casi
più complicati ed in particolare al caso della simmetria di colore SU(3)c che viene cosi promossa ad una simmetria di
gauge. Le differenze sono nella forma dei generatori del gruppo che adesso saranno matrici 3 × 3 operanti nello spazio
degli spinori a tre componenti χa, a = R, W, B, con
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
χR = ⎣ 0 ⎦ ,
0
⎢ ⎥
χW = ⎣ 1 ⎦ ,
0
⎢ ⎥
χB = ⎣ 0 ⎦ (3.47)
0
0
1
I potenziali sono in numero pari ai generatori, cioè al numero di parametri del gruppo, che come visto prima è n2 − 1
per SU(n), e dunque 8 nel caso in esame. Il termine di accoppiamento tra fermioni e campi di gauge sarà dunque
¯ψai
µ C
−igγ Aµ (TC)ij ψaj
(3.48)

Figura 18 L’accoppiamento fermione-gluone
Figura 19 Il vertice trilineare dei gluoni
p
μ, A
k
p'
β, b γ,
c
μ, A
ν, B
k
1
k
2
Vediamo che l’accoppiamento non cambia il flavor del quark (accoppia cioè quark u con quark u, ecc.), mentre
viene cambiato il colore. Trasforma cioè un quark uR in uW e cosi via. Segue dunque che i campi A C µ sono campi
elettricamente neutri e le corrispondenti particelle vettoriali a massa nulla (analoghe ai fotoni) sono dunque state
identificate con i gluoni all’interno del protone.
A. Correzioni di ordine superiore.
Il fatto che QCD possa spiegare il modello a partoni, cioè un modello in cui i costituenti del protone si comportano
ad alte energie come particelle non interagenti tra loro, appare in contraddizione con il fatto sperimentale che le
interazioni nucleari sono molto più forti delle interazioni elettromagnetiche. Infatti si può stimare che l’analogo forte
della costante di struttura fine dovrebbe essere 102 ÷ 103α. Consideriamo l’interazione pione-nucleone in termini di
quark e della loro interazione di colore, cosi come raffigurato in Fig. 21, possiamo pensare che l’analogo della costante
di struttura fine sia αs = g2 /4π (con g definito nel paragrafo precedente). Seguirebbe allora g2 ≈ 4π. Vediamo
dunque che l’accoppiamento quark gluone è grande e non può certamente essere discusso in regime perturbativo.
Vedremo però, sebbene in modo qualitativo, che in queste teorie il vero parametro di sviluppo non è una costante, ma
piuttosto una funzione della scala di energia tipica del processo che si sta considerando (running coupling constant).
Quindi alle energie tipiche della fisica nucleare, αs (qui intesa running) è dell’ordine dell’unità. Si trova però che con
l’aumentare dell’energia, αs diminuisce (libertà asintotica). Per esempio, alle energie di LEP (circa 90 GeV ) il valore
di αs misurato è circa 0.12. Il running dell’accoppiamento è presente anche in QED (Quantum Electrodynamics), ma
in la variazione di α è molto più piccola ed inoltre cresce con l’energia. In ogni caso nel passare dal limite di bassa
energia alle energie di LEP, α varia da circa 1/137 a 1/128.8, cioè circa del 6%. Cercheremo di illustrare questo punto
in una delle prossime Sezioni. Prima dovremo illustrare il processo di rinormalizzazione e faremo questo in QED.
Iniziamo considerando lo scattering Rutherford(vedi Fig. 22) si ha
iTfi = −i d 4 x d 4 y j el
µ (x)g µν DF (x − y)j stat
ν (y) (3.49)
k
3
λ, C
29

Figura 20 Il vertice quadrilineare dei gluoni
p
n
{
{
d
u
u
μ, A
k
1
ν, B k
λ, C
π +
2
k 4
k
ρ, D
d
d
u
u
d
d
u u
Figura 21 L’interazione protone-neutrone in termini dei quark e delle loro interazioni
dove j stat
µ (x) è la corrente statica associata alla sorgente puntiforme
Usando la (25.5) per j el
µ (x) segue
3
d
u
d
j stat
µ (x) = (Zeδ 3 (x),0) (3.50)
iTfi = (−i) −em
V
ūf γµui d
EiEf
4 x d 4 y e i(pf − pi)x
d
×
4q (2π) 4
−g µν
q2 + iɛ e−iq(x − y) j stat
ν (y) =
em
=
V −ig
ūf γµui
EiEf
µν
q2
d
+ iɛ
4 y j stat
ν (y)e
iq · y
dove q = pf − pi. Possiamo riscrivere questa espressione nella forma
iTfi = (2π)δ(Ef − Ei)
1
√ M
2V E
(1)
con
e
ext
−ig µν
{
{
n
p
30
(3.51)
(3.52)
M (1) = 2mūf (ieγµ)ui
q2 + iɛ (−ijν(q )) (3.53)
jµ(q ) =
d 3 x jµ(x)e
−iq · x
Tra parentesi questo mostra come anche per i processi statici si possano scrivere delle semplici regole di Feynman.
Nel caso in esame si ha
(3.54)
j µ (q) = (Ze,0) (3.55)

Figura 22 Scattering Rutherford
e
p p
i f
q
−ig µν
M (1) = 2mūf (ieγµ)ui
q2 + iɛ (−iZegν0) (3.56)
Questa espressione è del secondo ordine nella carica dell’elettrone. A questo punto si potrebbe misurare sperimentale la
dσ/dΩ ed usando l’espressione precedente ottenere una misura di e. Questa misura passa però attraverso una formula
teorica, la (3.53) che è calcolata all’ordine più basso in e. Se vogliamo un valore più raffinato dovremmo calcolare le
correzioni di ordine più elevato ed usare la nuova espressione di dσ/dΩ per estrarre dai dati il corrispondente valore
per la carica elettrica. Per esempio, un diagramma che contribuisce ad M all’ordine e 4 è quello di Fig. 23 (grafico di
polarizzazione di vuoto). Il contributo del grafico di Fig. 23 è dato da
Figura 23 Il grafico di polarizzazione di vuoto da una correzione allo scattering Rutherford
p
i
p
q
q
−ig µρ
M (2) = (−1)2mūf (ieγµ)ui
q2 + iɛ
d
×
4p (2π) 4
i(ˆp + m)
(ieγρ)αβ
p2 − m2
+ iɛ
βγ
q - p
p
(ieγλ)γδ
f
i(ˆp − ˆq + m)
(p − q) 2 − m2
+ iɛ δα
× −igλν
q 2 + iɛ (−ijν(q)) (3.57)
La somma di M (1) e M (2) produce una espressione simile a M (1) , ma con un propagatore del fotone modificato nel
seguente modo
con
−ig µν
q 2
−igµν
→
q2 Iρλ(q 2
) = (−1)
−igµρ
+
q2 Iρλ(q 2 ) −igλν
q2 d4
p
Tr
(2π) 4
−igµν
=
q2 Iµν
−
q4 i(ˆp + m)
(ieγρ)
p2 i(ˆp − ˆq + m)
(ieγλ)
− m2 (p − q) 2 − m2
31
(3.58)
(3.59)

Si incontra qui il grosso problema dell’espansione perturbativa, cioè quello che succede è che genericamente i contributi
che contengono loop danno luogo ad integrali divergenti. Per esempio vediamo che per grandi p il precedente integrale
si comporta come
4 d p
p2 (3.60)
ed è quindi divergente in modo quadratico (divergenza ultravioletta). In realtà, per motivi legati all’invarianza di
gauge, la divergenza è meno forte, ed in effetti il comportamento ultravioletto dell’integrale è
4 d p
p4 (3.61)
si ha cioè una divergenza logaritmica. Comunque sia l’integrale è divergente. Per procedere inseriamo un cut-off
ultravioletto Λ all’estremo superiore di integrazione. L’integrale è allora definito e lo si può calcolare usando vari
trucchi per i quali rimandiamo alla letteratura specializzata. Il risultato è
Iµν(q 2 ) = −igµνq 2 I(q 2 ) + · · · (3.62)
I termini omessi sono proporzionali a q µ , e come sappiamo non contribuiscono quando il fotone si attacca ad una
corrente conservata. La funzione I(q 2 ) risulta
I(q 2 ) = α
3π
1
Λ2 2α
log −
m2 π 0
dz z(1 − z) log 1 − q2z(1 − z)
m2
Per piccoli valori di q 2 (−q 2

che compare nelle equazioni originali è definito solo quando fissiamo un particolare modo per determinarlo dai dati
(questa si chiama condizione di rinormalizzazione). Nel caso specifico lo si fissa dal valore sperimentale della sezione
d’urto Rutherford per q → 0. Detto questo osserviamo anche che nell’espressione precedente non compaiono quantità
che siano esplicitamente divergenti per Λ → ∞, cioè quando si rimuove il cut-off che si è inserito per definire il nostro
integrale. Dato che anche eR è finito, lo otteniamo dai dati sperimentali, il risultato è che l’ampiezza espressa in
termini della carica rinormalizzata eR è finita. È ovvio che se eR è finita, allora l’originale quantità e deve divergere
per Λ → ∞. Le due espressioni coincidono, pertanto la divergenza esplicita nella ampiezza quando espressa in termini
di e compensa la divergenza insita in e. In altri termini, per dare senso a questa procedura, occorre che la carica da cui
si parte sia infinita (notiamo però che questa divergenza è di ordine superiore nella carica, come si vede dall’espressione
di eR). Detto ciò la rinormalizzazione consiste in una riorganizzazione dell’espansione perturbativa, che all’origine
usa e come parametro di espansione, in un modo che usa invece la carica rinormalizzata eR. I termini dell’espansione
sono allora convergenti. Che questo possa effettivamente realizzarsi non è una caratteristica generale delle teorie
quantistiche relativistiche. Anzi vale solo per una classe ristretta di teorie. Tra le teorie rinormalizzabili sono le teorie
di gauge abeliane (esempio QED), e quelle non abeliane (esempio QCD).
B. Lamb-shift e g − 2
Consideriamo adesso lo scattering Rutherford, con la correzione di polarizzazione di vuoto inclusa
M (1) + M (2) Ze
= −2mūf (iγ0)ui
2 R
q2
1 − e2R 60π2 q2 m2
Il fattore
Ze2 R
q2 = −Ze2 R
|q | 2
(dove si è tenuto conto di q0 = Ef − Ei = 0) altro non è che la trasformata di Fourier del potenziale coulombiano.
Infatti il potenziale scalare soddisfa
e prendendo la trasformata di Fourier
e poiché V0(x) = −eRA0
33
(3.69)
(3.70)
∇ 2
A0(x) = −ZeRδ 3 (x) (3.71)
|q | 2 A0(q ) = ZeR
V0(q ) = − Ze2 R
|q | 2
Ma allora l’equazione (3.69) ci dice che gli effetti quantistici relativistici legati alla produzione ed annichilazione di
coppie generano una correzione al potenziale coulombiano. Il potenziale modificato è
V (x) = −Ze 2 R
d 3 q
(2π) 3
eiq · x
|q | 2
1 + e2R 60π2 (3.72)
(3.73)
|q | 2
m2
= − Ze2R 4π|x| − Ze4R 60π2m2 δ3 (x) (3.74)
Abbiamo detto che la correzione è dovuta al fatto che il fotone scambiato può dissociarsi in coppie virtuali di elettroni,
possiamo allora cercare di visualizzare il fenomeno nel seguente modo. In questo esperimento l’elettrone rappresenta
la carica test che usiamo per misurare la carica della sorgente statica posta nell’origine. Intorno alla sorgente ci sarà
un mare di coppie virtuali elettroni-positroni che sono dovute al fotone tramite il quale viene testata la sorgente. La
sorgente dà luogo ad una polarizzazione di questo mare di coppie. Infatti essendo di carica positiva tenderà a crearsi
attorno una nuvola di elettroni, che schermerà la sorgente, e ad allontanare i positroni. A grandi distanze la carica
test misura la carica risultante dalla carica della sorgente e da tutte le cariche degli elettroni e dei positroni virtuali.
Questa carica è per definizione eR, abbiamo infatti definito quest’ultima come la carica misurata nello scattering
Rutherford per momenti trasferiti tendenti a zero. Se adesso avviciniamo la carica test alla sorgente fino a penetrare
la nuvola elettronica, l’effetto di schermo degli elettroni si riduce e quindi viene sperimentata una carica più grande
(vedi Fig. 25). Dunque la fisica del problema si comprende meglio parlando di una carica funzione della distanza (o

Probe
vicino
e
e− e− e− e+
−
e + e + e +
e + e + e +
e− e− e− e− e− e− e− e +
e + e− e +
e + e− e +
e + e− e− e− e− e− e + e + e +
e + e + e +
e− e− e− e− e− e− Probe
lontano
Figura 25 Le correzioni virtuali generano una nuvola di coppie che schermano la carica centrale
dell’energia). L’idea di un accoppiamento running a cui abbiamo accennato in precedenza discende naturalmente da
queste considerazioni. Discende anche che la carica effettiva (running) aumenta a piccole distanze o a grandi energie.
Una modifica del potenziale coulombiana ha conseguenze fisiche osservabili che possono essere quantificate, per
esempio, nello spostamento che subiscono i livelli di energia dell’atomo di idrogeno. Lo spostamento si può calcolare
usando la teoria delle perturbazioni al primo ordine
∆Enlm = d 3 x ψ ⋆ nlm(x)Vint(x)ψnlm = − e4R 60π2m2 |ψn00(0)| 2 δl0δm0
(3.75)
dove la presenza di δl0δm0 è dovuta a ψnlm(0) = 0 per l = 0. La funzione d’onda dell’atomo di idrogeno all’origine è
si trova dunque
ψn00(0) = 1
√ π
∆En00 = − 16π2α2 R
60π2m2 m3α3 R
n3
mαR 3/2
n
34
(3.76)
= − 4α5 R
m (3.77)
15πn3 I livelli 2s 1/2 e 2p 1/2 sono degeneri tenendo conto delle correzioni di struttura fine ed iperfine, ma l’effetto delle
correzioni radiative è di eliminare la degenerazione. Questo effetto è chiamato il Lamb-shift (l’effetto fu misurato da
Lamb nel 1947). Il valore misurato è circa 1057 MHz di cui −27 MHz sono dovuti al grafico di polarizzazione di
vuoto che abbiamo ora calcolato. Il resto del contributo ha origine nella correzione di vertice che è dovuta al grafico
di Fig. 26 ed alle correzioni di self-energia. La correzione di vertice ha come risultato di modificare la struttura delle
Figura 26 Le correzioni virtuali generano una nuvola di coppie che schermano la carica centrale
corrente dell’elettrone. Dopo la rinormalizzazione di carica si trova
ūf γµui → ūf F1(q 2 )γµ − αR iσµν
2π 2m qν
ui
(3.78)

Come abbiamo visto nella discussione effettuata per il protone, F1 (di cui non riportiamo qui l’espressione) contribuisce
alla parte di interazione dovuta alla carica e porta quindi una correzione all’interazione coulobiana che fornisce, come
detto prima, il resto del contributo al Lamb-shift. Un valore relativamente recente per il valore teorico del Lamb-shift
è quello di Mohr (1975)
∆E(2s 1/2 − 2p 1/2 )theor = 1057.864 ± 0.014 MHz (3.79)
che ha tenuto in conto, oltre a correzioni radiative di ordine più elevato, anche degli effetti di rinculo del nucleo e
di raggio finito nucleare, rispettivamente di ordine (m/M)(ZαR) 4 e (RN m) 2 (Zα4 R ). L’errore più importante deriva
dalla difficoltà del tener conto degli effetti di legame nel propagatore dell’elettrone. Questo valori si può comparare
con il valore sperimentale ottenuto da Andrews e Newton (1976)
∆E(2s 1/2 − 2p 1/2 )exp = 1057.862 ± 0.020 MHz (3.80)
Il secondo termine che modifica la corrente produce, come abbiamo visto, una correzione al rapporto giromagnetico,
e si ha
µ = − e
1 +
2m
αR
σ (3.81)
2π
da cui segue
g = 2 + αR
π
Notiamo che la differenza g − 2 è indipendente dal tipo di particella. In realtà se si spingono i calcoli agli ordini
superiori, questo non è più vero. Per i contributi sino 3 loop, cioè al terzo ordine in αR si trova
g − 2
= 0.5
2
αR
αR
2
αR
3
− 0.328 478 445 + 1.183(11) =
π π
π
da confrontarsi con
theor
= 1 159 652 359(282) × 10 −12
g − 2
2
exp
= 1 159 652 410(200) × 10 −12
Per un’idea delle difficoltà teorica di un simile calcolo, occorre la valutazione di 891 diagrammi, in quanto oltre
al calcolo sino al terzo ordine occorre almeno una valutazione grossolana del quarto ordine per stimare gli errori.
Andando agli ordini superiori occorre anche inserire nel fotone virtuale che corregge il vertice le correzioni dovute
alla polarizzazione di vuoto alla quale contribuiscono tutte le particelle cariche. Questo produce una incertezza
nella valutazione del risultato, che per l’elettrone è piccola, dell’ordine di 10−12 . Nel caso del muone le correzioni
adroniche, in particolare pongono un limite asoluto sulla precisione ottenibile. Qui si ha, sommando il contributo
dell’elettrodinamica
µ,QED
g − 2
= 1 165 851.8(2.4) × 10
2
−9
(3.85)
al contributo adronico
il risultato
da confrontare con
g − 2
2
g − 2
2
g − 2
2
theor
µ
µ,hadr
theor
theor
µ
exp
= 66.7(9.4) × 10 −9
= 1 165 919(10) × 10 −9
= 1 165 922(9) × 10 −9
Lo strabiliante accordo di queste predizioni teoriche con i dati sperimentali che fa della QED una delle teorie meglio
verificate da anche una confidenza straordinaria alla tecnica di manipolazione degli infiniti che è la rinormalizzazione.
35
(3.82)
(3.83)
(3.84)
(3.86)
(3.87)
(3.88)

+
e 0
+
e
=
e 0 +
e 0
e 0
e 0
e 0
e 0
e 0
e0 e0 e0
+
e 0
+
e 0
e 0
e 0
e 0
+ ...
Figura 27 La serie infinita di grafici che definiscono la carica elettrica misurata
+
e
e
e 0
e 0
e 0
e0 e0 e 0
=
+ ...
Figura 28 La misura della carica elettrica dallo scattering eµ → eµ
C. Rinormalizzazione.
e 0
e 0
+
e 0
Q = μ2
2
Come abbiamo visto, la carica elettrica (o la costante di accoppiamento) misurata non è quella connessa con il
vertice elementare, che qui chiameremo e0, o carica nuda (bare), ma la carica e (carica vestita o dressed) che risulta
da tutte le possibili correzioni radiative al vertice elettromagnetico (vedi Fig. 27).
Se ci limitiamo a considerare la parte divergente di questo grafici si può mostrare che le correzioni di vertice e
quelle associate alle linee esterne fermioniche (cioè quelle dovute all’emissione ed al riassorbimento di un fotone sulle
gambe esterne fermioniche) si cancellano tra loro, e quindi il problema della rinormalizzazione della carica elettrica
ha a che fare solo con le correzioni di polarizzazione di vuoto. Questa cancellazione elimina un potenziale paradosso.
Infatti le correzioni di vertice e di lineee esterne dipendono dalla massa del fermione. Se, per esempio, consideriamo
un elettrone ed un muone con uguale carica nuda, se le correzioni dipendono dalla massa, ne segue che le cariche
+
e 0
e 0
e 0
e 0
e 0
+
+
36

vestite sono diverse. Ma sperimentalmente risultano identiche. Dunque dovremmo aggiustare le cariche nude in modo
da rendere identiche le cariche vestite. Questo modo innaturale di procedere non è in realtà necessario, perchè come
detto solo la polarizazzione di vuoto del fotone contribuisce e questa `la stessa per qualunque tipo di particella esterna.
Come si dice, questo tipo di correzioni sono universali.
Consideriamo adesso un processo di scattering quale e− µ − → e− µ − . Possiamo definire la carica elettrica misurata
tramite l’espansione grafica di Fig. 28, dove abbiamo fissato il valore di Q2 = −q2 a µ 2 , dove µ è una scala arbitraria
dalla cui scelta dipende il corrispondente valore di e. In genere risulta conveniente fissare la scala all’energia tipica
del processo. Nel caso dello scattering Rutherford, per esempio, abbiamo definito la carica nel limite Q2 → 0. Dato
che le correzioni sono solo sulla linea fotonica segue dalla (3.58)
da cui, ponendo I(Q 2 ) = e 2 0f(Q 2 ), segue
µν −ig
q2 e 2
Q2 =µ 2
= e 2 0
+ −igµρ
q2 −ig
Iρλ
λσ
q2 Iστ
−ig µν
−ig τν
q 2
q2
−igµρ
+
q2 −ig
Iρλ
λν
q2 +
Q 2 =µ 2
37
(3.89)
e 2 = e 2 0[1 − I(µ 2 ) + I 2 (µ 2 ) + · · ·] = e 2 0[1 − e 2 0f(µ 2 ) + e 4 0f 2 (µ 2 ) + · · ·] (3.90)
Calcoliamo adesso l’ampiezza per questo processo. Si avrà
M(e0) = e 2 0F (Q 2 )[1 − e 2 0f(Q 2 ) + e 4 0f 2 (Q 2 ) · · ·] (3.91)
dove la e 2 0F (Q 2 ) è chiaramente l’ampiezza calcolata all’ordine più basso in e 2 0. Come si è già visto nello scattering
Rutherford, dato che f(Q 2 ) è una funzione divergente questa espressione non è ben definita. Se però esprimiamo e0
in funzione di e (rinormalizzazione), all’ordine e 4 si ha
Sostituendo in M(e0)
Ricordiamo che I(Q 2 ) è dato da eq. (3.63)
e 2 0 = e 2 [1 + e 2 f(µ 2 ) + · · ·] (3.92)
M(e0) = e 2 [1 + e 2 f(µ 2 ) + · · ·]F (Q 2 )[1 − e 2 f(Q 2 ) + · · ·] =
= e 2 F (Q 2 )[1 − e 2 (f(Q 2 ) − f(µ 2 )) + · · ·] ≡ MR(e) (3.93)
I(Q 2 ) = e 2 f(Q 2 ) = α
3π
1
Λ2 2α
log −
m2 π 0
dz z(1 − z) log 1 + Q2z(1 − z)
m2
vediamo che essendo la divergenza indipendente da Q 2 , essa si cancella nella differenza. Dunque MR(e) = M(e0)
non ha termini divergenti, ed è finita se assumiamo che e sia la carica che si misura. Pertanto la rinormalizzazione
di carica, o se vogliamo la riparametrizzazione dell’ampiezza in termine di e rende tutto finito. Possiamo calcolare
f(Q 2 ) − f(µ 2 ) per grandi Q 2 (ed anche grandi µ 2 )
Si ha cosi
e 2 (f(Q 2 ) − f(µ 2 )) = − 2α
π
→ − 2α
π
1
0
1
dz z(1 − z) log
MR(e) = e 2 F (Q 2
) 1 − α
3π
0
2 2 m + Q z(1 − z)
m2 + µ 2
→
z(1 − z)
dz z(1 − z) log Q2
µ 2 = − α Q2
log
3π µ 2
Q2
log
µ 2 + · · ·
Notiamo che MR(e) dipende apparentemente da µ, ma in realtà non è cosi. Infatti e è definito dalla (3.90) ed è
quindi esso stesso funzione di µ. Ciò che succede è che la dipendenza di e da µ cancella la dipendenza esplicita da µ
in MR(e). Questo segue da MR(e) = M(e0) e dal fatto che MR(e) non dipende da µ. Possiamo formalizzare questo
fatto scrivendo
(3.94)
(3.95)
(3.96)
M(e0) = MR(e(µ), µ) (3.97)

da cui, derivando rispetto a µ
dM(e0)
dµ
∂MR ∂MR ∂e
= + = 0 (3.98)
∂µ ∂e ∂µ
Questa equazione esprime in modo formale quanto enunciato prima circa l’indipendenza dell’ampiezza espressa in
termini della carica rinormalizzata dall scala arbitraria µ. Questa è un’ovvia richiesta fisica. L’equazione precedente
è un prototipo di equazione del gruppo di rinormalizzazione, in quanto dice come deve cambiare la costante di
accoppiamento quando si cambia la scala di definizione.
Ritorniamo all’espressione (3.91) per M(e0), vediamo che essa è data dall’ampiezza senza loop e2 0F (Q2 ) moltiplicata
per una serie geometrica che deriva dall’iterazione del grafico di polarizzazione di vuoto. È allora naturale definire un
accoppiamento dipendente dall’impulso del fotone, tramite l’espressione
e 2 (Q 2 ) = e 2 0[1 − e 2 0f(Q 2 ) + e 4 0f 2 (Q 2 ) + · · ·] =
e 2 0
1 + e 2 0 f(Q2 )
Anche in questa espressione e0 e f(Q 2 ) sono espressioni divergenti, ma congegnate in modo tale per cui e 2 (Q 2 ) è
finita. Si può vedere ciò, esprimendo ancora la carica nuda e0 in termini della carica rinormalizzata e(µ 2 ), vedi eq.
(3.90)
Riscrivendo queste due equazioni nella forma
e sottraendo membro a membro si ha
da cui
e 2 (µ 2 ) =
1
e2 (Q2 1
=
) e2 + f(Q
0
2 ),
e 2 0
1 + e 2 0 f(µ2 )
38
(3.99)
(3.100)
1
e2 (µ 2 1
=
) e2 + f(µ
0
2 ) (3.101)
1
e2 (Q2 1
−
) e2 (µ 2 ) = f(Q2 ) − f(µ 2 ) (3.102)
e 2 (Q 2 ) =
e 2 (µ 2 )
1 + e 2 (µ 2 )[f(Q 2 ) − f(µ 2 )]
Vediamo che all’ordine e 4 , questa espressione ci permette di riscrivere MR(e) nella forma
(3.103)
MR(e) = e 2 (Q 2 )F (Q 2 ) (3.104)
In effetti non è difficile mostrare che se si tengono in conto tutti i grafici di polarizzazione di vuoto, l’ampiezza
MR(e) è ancora data dall’espressione precdente, con e 2 (Q 2 ) data dalla (3.103). Vediamo cosi che il vero parametro
di espansione della teoria è proprio l’accoppiamento funzione dell’energia, cioè la running coupling constant. Usando
la (3.95) segue
α(Q 2 ) =
α(µ 2 )
1 − α(µ2 )
3π
log Q2
µ 2
(3.105)
Vediamo che α(Q 2 ) aumenta con Q 2 e quindi il nostro approccio perturbativo perderà validità per quei Q 2 tali che
α(Q 2 ) ≈ 1, cioè per
da cui si trova
1 − α(µ2 )
3π
log Q2
µ 2 = α(µ2 ) (3.106)
Q2 µ 2 = e
1
3π
α(µ 2
− 1
)
(3.107)

Se prendiamo α(µ 2 ) ≈ 1/137 si ha
Q 2
µ 2 ≈ e1281 ≈ 5 × 10 556
39
(3.108)
Vediamo dunque che l’approccio perturbativo, nel caso di QED, rimane valido fino a valori incredibilmente alti
dell’energia. Questa discussione mette in chiara luce il fatto che l’andamento dell’accoppiamento running è fissato
dalla funzione I(Q 2 ), cioè dal grafico di polarizzazione del vuoto del fotone. In particolare α(Q 2 ) aumenta con Q 2
perché in e 2 (µ 2 )(f(Q 2 ) − f(µ 2 )) (vedi (3.95)) il coefficiente del logaritmo è negativo (pari a −α(µ 2 )/(3π)).
Nel caso di QCD abbiamo visto che a causa della non-abelianità della teoria, esistono dei termini di autoaccoppiamento
dei gluoni (termini trilineari e quadrilineari). Gli autoaccoppiamenti danno oltre al grafico di polarizzazione di
vuoto dovuto ai quark, un ulteriore contributo dovuto ai gluoni, all’ordine g 2 (vedi Fig. 29). Si trova che il coefficiente
Figura 29 I contributi a one-loop alla self-energia del gluone
del log(Q 2 /µ 2 ) è ora dato da
+ +
αs(µ 2 )
4π
− 2
3 nf
+ 11
(3.109)
con αs = g2 /(4π) (g l’accoppiamento di gauge dei gluoni, vedi eq. (3.48)) e nf è il numero di flavor. Nel caso di
QED va omesso il termine 11 che è dovuto in modo esclusivo all’autoaccoppiamento dei gluoni. Quindi si dovrebbe
ottenere il risultato ponendo nf = 1. Invece per QED si trova
αs(µ 2 )
4π
− 4
3
(3.110)
La differenza del fattore 2 segue da una diversa definizione degli accoppiamenti in QCD e QED. In QCD il vertice
ha un termine gλC/2 (vedi (3.48)), con λC, C = 1, · · · 8 i generatori di SU(3)c (generalizzazione 3 × 3 delle matrici
di Pauli), che sono scelti con una normalizzazione data da
Il loop di fermioni dà un contributo proporzionale a
Tr[λAλB] = 2δAB
g 2
4 Tr[λAλB] = g2
2 δAB
(3.111)
(3.112)
Il fattore 1/2 a secondo membro spiega la differenza, perché in QED il loop dà un contributo proporzionale a e 2 .
Vediamo allora che per
il coefficiente del logaritmo è positivo. Si ha allora
αs(Q 2 ) =
nf < 33
2
αs(µ 2 )
1 + αs(µ 2 )
12π (33 − 2nf ) log Q2
µ 2
(3.113)
(3.114)
Quindi per Q 2 crescente, αs(Q 2 ) diminuisce (libertà asintotica). Se si cerca di parafrasare la discussione fatta per
QED ciò che emerge è che a causa delle autointerazioni dei gluoni, un quark colorato, per esempio il blu è in prevalenza
circondato da cariche blu. Quindi, invece di avere un effetto di schermaggio si ha antischermaggio, e la carica vista

dalla particella test diminuisce a corte distanze. Il fatto che a basse energie αs(Q 2 ) diverga, viene preso come un
indizio del confinamento. In realtà questo argomento non è rigoroso, perché l’andamento trovato per αs(Q 2 ) è basato
su calcoli perturbativi che hanno solo senso per alte energie, quando αs(Q 2 ) è piccola. La formula precedente può
essere scritta in modo più suggestivo se definiamo la scala, ΛQCD, alla quale αs(Q 2 ) diverge. Questa scala dà quindi
una stima dell’energia tipica alla quale i quark si legano per formare gli adroni. Si ha
Λ 2 QCD = µ 2
12π
−
e αs(µ 2
)(33 − 2nf )
Sostituendo per µ 2 nella formula per αs(Q 2 ) si ha
αs(Q 2 12π
) =
(33 − 2nf ) log(Q 2 /Λ 2 QCD)
40
(3.115)
(3.116)
Questa formula stabilisce una corrispondenza uno ad uno tra αs e ΛQCD, per cui possiamo anche dire che QCD è
definita dalla scala ΛQCD piuttosto che dalla costante di accoppiamento. Per capire quando si possa applicare la
teoria perturbativa a QCD, mettiamoci nel caso di 5 flavor (u, d, s, c, b). Prendendo poi dalle stime recenti (vedi Fig.
Figura 30 I dati sperimentali sul running di αs(Q 2 )
30) un valore di ΛQCD dell’ordine di 200 MeV , e richiedendo, per esempio, αs(Q 2 ) ≈ 0.15, si trova che questo avviene
per
6π
Q = ΛQCDe 23 × 0.15 ≈ 235ΛQCD ≈ 50 GeV (3.117)
Ci possiamo anche chiedere a Q dell’ordine del GeV quale sia il valore di αs. Si trova (prendendo in questo caso
nf = 3 e ΛQCD ancora dell’ordine di 200 GeV )
αs(1 GeV ) ≈ 0.43 (3.118)
Quindi da QCD ci si aspetta, nonostante tutto, che ci siano delle correzioni abbastanza grosse ai dati di SLAC,
anche se da questi argomenti si vede che gli ordini di grandezza dovrebbero essere giusti. In effetti misure successive
più precise di quelle che abbiamo visto hanno messo in luce che ci sono deviazioni delle leggi di scaling e che queste
deviazioni sono in accordo con quanto previsto da QCD (entro qualche %).

IV. LE TRANSIZIONI DI FASE
Come abbiamo visto QCD ad alte energie si comporta come una teoria quasi libera. È naturale aspettarsi che ad
energie asintotiche gli stati osservabili di QCD siano quark e gluoni. Alte energie significa anche che se abbiamo un
insieme statistico di materia adronica e lo portiamo ad alte temperature ci aspettiamo appunto che si formi un gas
di gluoni e quark. Analogamente comprimendo la materia adronica, e quindi portando i quark a piccole distanze, ci
aspettiamo che questi ed i gluoni si comportino come particelle libere. In realta’ vedremo che in queste condizioni
altri fenomeni hanno luogo, quali la superconduttività di colore. D’altra parte quark e gluoni in condizioni ordinarie,
a bassa energie, non sono stati osservabili (ipotesi del confinamento). Infatti a basse energie gli stati osservati sono
mesoni e barioni. Pertanto ci aspettiamo che aumentando sia la temperatura che la densita’ di un sistema di quark
e gluoni, possa avvenire una transizione di fase. Prima di passare ad uno studio delle transizioni di fase in QCD,
iniziamo una discussione generale delle transizioni di fase e come queste siano connesse alle simmetrie del sistema
fisico in discussione.
A. Introduzione
Uno dei contributi più importanti alla teoria delle transizioni di fase è dovuto a Pierre Curie che nella sua tesi
del 1895 iniziava lo studio delle transizioni magnetiche ponendosi alcune domande, quali: dato che dal punto di
vista magnetico esistono vari tipi di sostanze, come le diamagnetiche, le paramagnetiche e le ferromagnetiche, le
loro proprietà magnetiche sono scorrelate o si tratta di un unico fenomeno che si manifesta sotto differenti aspetti?.
Le misure di Curie dimostrarono che mentre la suscettività delle sostanze diamagnetiche era indipendente dalla
temperatura T , per le sostanze paramagnetiche diminuiva al crescere di T . Infine, una sostanza ferromagnetica
riscaldata, si trasforma in una sostanza debolmente magnetica al di sopra di una certa temperatura (temperatura di
Curie).
Nel 1905, Langevin proponeva una teoria delle sostanze diamagnetiche e paramagnetiche che spiegava i dati di Curie
attribuendo il diamagnetismo ed il paramagnetismo all’esistenza o meno, di un momento magnetico permanente. Se si
trascurano le interazioni magnetiche tra le varie molecole, cosa ragionevole per sostanze paramagnetiche, si dimostra
che la magnetizzazione M di un materiale paramagnetico in un campo H ed alla temperatura T , è data dalla relazione
µH
M = Nµ L
(4.1)
kT
dove N è il numero di molecole, µ il loro momento magnetico e L la funzione di Langevin
L(x) = coth x − 1
x
Infatti, l’energia di un singolo momento di dipolo µ è data da
mentre la magnetizzazione media sarà data da
Si ottiene dunque
da cui, posto x = µH/kT ,
〈cos θ〉 =
41
(4.2)
E = −µ · H = −µH cos θ (4.3)
M = Nµ〈cos θ〉 (4.4)
e µH cos θ/kT cos θd 3 r d3 q
(2π) 3
e µH cos θ/kT d 3 r d3 q
(2π) 3
+1
e
−1
〈cos θ〉 =
xw w dw
+1
e xw dw
−1
+1
e
−1
=
µHw/kT w dw
+1
e µHw/kT dw
−1
= d
+1
log e
dx
−1
xw
dw
(4.5)
(4.6)

si ottiene infine
〈cos θ〉 = d
e
log
dx
x − e−x
= L(x) (4.7)
x
da cui la (4.1). È interessante studiare il comportamento della funzione di Langevin per µH ≪ kT , cioè per x ≪ 1
e
cioè
coth x = ex + e−x ex 1
− e−x ≈
x
L(x) ≈ 1 x3
x −
3 45
1 x3
+ x −
3 45
42
(4.8)
(4.9)
M ≈ Nµ2
H (4.10)
3kT
Vediamo cosi che M decresce con l’aumentare di T , in accordo con i fatti sperimentali.
L’esistenza della temperatura di Curie fu spiegata nel 1906 da Weiss che introdusse il concetto fondamentale di
campo medio. L’idea di Weiss era che ogni singolo magnete fosse soggetto sia al campo esterno che al campo HM
dovuto a tutti gli altri magneti. Weiss suppose inoltre che HM fosse proporzionale alla magnetizzazione stessa
HM = KM (4.11)
L’equazione (4.1) che determina la magnetizzazione diviene ora una relazione di autoconsistenza
µ(H + KM)
M = Nµ L
kT
Se per H = 0 poniamo
si ottiene la condizione
Per piccoli valori di x, si ottiene dall’espansione 4.8)
x = M KNµ2
, y =
Nµ kT
(4.12)
(4.13)
x = L(xy) (4.14)
x = xy
3 − x3y3 45
Vediamo che per y ≤ 3 questa equazione ha soluzione solo a x = 0, mentre per y > 3, dato che
(4.15)
lim L(x) = 1 (4.16)
x→∞
si deve avere una soluzione per x = 0. Il grafico di L(xy) in funzione di x, per vari valori di y, è illustrato in Fig. 31.
Pertanto, il punto critico al di sopra del quale si ha una magnetizzazione spontanea è y = 3, cioè
Tc = KNµ2
3k
Usando ancora l’espansione della funzione di Langevin possiamo calcolare la suscettività.
temperatura critica (per cui x ≈ 0) e per piccoli valori del campo magnetico
Infatti, vicino alla
µ(H + KM)
L
≈
kT
µ
(H + KM)
3kT
(4.18)
(4.17)

1.0 1.5 2.0
2.0
0.0 0.5
2.0 L(xy)
1.5
1.0
0.5
0 0.5 1.0 1.5 2.0
Figura 31 Soluzione grafica dell’equazione L(xy) = coth(xy) − 1/(xy) = x. La linea più grossa è la retta y = x
L’equazione diviene allora
e risolvendo per M
da cui ricaviamo la suscettività magnetica
y = 5
y = 3
y =1
M = Nµ2
Tc
(H + KM) = (H + KM) (4.19)
3kT KT
M = Tc
K
χ = ∂M
∂H
H
T − Tc
= Tc
K
1
T − Tc
Questa relazione ci mostra come la suscettività magnetica abbia una divergenza del tipo 1/(T − Tc) in vicinanza del
punto critico.
La teoria di Weiss rappresenta una tappa molto importante per lo studio dei fenomeni critici, dato che introduce il
concetto di campo medio che si rivelerà estremamente fruttuoso.
Langevin considerava già il para ed il ferromagnetismo come due fasi distinte, ma questa idea non rientrava del tutto
nelle idee della sua epoca, dato che non si aveva una discontinuità apparente nelle due fasi. Una analoga difficoltà si
presentava anche nello studio delle leghe metalliche. Consideriamo per esempio CuZn. A basse temperature il rame
e lo zinco occupano i siti di due diversi reticoli cubici (vedi Fig. 32)), mentre ad alte temperature sono distribuiti
casualmente sui nodi di un reticolo cubico centrato. Per introdurre un grado di ordine, introduciamo il numero di
Cu
Figura 32 Il reticolo cubico del rame con al centro un atomo di Zinco. Gli atomi di Zinco formano a loro volta un reticolo
cubico. La lega è chiamata β-brass
Zn
x
43
(4.20)
(4.21)

atomi, r, che si trovano nella posizione corretta rispetto alla configurazione ordinata, e di numero di atomi, w, che si
trovano nel posto sbagliato. Il grado di ordine è allora definito come
s =
r − w
r + w
Allora s = 1 quando tutti gli atomi si trovano nella configurazione giusta, w = 0. Mentre nella configurazione
disordinata, in cui r = w in media, si ha s = 0. Se consideriamo la sola entropia dovuta alla configurazione atomica
avremo (N = r + w)
N!
S = k log W = k log
(4.23)
r!w!
ed usando la formula di Stirling
44
(4.22)
S = k(N log N − r log r − w log w) (4.24)
Introducendo ora la frazione di atomi in posizione corretta f = r/N, avremo w = (1−f)N e l’entropia si può riscrivere
nella forma
Notiamo anche che il grado di ordine si può riscrivere in termini di f come
S = −kN[f log f + (1 − f) log(1 − f)] (4.25)
s = 2f − 1 (4.26)
Se supponiamo di scambiare un atomo di rame con uno di zinco, avremo una variazione di f pari a δf = −1/N,
quindi
δS = ∂S
f
δf = k log
∂f 1 − f
In questo scambio l’energia libera F = U − T S rimarrà invariata e quindi la variazione di entropia dovrà essere
compensata da una variazione di U. Avremo allora
o in termini del grado di ordine
Risolvendo in s
δU = kT log
δU = kT log
f
1 − f
1 + s
1 − s
s = eδU/kt − 1
eδU/kt δU
= tanh
+ 1 2kT
Bragg e Williams nel 1934 fecero l’ipotesi che la variazione di energia interna necessaria a compensare la variazione
di entropia fosse essa stessa proporzionale al grado di ordine s e posero
da cui si ottiene la condizione di autoconsistenza
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
δU = V0
s (4.31)
2
s = tanh V0s
4kT
L’ipotesi di Bragg e Williams non è altro che l’analoga ipotesi fatta per il campo medio da Weiss. Le soluzioni della
equazione precedente possono essere studiate ancora tramite una espansione in serie per piccoli s. Conviene anche in
questo caso definire
x = s, y = V0
4kT
(4.32)
(4.33)

2.0
1.5
1.0
0.5
Tanh(xy)
y = 1.5
y = 1.0
y = 0.5
0 0.5 1.0 1.5 2.0
Figura 33 Soluzione grafica dell’equazione tanh(xy) = x. La linea più grossa è la retta y = x
e l’equazione diviene
Si ha per x ≪ 1
x
x = tanh xy (4.34)
tanh xy ≈ xy − x3 y 3
e quindi l’equazione di autoconsistenza ha soluzioni nulle per y ≤ 1 e soluzioni diverse da zero per y > 1 (ancora
notare che la tanh x tende a 1 per x → ∞). Quindi la temperatura critica è data da
Tc = V0
4k
Questa situazione è rappresentata in Fig. 33. Al di sotto di questa temperatura il sistema è completamente ordinato
e quindi s = 1. Bragg e Williams notarono che anche in questo caso il passaggio dall’ordine totale al disordine è
continuo e chiamarono questo tipo di transizione continua. Fecero anche l’ulteriore osservazione che la transizione si
completava giusto alla temperatura critica.
Nel 1911, Kammerling-Omnes osservò che la densità dell’elio liquido aveva un massimo a 2.2 0 K. Fu poi mostrato
che il calore specifico aveva una discontinuità alla stessa temperatura. L’interpretazione fu che l’elio coesistesse in due
fasi distinte, elio I e elio II. Però il valore del calore latente misurato risultava consistente con zero. Dunque anche
questa transizione doveva considerarsi di tipo continuo come le altre.
Nel 1933, Ehrenfest dette una classificazione delle transizioni di fase facendo riferimento all’energia libera di Gibbs
3
45
(4.35)
(4.36)
G = U − T S + P V (4.37)
e chiamando
1) Transizioni del 1 0 ordine, quelle con una discontinuità in grandezze, come l’entropia, collegate alle derivate prime
di G (S = −(∂G/∂T )P )
2) Transizioni del 2 0 ordine, quelle con discontinuità in grandezze, come il calore specifico, collegate alle derivate
seconde di G (cP = T (∂S/∂T )P ).
Le idee più utile in questo settore vennero però introdotte nel 1937 da Landau. Egli osservò che le transizioni
senza calore latente si accompagnavano ad un cambiamento della simmetria del problema. A questo cambiamento
Landau associò il concetto di parametro d’ordine. Il parametro d’ordine è in generale una quantità estensiva, definita
in modo da risultare nulla nella fase più simmetrica e non nulla nella fase meno simmetrica. Negli esempi precedenti i
parametri d’ordine erano la magnetizzazione M e la variazione di energia interna δU. Nel caso della magnetizazzione
la fase più simmetrica è quella disordinata in cui si ha invarianza per rotazioni in 3 dimensioni, mentre nella fase
ordinata, meno simmetrica, sopravvive solo l’invarianza per rotazioni lungo la direzione della magnetizzazione. Nel

caso delle lega CuZn, nella fase ordinata, meno simmetrica, si hanno due sottoreticoli distinti, quello occupato dal
rame e quello occupato dallo zinco. Nella fase disordinata i due sottoreticoli diventano equivalenti e si acquista una
simmetria di permutazione tra i due. La classificazione di Landau delle transizioni di fase procede allora come segue:
1) Transizioni senza parametro d’ordine. Le simmetrie nelle varie fasi non sono incluse le une nelle altre. Queste
transizioni risultano sempre del 1 0 ordine nel senso di Ehrenfest.
2) Transizioni con parametro d’ordine. Il gruppo di simmetria della fase meno simmetrica è incluso nel gruppo della
fase più simmetrica. Se il parametro d’ordine è discontinuo alla transizione, la transizione è del 1 0 ordine, se continuo
la transizione è del 2 0 ordine.
Il grande progresso di Landau fu nel supporre che l’energia libera di Gibbs (che in realtà per Landau è piuttosto
un funzionale fenomenologico, più che la G) fosse una funzione analitica del parametro d’ordine in vicinanza della
transizione. Questa ipotesi permetteva il calcolo di certe quantità in vicinanza del punto critico. Per esempio era
possibile calcolare come il parametro d’ordine η si annullasse in vicinanza del punto critico
oppure come divergesse la suscettibilità magnetica
η ≈ (Tc − T ) 1
2 (4.38)
1
χ ≈
T − Tc
Più generalmente si definisce una serie di esponenti critici quali
calore specifico C ≈ (Tc − T ) −α′
T < Tc
C ≈ (T − Tc) −α T > Tc
parametro d ′ ordine η ≈ (Tc − T ) β T < Tc
suscettivita ′ χ ≈ (Tc − T ) −γ′
T < Tc
χ ≈ (T − Tc) −γ T > Tc
Nella teoria di Landau, come vedremo, si trova che indipendentemente dal numero di dimensioni dello spazio
Mentre in un modello risolubile, quale il modello di Ising in due dimensioni, si ha
46
(4.39)
(4.40)
α = α ′ = 0
β = 1
2
γ = γ ′ = 1 (4.41)
α = α ′ = 0, β = 1
8 , γ = γ′ = 7
4
e nel caso tridimensionale sono stati stimati i seguenti valori
α ′ ≈ 1 5
, β ≈
8 16 , γ′ ≈ 5
4
Questo significa che l’approccio di Landau non è corretto, ed infatti vedremo che l’origine dei problemi sta nel fatto
che la teoria di Landau ignora le fluttuazioni del parametro d’ordine. Questa approssimazione è corretta in un numero
di dimensioni maggiore di quattro, ma non per d ≤ 4. Più in generale, molte relazioni tra gli esponenti critici seguono
dall’ipotesi che l’energia libera, vicino alla transizione, abbia una forma del tipo
F (T, η) ≈ (T − Tc) 2−α
η
f
(T − Tc) β
(4.44)
Questa ipotesi non ha una dimostrazione rigorosa ma ha molte conferme sia teoriche che sperimentali. I lavori di
Kadanoff e Wilson conducono ad un tale risultato.
B. La teoria di Landau delle transizioni del secondo ordine
Come abbiamo mostrato negli esempi precedenti, nella teoria di campo medio per le transizioni del secondo ordine
si arriva ad equazioni di autoconsistenza del tipo
x = ax + bx 3
(4.42)
(4.43)
(4.45)

con i parametri a e b funzioni della temperatura e delle altre caratteristiche del sistema. La temperatura critica è
fissata dalla condizione di avere soluzioni diverse da zero che equivale a richiedere a(Tc) = 1. Soluzioni non nulle sono
determinate da
x 2 =
Negli esempi esaminati l’assenza di termini in x2 era legata a particolari simmetrie del problema. Infatti in entrambi i
casi si deve avere fisicamente la stessa soluzione sia per M → −M per il ferromagnete che per s → −s (r → w) nel caso
della lega. Questi fatti portarono Landau all’idea che simili considerazioni fossero applicabili a tutte le transizioni di
fase del secondo ordine. La teoria risultante è una teoria fenomenologica basata su considerazioni generali di simmetria
e di analiticità. Questa trattazione può anche essere motivata basandosi su di un calcolo microscopico, ma questo
tipo di approccio non è molto rigoroso e non risulta nemmeno di particolare utilità.
La teoria di Landau postula che esista una funzione L (energia libera di Landau) che dipende da una serie di
parametri tipici del problema, quali temperatura, pressione, ecc. L’insieme di questi parametri è l’insieme delle costanti
di accoppiamento del problema che vengono indicate collettivamente da {Ki}. Inoltre L dipende dal parametro, o
dai parametri, d’ordine. L non coincide con l’energia libera di Gibbs, sebbene ne sia strettamente correlata. È infatti
una ipotesi fondamentale della teoria di Landau che tutte le funzioni termodinamiche possano essere calcolate da L
come se essa coincidesse con G. Le proprietà che si assumomo per la funzione di Landau sono le seguenti:
1) L deve essere invariante rispetto alle simmetrie del problema.
2) In vicinanza di Tc, dove η (parametro d’ordine) si annulla, L può essere sviluppata in una serie di potenze in η e
negli accoppiamenti. Cioè L è analitica in η e nei {Ki}. Nel caso di un sistema spazialmente uniforme potremo allora
scrivere
L = L
V =
1 − a
b
∞
an(Ki)η n
n=0
3) In un sistema inomogeneo con parametro d’ordine η(r), funzione della posizione, L è una funzione locale del
parametro d’ordine. Dipende cioè solo da η(r) e da un numero finito di derivate.
4) Per T < Tc, la condizione di minimo è risolta con η = 0, mentre per T > Tc la soluzione è η = 0. Ne segue che
per T sufficientemente vicino a Tc potremo prendere un numero finito di termini nell’espansione (2.3). In particolare
terremo i termini sino al quarto ordine
L =
4
an(Ki)η n
n=0
La scelta del parametro d’ordine è evidentemente correlata con le proprietà di simmetria del sistema. Negli esempi
visti precedentemente avevamo una simmetria M → −M e s → −s rispettivamente. Il gruppo di simmetria di
queste teorie è il gruppo discreto ZZ2. Nella fase simmetrica il parametro d’ordine è nullo ed il sistema possiede
tutta l’invarianza originale G. Nella fase rotta, in cui η = 0 il sistema non può essere più invariante sotto il gruppo
originale, ma sopravviverà solo la simmetria corrispondente al sottogruppo H ⊂ G che lascia invariante il minimo in
η. Questa situazione è del tutto generale. Tipicamente il parametro d’ordine si trasforma sotto una rappresentazione
irriducibile r di G, η (r)
i , i = 1, · · · , dim(r). Nella fase simmetrica si ha η (r)
i = 0, mentre nella fase rotta avremo η(r) α = 0,
per tutti gli α tali che sotto una trasformazione di H η (r)
α → η (r)
α . Questo significa che la decomposizione di r in
rappresentazioni di H deve contenere almeno una volta la rappresentazione scalare di H. Per esempio, se G = O(4)
e η (r)
i = v, e H = O(3) corrispondente a rotazioni attorno all’asse 4, la soluzione non nulla può essere solo del tipo
v = (0, 0, 0, v), che è evidentemente invariante sotto O(3).
Se ci restringiamo a considerare il caso di un singolo parametro d’ordine con simmetria ZZ2, dovremo eliminare i
termini dispari nella L ed avremo quindi
L = a0(Ki) + a2(Ki)η 2 + a4(Ki)η 4
Il parametro a0(Ki) rappresenta il valore della funzione di Landau nella fase simmetrica e può essere momentaneamente
ignorato. Per quanto concerne a2 ed a4 supporremo di poterli sviluppare intorno alla temperatura critica:
a2 = a 0 2 +
T − Tc
Tc
a 1 2
47
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
a4 = a 0 4 + (T − Tc)a 1 4 (4.50)

Dalla minimizzazione di L si ha
e
Per T > Tc si deve avere un minimo a η = 0 e quindi
2ηa2 + 4η 3 a4 = 0 (4.51)
∂ 2 L
∂η 2 = 2a2 + 12a4η 2
Analogamente, per T < Tc, si deve avere una soluzione non nulla
In questo caso si ha
La condizione di minimo ci da dunque
Per avere una soluzione reale segue
Poiché a2 cambia di segno alla transizione, si dovrà avere
da cui
48
(4.52)
a2 > 0, T > Tc (4.53)
η 2 = − a2
, T < Tc (4.54)
2a4
∂2L ∂η2 = 2a2
+ 12a4 − a2
= −4a2
2a4
(4.55)
a2 < 0, T < Tc (4.56)
a2 = a 1 2
a4 > 0 (4.57)
a 0 2 = 0 (4.58)
T − Tc
con a 1 2 > 0. Non abbiamo informazioni sul segno di a4 per T < Tc, ma se esso fosse negativo, allora a4 dovrebbe
annullarsi alla transizione e quindi entrambi a2 ed a4 sarebbero nulli. Lo sviluppo al 4 0 ordine non sarebbe allora
sufficiente e dovremmo spingerlo almeno sino al 6 0 ordine (in questo caso si ha un punto tricritico nel diagramma
di fase). Discuteremo questa possibilità in seguito. Limitarsi al 4 0 ordine è equivalente quindi a supporre a4 = 0 a
T = Tc e quindi, per continuità, avremo a4 > 0 anche un poco al disotto della transizione. L’energia libera di Landau
può essere riscritta allora nella forma
con
Tc
L = atη 2 + 1
2 bη4 + a0
T − Tc
t =
e a > 0 e b > 0 due parametri fenomenologici. Possiamo anche introdurre un campo esterno come si è fatto nel caso
dei materiali ferromagnetici scrivendo
Tc
(4.59)
(4.60)
(4.61)
L = atη 2 + 1
2 bη4 + a0 − Hη (4.62)
Siamo adesso in grado di valutare gli esponenti critici. Ricordiamo che per l’energia libera di Gibbs G = F + P V vale
la relazione
dG = −SdT + V dP (4.63)

da cui
S = − ∂G
dT
P
, V = ∂G
∂P
Possiamo allora calcolare l’entropia specifica dalla funzione di Landau
dato che sul minimo
∂L(η, T )
S = −
∂T
= − ∂L
∂η
∂L
∂η
T
T
∂η
∂T
− ∂L
∂T
T
= −
η ∂L
∂T
Si ha allora, trascurando i termini η 4 che risultano del secondo ordine in t 2 ,
S = − ∂a0
∂T
η
49
(4.64)
(4.65)
= 0 (4.66)
a
− η
Tc
2 = S0 − a
η
Tc
2
con S0 l’entropia nella fase simmetrica. Nella fase rotta avremo η2 fissato da
0 = ∂L
= 2atη + 2bη
∂η T
3 − H (4.68)
Per H = 0 si ha
e quindi
S = S0 + a2
Il calore specifico a pressione costante nella fase rotta è dato da
mentre nella fase simmetrica
bTc
cP = T ∂S
∂T
(4.67)
η 2 = − a
t (4.69)
b
t = S0 + a2
bT 2 (T − Tc) (4.70)
c
P
cP = c 0 P
La discontinuità del calore specifico alla transizione è data da
∆cP = a2
= c 0 P + a2
bT 2 T (4.71)
c
Inoltre per T → T ± c , cP tende ad una costante. Pertanto gli esponenti critici associati sono nulli
Dalla (4.69) si ottiene l’andamento del parametro d’ordine
da cui
Pertanto
bTc
(4.72)
(4.73)
α = α ′ = 0 (4.74)
η 2 = − a
(T − Tc) (4.75)
bTc
a
η = (Tc − T )
bTc
1/2
β = 1
2
(4.76)
(4.77)

Per il calcolo della suscettività occorre riconsiderare la condizione di minimo a campo esterno non nullo
Dato che la suscettività è definita da
2atη + 2bη 3 − H = 0 (4.78)
χ =
∂η(T, H)
∂H
H=0
possiamo calcolare la soluzione della (4.78) per piccoli H. Ponendo
e sostituendo nella (4.78) si ottiene
da cui
Per T > Tc, si ha η0 = 0 e quindi
ovvero si trova che la suscettività nella fase simmetrica è
con l’esponente critico dato da
50
(4.79)
η = η0 + χH (4.80)
2at(η0 + χH) + 2b(η 3 0 + 3η 2 0χH) − H = 0 (4.81)
χ =
(2at + 2bη 2 0)η0 = 0
2atχ + 6bη 2 0χ − 1 = 0 (4.82)
χ = 1
2at
(4.83)
Tc
2a(T − Tc) , T > Tc (4.84)
γ = 1 (4.85)
Nella fase rotta, T < Tc, η 2 0 è dato dalla (4.69) e sostituendo nell’equazione (4.82) per χ si ha
e quindi
Pertanto la suscettività nella fase rotta è
con
2atχ − 6atχ − 1 = 0 (4.86)
χ = − 1
4at
Tc
(4.87)
χ = −
4a(T − Tc) , T < Tc (4.88)
γ ′ = 1 (4.89)
Un ulteriore esponente critico che viene definito è quello legato al comportamento del parametro d’ordine in funzione
del campo esterno lungo l’isoterma critica t = 0. Si ha immediatamente dalla (4.68)
definendo
vediamo che nella teoria di Landau,
H = 2bη 3
(4.90)
η ≈ H δ , T → Tc (4.91)
δ = 1
3
(4.92)

C. Transizioni del 1 0 ordine
Come abbiamo visto la teoria di Landau è costruita sulla base dell’assunzione che il parametro d’ordine η sia piccolo
nel limite t → 0. Se la simmetria del problema non lo impedisce potremmo dunque inserire anche termini dispari in
η. Termini lineari in η non possono essere inseriti (a campo esterno nullo). Perchè altrimenti la condizione di minimo
non potrebbe avere soluzione nulla per T > Tc
∂L
∂η = a1 + 2a2η + 3a3η 2 + · · · = 0 (4.93)
O detto in altri termini si può sempre ridefinire il parametro d’ordine sottraendogli il suo valore nella fase rotta.
Limitandosi ancora ad una espansione sino al 4 0 ordine termini in η 3 non sono però esclusi a priori
L = atη 2 + 1
2 bη4 + Cη 3 − Hη (4.94)
Limitiamoci ancora al caso H = 0. Il valore di equilibrio per il parametro d’ordine è dato da
e quindi si hanno le soluzioni
Per la soluzione non nulla troviamo
È conveniente definire
e quindi
La funzione di Landau è
e
2atη + 2bη 3 + 3Cη 2 = 0 (4.95)
η = 0, 2bη 2 + 3Cη + 2at = 0 (4.96)
η = − 3C
4b ±
η = −c ±
3C 2 c = 3C
4b
4b
L = atη 2 + 1
2 bη4 + 4
3 bcη3
51
− a
t (4.97)
b
(4.98)
c2 − a
t (4.99)
b
(4.100)
∂ 2 L
∂η 2 = 2at + 6bη2 + 8bcη (4.101)
La soluzione η = 0 è un minimo per T > Tc (t > 0). Soluzioni non nulle possono esistere solo se è soddisfatta la
condizione
c 2 − a
t ≥ 0 (4.102)
b
Ovvero per
t ≤ t ∗ , t ∗ = bc2
a
(4.103)
Dato che t ∗ > 0, si hanno soluzioni non nulle anche nell’intervallo 0 ≤ t ≤ t ∗ . Senza perdere di generalità possiamo
fissare c > 0, allora per t = t ∗ si ha η = −c. Quindi dalla (4.100) si ha
∂2L ∂η2
t=t ∗
= 0 (4.104)

Questo è un punto di flesso orizzontale. Al di sotto della temperatura corrispondente a t ∗ si sviluppa allora un secondo
minimo. Infatti ricavando η 2 dalla condizione di stazionarietà (4.96)
2at + 2bη 2 + 4bcη = 0 (4.105)
e sostituendolo nelle derivata seconda di L si ha
∂2
L
= −4at − 4bcη = −4at − 4bc −c ± c
∂η2 2 − a
b t
dove si è fatto uso della (4.97). Questa espressione può essere riscritta nella forma
52
(4.106)
∂ 2 L
∂η 2 = −4a(t − t∗ ) ∓ 4 √ abc 2√ t ∗ − t = 4a[(t ∗ − t) ∓ √ t ∗√ t ∗ − t] (4.107)
Vediamo che per t < t∗ esiste un secondo minimo per la soluzione con il segno inferiore, cioè per
a√
¯η = −c − t∗ − t = −c 1 + 1 −
b
t
t∗
(4.108)
Questo secondo minimo non sarà il minimo assoluto finché non si raggiunge la temperatura corrispondente ad un
valore ¯t tale che
Ovvero (avendo qui ignorato il termine a0) quando
Vale a dire
Sostituendo per b¯η 2 il valore che si ottiene dalla (4.105) si ottiene
t = t
t = t*
t > t*
L[η = 0] = L[η = ¯η] (4.109)
L[¯η] = 0 (4.110)
a¯t¯η 2 + 1
2 b¯η4 + 4
3 bc¯η3 = 0 (4.111)
2
1
-2 -1 0 1 2
t < t*
Figura 34 L’energia libera di Landau, L/b, in funzione del parametro d’ordine η. In figura si è fissato τ ∗ = 1
1
2 a¯t + 1 1
bc¯η =
3 2 a¯t − 1
3 bc2
1 + 1 − ¯t
t∗
= 0 (4.112)
η

ovvero
Quadrando si arriva a
che ha due soluzioni
− 1
3 t∗
1 − ¯t 1
=
t∗ 3 t∗ − 1
2 ¯t (4.113)
1
4 ¯t 2 − 2
9 ¯tt ∗ = 0 (4.114)
¯t = 0,
¯t = 8
9 t∗
Si verifica immediatamente che ¯t = 0 è una soluzione spuria e quindi
¯t = 8
9 t∗
53
(4.115)
(4.116)
è il valore di t al quale i due minimi diventano uguali. Sotto ¯t infine ¯η diventa il minimo assoluto. L’evoluzione di L
al variare di t è rappresentata in Fig. 34 dove, dopo aver diviso L per b si trova
L
b = τη2 + 1
2 η4 + 4√
τ ∗ 3 a
η , τ =
3
b t, τ ∗ = a
b t∗
(4.117)
In Fig. 35 abbiamo invece rappresentato il parametro d’ordine in funzione di t. Questa analisi mostra dunque che la
transizione avviene con una discontinuità nel parametro d’ordine e si tratta quindi di una transizione del primo ordine.
Allo stesso tempo vediamo che non è corretto fare uso della teoria fenomenologica di Landau basata su un’espansione
per valori piccoli del parametro d’ordine in vicinanza della temperatura critica. In definitiva, se la simmetria non
η
Figura 35 L’andamento del valore assoluto del parametro d’ordine in funzione della temperatura ridotta t. Il parametro si
annulla a t = ¯t
costringe il parametro C ad annullarsi si può avere una transizione di fase del primo ordine. Il fatto che C sia diverso
da zero non garantisce in generale la presenza di una transizione del primo ordine. Per esempio il minimo secondario
potrebbe cadere in una zona non fisica per il parametro d’ordine. Occorre anche osservare che le fluttuazioni possono
giocare un ruolo determinante nel cambiare l’ordine di una transizione.
V. ROTTURA SPONTANEA DELLE SIMMETRIE
Vogliamo adesso approfondire la teoria di Landau delle transizioni di fase del secondo ordine. In particolare
vogliamo discutere la rottura spontanea delle simmetrie che è profondamente legata alle transizioni di fase. L’idea è
estremamente semplice e consiste nell’osservare che una teoria con una hamiltoniana invariante sotto un dato gruppo
di simmetria può avere soluzioni non invarianti, ma semplicemente soluzioni che si trasformano l’una nell’altra sotto
la simmetria. Mostreremo che questo avviene se le seguenti due condizioni sono soddisfatte:
t t*
t

• La teoria è invariante sotto un gruppo di simmetrie G.
• Lo stato fondamentale della teoria è degenere e si trasforma in modo non banale rispetto al gruppo G.
A titolo di esempio consideriamo un campo scalare descritto da una lagrangiana invariante per parità
La densità di lagrangiana sarà del tipo
Se lo stato di vuoto è non degenere avremo, a meno di un fattore di fase,
dato che P commuta con l’hamiltoniana. Segue
da cui
P : φ → −φ (5.1)
L = 1
2 ∂µφ∂ µ φ − V (φ 2 ) (5.2)
P |0〉 = |0〉 (5.3)
〈0|φ|0〉 = 〈0|P −1 P φP −1 P |0〉 = 〈0|P φP −1 |0〉 = −〈0|φ|0〉 (5.4)
〈0|φ|0〉 = 0 (5.5)
Le cose cambiano se lo stato fondamentale è degenere. Nell’esempio (5.2) questo succede se
V (φ 2 ) = µ2
2 φ2 + λ
4 φ4
con µ 2 < 0. Infatti il potenziale ha allora due minimi collocati a
φ = ±v, v =
Indicando con |R〉 e |L〉 i due stati corrispondenti alla configurazione classica φ = ±v, si ha
Dunque
− µ2
λ
54
(5.6)
(5.7)
P |R〉 = |L〉 = |R〉 (5.8)
〈R|φ|R〉 = 〈R|P −1 P φP −1 P |R〉 = −〈L|φ|L〉 (5.9)
Questa relazione non implica che il valore di aspettazione del campo sia nullo. Nel seguito saremo interessati in
modo particolare al caso di simmetrie continue. Cosi consideriamo due campi scalari e una densità di lagrangiana con
simmetria O(2)
dove
L = 1
2 ∂µ φ · ∂ µ φ − 1
2 µ2 φ · φ − λ
4 ( φ · φ) 2
φ · φ = φ 2 1 + φ 2 2
Per µ 2 > 0 c’è un unico stato fondamentale, il minimo del potenziale è a φ = 0. Se invece µ 2 < 0, ci sono infiniti stati
degeneri dati dall’equazione
| φ| 2 = φ 2 1 + φ 2 2 = v 2
con v definito come in (5.7). Indicando con R(θ) l’operatore che ruota i campi nel piano (φ1, φ2), nel caso degenere
si ha
(5.10)
(5.11)
(5.12)
R(θ)|0〉 = |0〉 (5.13)

e
poiché φ θ = φ. Nel caso µ 2 < 0 (caso degenere), si ha
〈0|φ|0〉 = 〈0|R −1 RφR −1 R|0〉 = 〈0|φ θ |0〉 = 0 (5.14)
R(θ)|0〉 = |θ〉 (5.15)
dove |θ〉 è uno degli infiniti stati fondamentali degneri che stanno sul cerchio | φ| 2 = v 2 . Quindi
with
〈0|φi|0〉 = 〈0|R −1 (θ)R(θ)φiR −1 (θ)R(θ)|0〉 = 〈θ|φ θ i |θ〉 (5.16)
φ θ i = R(θ)φiR −1 (θ) = φi
Quindi non è necessario che il valore del campo sia nullo. Si può dire che l’esistenza di uno stato fondamentale degenere
forza il sistema a scegliere uno di questi stati equivalenti e conseguentemente la simmetria viene rotta. D’ altra parte
la rottura è solo a livello delle soluzioni, la lagrangiana e le equazioni del moto preservano la simmetria. Si possono
costruire facilmente dei sistemi classici con rottura spontanea della simmetria. Un esempio è una particella classica in
un potenziale di doppia buca. Il sistema ha una simmetria di parità x → −x, con x la posizione della particella. Le
posizioni di equilibrio sono i minimi ±x0. Se mettiamo la particella vicina a x0, essa farà delle oscillazioni attorno a
questo punto ed il sistema perde la simmetria originale. Un altro esempio è quello del ferromagnete. L’ hamiltoniana
è invariante per rotazioni, ma quando lo si raffreddi al di sotto della temperatura di Curie, come abbiamo visto, si
ha una magnetizzazione spontanea e la simmetria risulta rotta. Come abbiamo già discusso queste situazioni sono
tipiche delle transizioni di fase del secondo ordine. Queste si descrivono in ternmini dell’energia libera di Landau che
dipende da due diversi tipi di parametri:
• Parametri di controllo, per esempio µ 2 per il campo scalare, e la temperatura per il ferromagnete.
• Parametri d’ordine, per esempio il valore di aspettazione del campo scalare e la magnetizzazione.
Il sistema passa da una fase all’altra variando i parametri di controllo e la transizione è caratterizzata dai parametri
d’ordine che assumono valori diversi nelle varie fasi.
A livello quantistico la situazione è più involuta perché la rottura spontanea non può accadere nei sistemi finiti.
Questa è una conseguenza dell’effetto tunnel che rimuove la degenerazione dello stato fondamentale. Consideriamo ancora
una particella in un doppio pozzo di potenziale. Possiamo definire gli stati fondamentali tramite la corrispondenza
con i minimi classici
55
(5.17)
x = x0 → |R〉
x = −x0 → |L〉 (5.18)
Ma a causa dell’effetto tunnel ci può essere una transizione tra i due stati che rimuove la degenerazione. Infatti
l’hamiltoniana acquisterà un elemento di matrice non nullo tra i due stati |R〉 e |L〉. Indicando con H la matrice
dell’hamiltoniana tra questi stati avremo
Gli autovalori di H sono
Non si ha più degenerazione e gli autostati risultano
con autovalore ES = ɛ0 + ɛ1, and
H =
ɛ0 ɛ1
ɛ1 ɛ0
(5.19)
(ɛ0 + ɛ1, ɛ0 − ɛ1) (5.20)
|S〉 = 1
√ 2 (|R〉 + |L〉) (5.21)
|A〉 = 1
√ 2 (|R〉 − |L〉) (5.22)

con autovalore EA = ɛ0 − ɛ1. Si può dimostrare che ɛ1 < 0 e quindi lo stato fondamentale è quello simmetrico |S〉.
Come risultato avremo una oscillazione quantistica. Possiamo esprimere gli stati |R〉 e |L〉 in termini degli autostati
dell’energia
|R〉 = 1
√ 2 (|S〉 + |A〉)
|L〉 = 1
√ 2 (|S〉 − |A〉) (5.23)
Supponiamo di preparare uno stato ponendo una particella nel minimo di destra.
dell’energia e quindi oscillerà con una evoluzione temporale
Questo non è un autostato
|R, t〉 = 1
√ e
2
−iESt
|S〉 + e
−iEAt
|A〉 = 1
√ e
−iESt
|S〉 + e
2 −it∆E
|A〉
(5.24)
con ∆E = EA − ES. Dunque per t = π/∆E lo stato |R〉 si trasforma nello stato |L〉. L’oscillazione avviene con un
periodo
T = 2π
∆E
In natura ci sono sistemi finiti come la molecola di zucchero che sembrano esibire una rottura spontanea della simmetria.
Infatti si osservano molecole di zucchero sia destrorse che sinistrorse. La spiegazione è che il periodo di
oscillazione è in questo caso molto lungo, dell’ordine di 10 4 − 10 6 anni.
La separazione dello stato fondamentale dal primo stato eccitato decresce con l’altezza della barriera di potenziale
tra i due minimi quindi, per sistemi infiniti l’altezza della barriera diventa infinita e si può avere rottura spontanea.
Per esempio, nel caso del campo scalare, segue dall’invarianza traslazionale del vuoto
56
(5.25)
〈0|φ(x)|0〉 = 〈0|e iP x φ(0)e −iP x |0〉 = 〈0|φ(0)|0〉 = v (5.26)
e la differenza di energia tra il massimo a φ = 0 e il minimo aφ = v, diventa infinita nel limite di volume infinito
H(φ = 0) − H(φ = v) = − d 3 x
2 µ
2 v2 + λ
4 v4
= µ4
4λ
d 3 x = µ4
V
4λ
(5.27)
A. Esempio di rottura spontanea della simmetria
V
Abbiamo visto come i fenomeni di creazione e distruzione di particelle diano luogo a termini non-lineari nelle funzioni
d’onda delle varie particelle. Questo non significa ovviamente che gli stati quantici non hanno più una struttura di
spazio vettoriale, ma semplicemente che lo spazio di Hilbert che si deve considerare è lo spazio di tutte le particelle
che intervengono nel processo. Per esempio, nel decadimento del µ si ha uno stato iniziale che è uno stato di particella
singola, mentre lo stato finale è uno stato a tre particelle. Entrambi questi stati vanno considerati come appartenenti
ad uno spazio di Hilbert costituito dallo stato senza particelle, il vuoto, gli stati ad una particella, gli stati a due e
cosí via. La matrice T è allora un operatore lineare che mappa, nel caso del decadimento del µ, uno stato di particella
singola in uno stato a tre particelle. In generale quando si ha questa struttura multilineare nelle funzioni d’onda
significa semplicemente che si sta considerando uno stato a molte particelle in questo spazio di Hilbert allargato, detto
anche spazio di Fock. Questo lungo discorso serve per introdurre anche per le particelle scalari la possibilità di termini
di autointerazione, quali φ 3 , φ 4 , ecc., che daranno luogo a vertici trilineari, quadrilineari e cosí via. Descriveranno
cioè una transizione da una particella in due, due in due o una in tre, ecc. Il fatto nuovo che emerge per gli scalari
è la possibilità, nel caso di autointerazioni, che ci siano delle soluzioni costanti per le funzioni d’onda, e che quindi
l’espansione in onde piane sia della forma
V
φ(x) = c + onde piane (5.28)
Come vedremo, la costante permetterà di generare la massa per i bosoni vettoriali in una teoria di gauge. Poiché una
soluzione costante c = 0 corrisponde a pµ = 0 (∂µc = 0), la si associa ad una struttura non banale del vuoto. Per
contrasto il caso c = 0, corrisponde ad una struttura di vuoto banale (assenza di campo). Consideriamo allora una
lagrangiana per φ della forma
L = ∂µφ ⋆ ∂ µ φ − V (|φ| 2 ) (5.29)

In questo modo L ha una simmetria globale di fase U(1). Le equazioni del moto saranno
∂ 2 φ = − ∂V
∂φ ⋆
Nel caso libero, V = m 2 |φ| 2 e quindi l’unica soluzione costante è φ = 0. In generale, questo tipo di soluzioni sarà
determinato da
cioè dai punti di stazionarietà del potenziale. Per esemplificare consideriamo
Segue
57
(5.30)
∂V
= 0 (5.31)
∂φ⋆ V = µ 2 |φ| 2 + λ(|φ| 2 ) 2
(5.32)
∂V
∂φ ⋆ = 0 −→ φ(µ2 + 2λ|φ| 2 ) = 0 (5.33)
Se assumiamo λ > 0, che discende dalla richiesta di non avere un minimo per campi infiniti, si hanno due casi
1. µ 2 > 0. L’unica soluzione della (5.33) è φ = 0. Il potenziale ha un unico minimo.
2. µ 2 < 0. Si ha un massimo a φ = 0 ed una circonferenza di minimi per
|φ| = − µ2
2λ ≡ v √
2
Il caso 1 corrisponde alle situazioni fin qui studiate. In una espansione del potenziale attorno a φ = 0 si identifica
il termine quadratico con il termine di massa, mentre i monomi superiori sono termini di interazione che vengono
trattati in modo perturbativo. Nel caso del potenziale (5.32) la massa è µ 2 . Nel caso 2, se espandiamo attorno
a φ = 0, il termine quadratico del potenziale è negativo ed invece di avere soluzioni libere di tipo onde piane, si
hanno esponenziali reali, quindi soluzioni instabili (che divergono all’infinito). Quello che occorre fare è naturalmente
espandere attotno ad una soluzione di minimo, in modo che il termine quadratico (che altro non è che la curvatura
del potenziale al minimo) sia positivo. A causa della degenerazione dei minimi, vediamo in effetti che il potenziale
ha una curvatura positiva in direzione ortogonale alla circonferenza dei minimi, mentre ha curvatura zero lungo la
circonferenza. Ci aspettiamo quindi di avere due particelle nella teoria cosí definita, una con massa e l’altra a massa
nulla. In vista di queste considerazioni geometriche conviene parametrizzare φ in coordinate polari
(5.34)
φ(x) = 1
√ 2 (η(x) + v)e iθ(x)
v (5.35)
In languaggio geometrico, v/ √ 2 è il raggio della circonferenza dei minimi, mentre θ e η rappresentano gli spostamenti
in direzione tangente alla circonferenza ed in direzione radiale rispettivamente. Si ha allora
e
da cui
∂µφ(x) = 1
√ 2 ∂µη(x)e iθ(x)
v + i
√ 2v (η(x) + v)e iθ(x)
v ∂µθ(x) (5.36)
∂µφ ⋆ (x) = 1
√ 2 ∂µη(x)e −iθ(x)
v − i
√ 2v (η(x) + v)e −iθ(x)
v ∂µθ(x) (5.37)
L = 1
2 ∂µη∂ µ η + 1
2v 2 (η + v)2 ∂µθ∂ µ θ − V ( 1
2 (η + v)2 ) (5.38)
Occorre anche osservare che abbiamo decomposto φ in due quantità reali η e θ. Infatti una funzione d’onda complessa
come sappiamo descrive in genere due gradi di libertà, che, nella situazione usuale corrispondono a due particelle di

carica opposta. Una particella neutra come il pione (o come il fotone) è invece descritta da una funzione d’onda reale.
L’espressione precedente mostra che, indipendentemente dalla forma del potenziale, θ ha massa nulla come aspettato.
Per vedere η occorre usare la forma (5.32) del potenziale. Si trova
da cui
L = 1
2 ∂µη∂ µ η + 1
2v2 (η + v)2∂µθ∂ µ θ − µ2
2 (η + v)2 − λ
(η + v)4
4
58
(5.39)
L = 1
2 ∂µη∂ µ η + 1
2 ∂µθ∂ µ θ + µ 2 η 2 + termini di interazione (5.40)
dove i termini di interazione contengono termini trilineari e quadrilineari. Pertanto
m 2 θ = 0, m 2 η = −2µ 2
dove ricordiamo che −µ 2 > 0. La particella θ è chiamata bosone di Goldstone ed appare tutte le volte che si ha
la rottura spontanea di una simmetria globale. Infatti la scelta che si è fatto della soluzione, minimo a θ = η = 0,
corrisponde a partire da un punto particolare della circonferenza dei minimi. Una qualunque altra scelta è ovviamente
possibile, ma corrisponde a fare la teoria a partire da una soluzione differente. In realtà la teoria è simmetrica, ma le
soluzioni non lo sono perchè differiscono nella scelta della fase di v. La simmetria in questo caso, invece di lasciare la
soluzione invariante, come nel caso φ = 0, mappa una soluzione nell’altra. Possiamo allora partire dalla forma della
lagrangiana ottenuta ed espandere η e θ in onde piane e costruire la teoria perturbativa.
B. Il teorema di Goldstone
Una delle conseguenze più interessanti della rottura spontanea delle simmetrie è il teorema di Goldstone. Il teorema
asserisce che in una teoria relativistica ad ogni simmetria continua, rotta spontaneamente, è associato un campo scalare
a massa zero (bosone di Goldstone). 1 Il teorema di Goldstone vale rigorosamente in una teoria di campi locale se
valgono le seguenti ipotesi:
• la simmetria spontaneamente rotta deve essere una simmetria continua.
• La teoria deve essere manifestamente covariante.
• Lo spazio di Hilbert della teoria deve essere a norma definita positiva.
Qui ci limiteremo ad illustrare il teorema nel caso di una teoria di campo scalre che generalizza il caso di O(2) visto
precedentemente. Consideriamo la lagrangiana del modello σ con invarianza O(N)
Affinché V abbia un minimosi deve avere
Le soluzioni sono
L = 1
2 ∂µ φ · ∂ µ φ − µ 2
2 φ · φ − λ
4 ( φ · φ) 2
∂V
∂φl
(5.41)
(5.42)
= µ 2 φl + λφl| φ| 2 = 0 (5.43)
φl = 0, | φ| 2 = v 2 , v =
Il carattere dei punti stazionari è determinato dalle derivate seconde
Ci sono due possibilità
∂ 2 V
∂φl∂φm
−µ 2
= δlm(µ 2 + λ| φ| 2 ) + 2λφlφm
λ
(5.44)
(5.45)
1 In una teoria non relativistica il conteggio dei bosoni di Goldstone dipende dal tipo di relazione di dispersione. Se l’energia è lineare
nell’impulso ad ogni simmetria è associato un campo a massa zero. Se invece l’energia è quadratica nell’impulso allora per ogni campo
a massa nulla ci sono due simmetrie rotte

• µ 2 > 0, si ha solo un minimo reale dato da φ = 0, poiché
∂2V = δlmµ
∂φl∂φm
2 > 0 (5.46)
• µ 2 < 0, ci sono infinite soluzioni tra cui φ = 0 è un massimo. I punti della sfera | φ| 2 = v 2 sono minimi degeneri.
Infatti, scegliendo φl = vδlN come un punto rappresentativo, si ha
∂2V = 2λv
∂φl∂φm
2 δlN δmN > 0 (5.47)
Consideriamo il secondo caso. Espandendo il potenziale attorno al minimo si ottiene
V (
φ) ≈ V +
minimum
1 ∂
2
2V
(φl − vδlN )(φm − vδmN) (5.48)
∂φl∂φm minimum
Se effettuiamo una espansione perturbativa, i campi da usare sono φl − vδlN , e la loro massa è data da
M 2 lm = ∂2V
= −2µ
∂φl∂φm minimo
2 ⎡
0 0 · 0
⎢ 0 0 · 0
δlN δmN = ⎢
⎣ · · · ·
0 0 · −2µ 2
⎤
⎥
⎦
Quindi le masse dei campi φa, a = 1, · · · , N − 1 e χ = φN − v, sono date da
Definendo
m 2 φa = 0, m2 χ = −2µ 2
m 2 = −2µ 2
possiamo scrivere il potenziale come funzione dei nuovi campi
V = − m4 1
+
16λ 2 m2χ 2
m2λ +
2 χ
N−1
a=1
φ 2 a + χ 2
+ λ
N−1
4
a=1
φ 2 a + χ 2
Come vediamo la simmetria originale O(N) è rotta. Sopravvive una simmetria residua O(N − 1). Infatti V dipende
solo dalla condizione N−1 a=1 φ2a ed è invariante sotto rotazioni attorno all’asse che abbiamo scelto per rappresentativo
per lo stato fondamentale (0, · · · , v). Si deve però osservare che il potenziale che abbiamo trovato non è il potenziale
più generale invariante sottoO(N − 1). Infatti il potenziale più generale (fino a termini del quarto ordine) che descrive
N campi scalari con simmetria O(N − 1) dipende da 7 accoppiamenti, mentre quello che abbiamo ottenuto dipende
da due soli parametri m e λ. Quindi la rottura spontanea della simmetria impone dei vincoli stringenti sulla dinamica
del sistema. Abbiamo anche visto che nella teoria ci sono N − 1 scalari a massa nulla. Chiaramente le rotazioni
attorno ai primi N − 1 assi lasciano il potenziale invariante. Invece le N − 1 rotazioni nei piani a − N portano fuori
dalla superficie dei minimi. Questo si può vedere in termini dei generatori. Una trasformazione di O(N) deve lasciare
invariata la norma di φ. Quindi per una trsformazione infinitesima
Questa condizione è soddisfatta se
2
59
(5.49)
(5.50)
(5.51)
(5.52)
φ ′ 2
i ≈ φ 2 i + 2φiδφi (5.53)
δφi = ɛijφj, ɛij = −ɛji (5.54)
Questa condizione ci dice appunto che i parametri della generica trasformazione di O(N) sono N(N − 1)/2. Per
trovare i generatori in questa base scriviamo la trasformazione nella forma
δφi = − i
2 ɛAB(T AB )ij
(5.55)

I generatori di O(N) in questa base dei campi sono T AB = −T BA e ɛAB i parametri della trasformazione.
Confrontando con (5.54) si ottiene subito
(T AB )ij = i(δ A i δ B J − δ B i δ A j ) (5.56)
Poiché il campo che abbiamo scelto come rappresentativo dello stato fondamentale è φi|min = vδiN , si ha
dato che a, b = 1, · · · , N − 1 e
T ab
ij φj|min = i(δ a i δ b j − δ b i δ a j )vδjN = 0 (5.57)
T aN
ij φj|min = i(δ a i δ N j − δ N i δ a j )vδjN = ivδ a i = 0 (5.58)
Quindi si hanno N − 1 simmetrie rotte e N − 1 scalari a massa zero.
I generatori di O(N) si dividono naturalmente nei generatori della simmetria dello stato fondamentale O(N−1)) e nei
generatori rotti, ognuno dei quali corrispondente ad un bosone di Goldstone. Più in generale, se la simmetria originale
definita da un gruppo G si rompe spontaneamente ad un sottogruppo H (la simmetria dello stato fondamentale), i
bosoni di Goldstone corrispondono ai generatori di G che sopravvivono dopo aver sottratti i generatori di H.
Intuitivamente l’origine delle particelle a massa nulla può ssere notata osservando che i generatori rotti permettono
delle transizioni tra uno stato fondamentale e l’altro. Dato che questi stati sono degeneri la transizione non costa
energia. La relazione di dispersione relativistica implica che si abbiano particelle a massa nulla. Si può anche dire
che i bosoni di Goldstone corrispondono alle direzioni piatte nel potenziale. Una maniera comoda di parametrizzare
i bosoni di Goldstone è la seguente:
φi =
e −iT aN
πa (χ + v) (5.59)
iN
Per piccoli valori dei campi (ricordiamo che noi siamo interessati ad una espansione perturbativa nell’intorno del
minimo) si ha
Segue
φi ≈ δiN (χ + v) − iδ a i πav (5.60)
φa ≈ −πav, φN = χ + v (5.61)
In questa rappresentazione i bosoni di Goldstone appaiono come i parametri di una trasformazione lungo le direzioni
rotte (dipendente dalla posizione, dato che πa ≡ πa(x)).
Consideriamo un esempio particolare, quello del modello σ-lineare, che corrisponde al caso precedente con N = 4.
Parametrizzeremo i campi nella forma
Questi campi si possono riarrangiare in una matrice 2 × 2 matrix
φ = (π1, π2, π3, σ) = (π, σ) (5.62)
M = σ + iτ · π (5.63)
dove τ sono le matrici di Pauli. La matrice M soddisfa delle condizioni di pseudo-realtà che derivano dal fatto che i
campi σ e π sono reali
M = τ2M ∗ τ2
che segue subito osservando che τ2 è immaginaria pura e che anticommuta con τ1 e τ3. Si vede anche facilmente che
Segue che la lagrangiana (5.42) si può riscrivere nella forma
60
(5.64)
| φ| 2 = σ 2 + |π| 2 = 1
2 Tr(M † M) (5.65)
L = 1
4 T r(∂µM † ∂ µ M) − 1
4 µ2 T r(M † M) − 1
16 λ T r(M † M) 2
Vediamo che in questa forma la lagrangiana è invariante sotto la trasformazione M
(5.66)
M → LMR † , L, R ∈ SU(2) (5.67)

Il motivo per restringersi a trasformazioni di SU(2), cioè di determinante uno e non a trasformazioni di U(2) è al fine
di mantenere la condizione di pseudo-realtà (5.64). Infatti questa implica che
det
σ + iπ3
iπ1 − π2
iπ1 + π2
σ − iπ3
= σ 2 + |π| 2
(5.68)
sia reale. Se L e R fossero trasformazione di U(2) = SU(2) ⊗ U(1) la matrice M acquisterebbe un fattore di fase
nella trasformazione e si perderebbe la condizione di realtà. Tra l’altro questo argomento mostra che il gruppo
SU(2)L ⊗ SU(2)R che è il gruppo di invarianza in questa formulazione deve essere omeomorfo ad O(4) il gruppo
di invarianza con la teoria espressa in termini dei campi φ. In effetti c’e’ una relazione 2 a 1 dato che −L e −R
corrispondono alla stessa trasformazione di L e R. Abbiamo visto che per µ 2 < 0 la teoria ha un minimo a
| φ| 2 = σ 2 + |π| 2 = v 2 = M †
−µ 2
M, v =
(5.69)
λ
Se scegliamo come stato fondamentale quello corrispondente a π = 0, questo equivale a fissare σ = v. Ricordiamo che
una generica matrice non singolare (detM = 0) ammette una decomposizione polare data da
ed inoltre
La dimostrazione è molto semplice, poniamo
M = HU, H † = H, U † = U −1
61
(5.70)
H = √ MM † (5.71)
H 2 = MM †
allora H 2 è definita positiva e quindi ne possiamo definire la radice quadrata H. Posto
segue subito che Uè unitaria. Infatti
Nel caso in esame possiamo porre
(5.72)
U = H −1 M (5.73)
UU † H −1 MM † H −1 = H −1 H 2 H −1 = 1 (5.74)
U † U = M † H −2 M = M † M †−1 M −1 M = 1 (5.75)
M = ρ U = ρ e i Π·τ
e per campi piccoli si ha la seguente relazione tra campi vecchi e nuovi
cioè
In presenza di rottura della simmetria abbiamo detto si ha
e quindi la lagrangiana sul minimo sarà data da
(5.76)
ρ U ≈ ρ(1 + i Π · τ) = σ + iπ · τ (5.77)
σ ≈ ρ, Π ≈ ρπ (5.78)
M † M = v 2 → ρ 2 = v 2
(5.79)
L = 1
4 v2 Tr ∂µU † ∂ µ U + termini costanti (5.80)
La lagrangiana che abbiamo ottenuto dipende solo dai campi Π. Notiamo che le proprietà di trasformazione dei campi
sotto O(4) erano inizialmente lineari, ma quando ci mettiamo sul minimo, i campi definiscono una sfera in 4 dimensioni

e l’eliminazione del campo σ fa si che le proprietà di trasformazioni dei campi rimanenti non siano più lineari. Come
esempio consideriamo ad un cerchio. Se pensato immerso in due dimensioni le proprietà di trasformazione delle
coordinate sono
x ′ 1 = x1 cos θ + x2 sin θ, x ′ 2 = −x1 sin θ + x2 cos θ (5.81)
e quindi lineari. Se pero’ eliminiamo una delle coordinate tramite l’equazione del cerchio, x2 = R2 − x2 1 , avremo
che per l’unica coordinata che rimane, diciamo x1 la trasformazione è non lineare
x ′
1 = x1 cos θ + R2 − x2 1 sin θ (5.82)
Come è chiaro la condizione di rottura della simmetria da in genere delle condizioni nello spazio dei campi (sul minimo).
Questo definisce dei sottospazi con proprietà geometriche non banali (per esempio sfere). Se vogliamo costruire delle
teorie che dipendono solo dalle variabili intrinseche di questi sottospazi si ha a che fare con rappresentazioni non lineari
del gruppo di simmetria. Conme vedremo la teoria generale delle rappresentazioni non lineari è abbastanza semplice
ed utilissima per costruire le azioni effettive a bassa energia. Da questo punto di vista è anche utile considerare
le fluttuazioni attorno allo stato fondamentale ed è quindi interessante riesprimere la lagrangiana del modello σ in
termini di ρ ed U. Si ha facilmente
L = 1
2 ∂µρ∂ µ ρ − 1
2 µ2 ρ 2 − 1
4 λρ4 + 1
4 ρ2 Tr ∂µU † ∂ µ U
In una analisi di bassa energia le fluttuazioni del campo ρ attorno al minimo ρ = v sono interessanti quando nel
potenziale [er ρ il coefficiente del termine quadratico è piccolo, cioè quando siamo vicini alla transizione tra la fase
rotta e la fase simmetrica. Notiamo anche che i campi U sono quelli che descrivono i campi di Goldstone.
C. I modelli σ non-lineari
Nel paragrafo precedente abbiamo mostrato come i campi di Goldstone siano le coordinate delle trasformazioni
corrispondenti a simmetrie rotte. Si ha il seguente risultato: dati un gruppo di Lie G, semplice e compatto, ed un
sottogruppo H, ogni elemento g ∈ G si può decomporre localmente come
62
(5.83)
g = ξh, h ∈ H (5.84)
L’elemento ξ è detto un coset (laterale in italiano). Supponiamo di avere una teoria con G come gruppo di simmetria,
spontaneamente rotto al sottogruppo H che è quindi la simmetria dello stato fondamentale. L’azione di un elemento
g sul vuoto ci permette di definire delle classi di equivalenza G/H, dato che
g|0〉 = ξ|0〉 (5.85)
Ogni classe di equivalenza in G/H può quindi rappresentarsi tramite l’elemento ξ che appare nella decomposizione
(5.84). Quindi i coset ci permettono di definire matematicamente i campi di Goldstone che risulteranno semplicemente
i parametri associati a queste trasfosrmazioni. Tecnicamente si stanno definendo delle rappresentazioni lineari di un
grppo G sul suo spazio quoziente G/H. Si può anche dimostrare che tutte le rappresentazioni nonlineari si riportano
a questa costruzione.
Faremo adesso vedere come sia possibile costruire una lagrangiana per i bosoni di Goldstone, a partire dai campi
ξ, invariante sotto il gruppo G. Iniziamo introducendo i generatori T A di G e dividendoli in due insiemi
{T A } = {S α ∈ H, X a ∈ G − H} (5.86)
dove G e H sono le algebre di Lie associate rispettivamente ai gruppi G e H. Si dimostra che per un gruppo compatto
è sempre possibile definire i generatori in modo che la loro traccia su una data rappresentazione sia
da cui segue
tr[T A T B ] = 1
2 δAB
(5.87)
tr[S α X a ] = 0 (5.88)

Da questa equazione segue che lo spazio G/H è stabile sotto l’azione di H. Infatti, usando la proprietà ciclica della
traccia si ha
segue
e quindi le regole di commutazione dell’algebra sono date da
tr[S α [S β , X a ]] = tr[[S α , S β ]X a ] = 0 (5.89)
[S β , X a ] ∈ G − H (5.90)
[S α , S β ] = if αβ
γ S γ , [S α , X a ] = if αa
b X b , [X a , X b ] = if ab
c X c + if ab
γ S γ
Un particolare interesse riveste il caso in cui f ab
c = 0, o
[X a , X b ] = if ab
γ S γ
Il corrispondente spazio G/H viene detto spazio simmetrico.
È allora possibile definire un’operazione discreta (detta parità) che è una involuzione di G, cioè lascia invariata
l’algebra ed ha quadrato uno. Questa operazione è
τ(S α ) = S α , τ(X a ) = −X a
Gli elementi del coset, cioè in pratica i bosoni di Goldstone, si trasformano linearmente sotto H ma non linearmente
sotto G.
Il nostro scopo è quello di costruire un lagrangiana invariante sotto il gruppo G in termini delle coordinate di G/H.
Come vedremo si possono costruire infiniti termini invarianti, ma questi si possono ordinare in base al numero di
derivate dei campi ed è dunque possibile fare una espansione in E/M dove M è la scala tipica dei processi che si
considerano. Questa espansione si adatta particolarmente bene per stati di massa piccola rispetto a M, quali i bosoni
di Goldstone che hanno massa nulla. Localmente il coset si può rappresentare in termini di coordinate πa(x)
con
63
(5.91)
(5.92)
(5.93)
ξ(π) = e iπ(x)/fπ (5.94)
π(x) = πa(x)X a
Se moltiplichiamo ξ a sinistra per g si ottiene un altro elemento di G che può a sua volta essere decomposto in maniera
unica nella forma
(5.95)
gξ(π) = ξ(π ′ )h(π, g) (5.96)
Chiaramente l’elemento h ∈ H dipenderà sia da π(x) che da g, Questa operazione può quindi essere pensata come
una trasformazione sullo spazio quoziente data da
ξ(π) → ξ(π ′ ) = gξ(π)h † (π, g) (5.97)
Un oggetto di importanza geometrica fondamentale è la uno-forma differenziale di Maurer-Cartan (MC)
Il differenziale è inteso agire sui campi π(x), cioè
ω(π) = ξ −1 (π)dξ(π) (5.98)
dπ(x) = ∂π(x)
dxµ
∂x µ
La sua importanza sta nel fatto che la forma ha valori nell’algebra di Lie di G, G. Questo si può dimostrare usando
l’identità di Kubo:
d e −βH = −e −βH
(5.99)
β
e
0
λH dH e −λH dλ (5.100)

La dimostrazione è semplice. Chiamando L(β) e R(β) i membri sinistro e destro dell’equazione si ha
Inoltre
e
dL(β)
dβ
dR(β)
dβ
L(0) = R(0) = 0 (5.101)
= −HL(β) − dH e−βH
= −HR(β) − dH e−βH
64
(5.102)
(5.103)
Poiché sia L che R soddisfano la stessa equazione differenziale del primo ordine con la stessa condizione al contorno
coincidono. In particolare
Segue dalla (5.100) la seguente espressione
[A, e −βH ] = −e −βH
β
e
0
λH [A, H]e −λH dλ (5.104)
e βH d e −βH β
= − e
0
λH dH e −λH dλ (5.105)
Se H ùn elemento di un’algebra di Lie, dato che essa è chiusa sotto commutazione, e l’integrando si riconduce ad una
serie di commutatori multipli, segue che la parte destra dell’equazione sta nell’algebra di Lie e quindi anche la parte
sinistra.
Come abbiamo detto ω ∈ G e quindi la possiamo decomporre in una parte parallela ad H e nella parte ortogonale
che sta in G − H
dove
Possiamo ora calcolare come si trasforma ω sotto la trasformazione (5.96)
vale a dire
Ma
e quindi
e
ω(π) = ω (π) + ω⊥(π) (5.106)
ω α = 2Tr(ωSα ), ω a ⊥ = 2Tr(ωX a ) (5.107)
ω(π) → ω(π ′ ) = ξ −1 (π ′ )dξ(π ′ ) = (h(π, g)ξ −1 (π)g −1 )d(gξ(π)h −1 r(π, g)) =
= h(π, g)dh −1 (π, g) + h(π, g)ξ −1 (π)dξ(π)h −1 (π, g) (5.108)
ω(π ′ ) = h(π, g)ω(π)h −1 (π, g) + h(π, g)dh −1 (π, g) (5.109)
h(π, g)dh −1 (π, g) ∈ H (5.110)
ω (π) → ω (π ′ ) = h(π, g)ω (π)h −1 (π, g) + h(π, g)dh −1 (π, g) (5.111)
ω⊥(π) → ω⊥(π ′ ) = h(π, g)ω⊥(π)h −1 (π, g) (5.112)
Dunque ω⊥ si trasforma in modo omogeneo rispetto ad una trasformazione del gruppo e quindi si costruiscono
facilmente degli invarianti. Per esempio, ponendo
ω = ωµdx µ
(5.113)

possiamo scrivere il termine con il più basso numero di derivate come
L = −f 2 πTr[ω⊥µ(π)ω⊥ µ (π)] (5.114)
Applichiamo questo formalismo al caso in cui si consideri il gruppo SU(2)L ⊗ SU(2)R rotto al sottogruppo diagonale
SU(2). Questo caso è di particolare interesse in QCD con due soli flavor, up e down. Infatti le masse di questi due quark
è estremamente piccola, ordine 10 MeV rispetto alla scala tipica di QCD. Il generico elemento di SU(2)L ⊗ SU(2)R
sarà
mentre i generatori dell’algebra di Lie sono
da cui
S α =
L A =
g =
gL 0
0 gR
1 A
2τ , R
0 0
A
=
1
2τ α 0
1 0 2
Corrispondentemente si ha la decomposizione g = ξh con
e
da cui
ξ =
τ α
, X a =
e iτ·π/(2fπ) 0
0 e −iτ·π/(2fπ)
h =
Definendo U = η 2 non è difficile dimostrare che
0 0
A τ
0 1
2
1
2 τ a 0
≡
0 − 1
2
eiτ·σ/(2fπ) 0
0 eiτ·σ/(2fπ)
τ a
η 0
0 η−1
65
(5.115)
(5.116)
(5.117)
(5.118)
(5.119)
ω⊥ = 1
2 (η−1 dη − ηdη −1 ), ω = 1
2 (η−1 dη + ηdη −1 ) (5.120)
Tr[ω⊥µω⊥ µ ] = − 1
4 Tr[∂µU −1 ∂ µ U] (5.121)
Dall’espressione (5.118) per ξ si può dimostrare facilmente che sotto una trasformazione di G si ha
Segue
η → gLηh −1 = hηgR
U → gLUg −1
R
(5.122)
(5.123)
Vediamo che U si trasforma in modo lineare rispetto al SU(2)L ⊗ SU(2)R e che (5.121) è chiaramente invariante sotto
(5.123).
Se lo spazio quoziente è simmetrico, come nel caso precedente SU(2)L ⊗ SU(2)R/SU(2), gli elementi di H e di
G − H hanno diversa parità e per il calcolo di ω⊥ `w sufficiente calcolare la parte dispari nei generatori
e
ω⊥µ = e −iπ/fπ ∂µe iπ/fπ i
= ∂µπ + ⊥
fπ
1
3!
= i
∂µπ +
fπ
i
fπ
[ iπ
fπ
, [ iπ
,
fπ
i
∂µπ]] + · · ·
fπ
1 i
( )
3! fπ
2 [π, [π, ∂µπ]] + · · · (5.124)
−f 2 πTr[ω⊥µ(π)ω⊥ µ (π)] = Tr ∂µπ + 1 i
( )
3! fπ
2 [π, [π, ∂µπ]] + · · · 2 = Tr(∂µπ) 2 − 1
3f 2 Tr(∂µπ[π, [π, ∂µπ]]) + · · · (5.125)
π
Come vediamo anche il termine all’ordine più basso contiene un numero infinito di termini. Questi sono necessari per
assicurare l’invarianza della lagrangiana date le proprietà non lineari delle trasformazioni dei campi campi π.

VI. AZIONE EFFETTIVA
Consideriamo una teoria di campo con una scala di energia caratteristica E0 e supponiamo di essere interessati
alla fisica ad una scala di energie molto più basse E < E0. In genere una teoria ha più di una scala, ma possiamo
sempre ordinarle e considerare energie a valori intermedi tra due scale. Ovviamente questo ha senso solo se le due
scale considerate non sono troppo ravvicinate. Comunque nel seguito considereremo una teoria con una sola scala e
introdurremo un metodo generale per analizzare questa situazione. Questo metodo consiste nel formulare una teoria
di campo effettiva.
A tale scopo introduciamo un cutoff Λ E0 e dividiamo i campi che appaiono nella somma sui cammini nelle loro
parti di bassa ed alta frequenza:
φ = φH + φL, φH : ω > Λ, φL : ω < Λ (6.1)
Per il seguito non ci interesserà sapere come si realizzi in pratica questa separazione. Pensiamo adesso di effettuare
l’integrazione funzionale sulla parte di alta frequenza:
DφLDφHe iS(φL,φH)
= DφLe iSΛ(φL)
(6.2)
con
e iSΛ(φL)
=
DφHe iS(φL,φH)
In questo modo si ottiene un’azione effettiva SΛ(φL) ed una integrazione funzionale con un cutoff alle frequenze alte.
L’azione SΛ si chiama azione effettiva di bassa energia o azione effettiva alla Wilson. Occorre far distinzione con
l’azione effetiva che si ottiene integrando su tutte le frequenze ma tenendo solo i grafici irriducibili ad una particella.
È possibile espandere SΛ in termini di operatori locali (campi e loro derivate) Oi 2 :
SΛ = d D x
Ovviamnte la somma è su tutti quegli operatori che sono permessi dalle simmetrie iniziali del problema ed è una
somma infinito dimensionale. Questa espansione si può rendere maneggevole se effettuiamo qualche considerazione
dimensionale. Al fine di assegnare le simensioni agli operatori si fa uso della parte libera dell’azione. Inoltre se un
operatore ha dimensioni in energia
allora gli accoppiamenti gi hanno dimensioni in energia
i
[Oi] = δi
[gi] = D − δi
con D le dimensioni spazio-temporali. Questo assicura che l’azione sia adimensionale come deve essere nelle nostre
unità. Per esempio, in una teoria di campo scalare
Slibera = 1
d
2
D x∂µφ(x)∂ µ φ(x) (6.7)
le unità di φ sono fissate a
[φ] = D
2
giOi
66
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
− 1 (6.8)
ed un operatore costruito con M campi e N derivate ha dimensioni
[∂ N φ M
D
] = M − 1 + N (6.9)
2
2 Notiamo che questo trattamento è non covariante e quindi SΛ è non locale nel tempo. L’espansione in termini di operatori locali si può
effettuare perché i campi che rimangono sono definiti solo a frequenze basse. Si potrebbe ovviare alla non località imponendo un cutoff
solo sull’impulso spaziale

Risulta conveniente definire degli accoppiamenti adimensionali
λi = Λ δi−D gi
La convenienza di una tale scelta sta nel fatto che essendo Λ la scala caratteristica del sistema, i λi sono presumibilmente
di ordine 1. Consideriamo un processo alla scala E, possiamo stimare su base dimensionale la grandezza di
ogni termine nell’azione 3 come
d D xOi ≈ E δi−D
(6.11)
e quindi il termine corrispondente ha l’andamento
λi
δi−D E
Λ
Vediamo dunque che se δi > D questo termine diventa sempre meno importante a basse energie e l’operatore è detto
irrilevante. Se invece δi < D il termine diventa più importante a basse energie ed l’operatore è detto rilevante.
Infine se δi = D allora l’operatore si dice marginale.
δi comportamento per E → 0 operatore
< D aumenta rilevante super-rinormalizzabile
= D costante marginale strettamente rinormalizzabile
> D diminuisce irrilevante non rinormalizzabile
Nella maggior parte dei casi nella teoria sono presenti solo un numero finito di operatori rilevanti e marginali. Per
esempio dalla (6.9) vediamo che se D ≥ 3, allora si ha che i coefficienti di M e N sono positivi e quindi δi ≤ D ha
solo un numero finito di soluzioni.
Il motivo per cui richiediamo che sia l’azione libera a determinare le dimensioni dei campo è perché assumiamo che
la teoria sia solo debolmente accoppiata e che quindi sia la teoria libera a determinare la grandezza delle fluttuazioni.
Risulta infatti necessario che il coefficiente del termine dominante nell’azione sia adimensionale, magari ricorrendo ad
un rescaling dei campi. Da questo punto dipende infatti la stima (6.11) in cui abbiamo assunto che la sola quantità
dimensionata fosse la scala di energia. È anche utile fissare questo argomento in modo indipendente dall’analisi
dimensionale. Assumiamo ancore che il termine cinetico sia quello dominante e riscaliamo tutte le energie e gli
impulsi di un fattore s < 1. Allora le lunghezze ed i tempi scalano com 1/s. L’elemento di volume e le derivate
assieme scalano come s2−D e quindi i campi (o le loro fluttuazioni) devono scalare come s−1+D/2 e il termine iesimo
di interazione come sδi−D . In questo modo si riproducono tutte le conclusioni precedenti.
Un esempio ben noto di teorie effettive a bassa energia è la teoria di Fermi delle interazioni deboli rispetto al modello
di Weinberg e Salam. Ad energie inferiori a MW la teoria di Fermi è una teoria del tutto rispettabile su un piano
fenomenologico. In pratica la teoria di bassa energia è ottenuta disaccoppiando i bosoni di gauge (cioè assumendo
di studiare la teoria ad energie E ≪ MW ). In altre circostanze la situazione è più complicata. Consideriamo QCD
nell’approssimazione di trascurare le masse dei quark e per semplicità consideriamo solo i quark u e d. Questa teoria
ha una simmetria SU(2)L ⊗ SU(2)R (simmetria chirale) ed inoltre sappiamo che è una teoria confinante, cioè gli stati
asintotici non sono i quark ma piuttosto i mesoni ed i barioni. Sappiamo inoltre che SU(2)L ⊗ SU(2)R non può essere
una simmetria esatta perché in natura non esistono mesono scalari e pseudoscalari degeneri in massa tra loro. Questo
ha portato all’ipotesi che la simmetria chirale sia spontaneamente rotta all’ SU(2) diagonale. Quindi per il teorema
di Goldstone devono esistere tre bosoni di Goldstone che sono identificati con i tre pioni4 . In questo caso la teoria
effettiva di QCD a bassa energia è una teoria che descrive i soli pioni, dato che sono gli stati asintotici più leggeri. La
scala di separazione risulta essere dell’ordine di 700 Mev.
Il caso della teoria di Fermi è peculiare perché nella teoria effettiva non ci sono termini di interazione rilevanti o
marginali. Infatti la teoria inizia con un termine a 4 fermioni che ha dimensioni 65 . Questo non significa che questo
termine non abbia conseguenze osservabili. Infatti date le simmetrie del problema non è possibile costruire operatori
rilevanti e/o marginali. Essendo il primo termine non nullo ed essendo irrilevante questo significa solo che il suo
contributo è perturbativo sino a scale di ordine MW .
3 Ovviamente dovremmo considerare l’elemento di matrice dell’operatore Oi relativo al dato processo
4 I pioni hanno masse non nulle ma queste vengono ereditate dalle masse dei quark, quando queste si considerino non nulle
5 Un campo di Fermi in D dimensioni ha dimensioni [ψ] = (D − 1)/2
67
(6.10)
(6.12)

Discutiamo adesso alcune questioni di principio. Il punto di vista moderno è che probabilmente ogni teoria di
campo è una teoria effettiva e che quindi è definita in termini di un cutoff. Ma allora questo significa che tutta l’idea
della rinormalizzazione è irrilevante? Certamente no, ma il punto fondamentale della rinormalizzazione non è nella
cancellazione delle quantità infinite ma piuttosto nella seguente osservazione:
La fisica di bassa energia dipende dalla teoria a corte distanze (ad alte energie) solo tramite gli accoppiamenti
rilevanti e marginali e se misuriamo effetti abbastanza piccoli anche da qualche operatore irrilevante
Notiamo che l’insieme degli operatori rilevanti e marginali sono appunto gli operatori rinormalizzabili.
Un esempio è quello di un sistema di fotoni di energia inferiore a quella dei livelli di eccitazione atomica. In questo
caso si ha
Eγ ≪ ∆E ≪ a −1
0 ≪ Matomo (6.13)
dove ∆E la separazione dei livelli è di ordine dei 5-10 eV , a −1
0 è l’inverso del raggio di Bohr che risulta dell’ordine
αme cioè circa 5 KeV , e la massa atomica è di ordine del GeV . In questa situazione gli unici processi sono quelli di
scattering elastico dei fotoni sugli atomi e pertanto i soli campi da considerare sono i fotoni. La densità di lagrangiana
libera sarà
− 1 µν
FµνF
4
Possiamo però aggiungere altri possibili operatori che, se richiediamo invarianza sotto parità avremo
dove, per ragioni dimensionali
L = − 1
4 FµνF µν + c1Fµν∂ 2 F µν + c2 (FµνF µν ) 2 + c3 (FµνFρσɛ µνρσ ) 2
[c1] = m −2 , [c2] = [c3] = m −4
68
(6.14)
(6.15)
(6.16)
La sola teoria effettiva non ci può dire quali siano i valori delle costanti ci però si dice che questi termini sono regolati
Figura 36 Il grafico (box) che contribuisce allo scattering γ − γ
da una scala di massa che rappresenta il cutoff della teoria. Nel caso specifico, partando dalla formulazione funzionale
della QED
Z = DAµDψe iSQED (6.17)
L’integrazione sui campi fermionici ci permette di definire una azione effettiva per i campi fotonici
DAµe iSeff
(Aµ)
= DAµDψe iSQED (6.18)
dove
LQED = ¯ ψ(iD/ − m)ψ − 1
4 FµνF µν + (gauge fixing) (6.19)
Il risultato dell’integrazione sui fermioni da
Dψe i d 4 x ¯ ψ(iD/ −m)ψ ≈ det iD/ − m
(6.20)

e quindi
Leff(Aµ) = − 1
4 FµνF µν − iTr log iD/ − m + (gauge fixing) (6.21)
Il termine che proviene dalla integrazione sui fermioni è in generale non locale, è però possibile fare una espansione
in E/Λ dove, nel caso specifico il cutoff è dato da me, Effettuando questa espansione si trova (dopo aver effettuato la
rinormalizzazione di carica)
Leff(Aµ) = − 1
4 FµνF µν + α
15πm2 Fµν∂
e
2 F µν + α2
90m4
(FµνF
e
µν ) 2 + 7
16 (FµνFρσɛ µνρσ ) 2
(6.22)
Il secondo termine rappresenta una correzione al propagatore ed infatti coincide con la correzione di polarizzazione
di vuoto (vedi eq. (3.68)). Gli altri due termini determinano l’ampiezza di scattering fotone-fotone, nel limite
di bassa energia. Negli anni 30 questo contributo fu calcolato da Heisenberg a da Euler, ed infatti i due ultimi
termini prendono il nome di lagrangiana effettiva di Euler-Heisenberg. Questi contributi si potrebbero ottenere anche
calcolando direttamente il processo di scattering che prende contributo dal grafico di Fig. 36.
Vediamo che in effetti è proprio la massa dell’elettrone che agisce come un cutoff e quindi questa scala nasconde tutti
gli effetti della fisica che potrebbero succedere a più alte energie. Questo fatto è noto come effetto di disaccoppiamento.
Cioè se la massa di una particella è grande rispetto alle energie di interesse, essa non appare nella lagrangiana di bassa
energia o, come si dice, si disaccoppia (questo è vero nella maggior parte dei casi, ma non sempre).
VII. TEORIE DI CAMPO A TEMPERATURA FINITA
A. Introduzione
Ricordiamo alcuni concetti della termodinamica all’equilibrio. Il comportamento statistico di un sistema quantistico
all’equilibrio viene studiato tramite un insieme appropriato. Si definisce una matrice demsità
ρ(β) = e −βH
con β = 1/kT , ma noi scegleremo usualmento k = 1. H è da pensarsi come l’hamiltoniana appropriata al particolare
insieme che si sta considerando. Per esempio, nel caso dell’insieme grancanonico
69
(7.1)
H = H − µN (7.2)
con H e N rispettivamente l’hamiltoniana e l’operatore numero. Il parametro µ è il potenziale chimico. Nel caso
dell’insieme canonico
Specificheremo quando necessario di quale insieme stiamo parlando.
Data la matrice densità si definisce la funzione di partizione del sistema come
La media d’insieme di un’osservabile A è definita come
H = H (7.3)
Z(β) = Trρ(β) = Tre −βH
〈A〉β = Z −1 (β)Trρ(β)A = Tre−βH A
Tre −βH
Analogamente la media termica della funzione di correlazione di due operatori sarà (in generale i due operatori
potranno dipendere da diverse coordinate)
(7.4)
(7.5)
〈AB〉β = Z −1 (β)Trρ(β)AB (7.6)
È possibile introdurre operatori in rappresentazione di Heisenberg usando l’hamiltoniana di insieme
AH(t) = e iHt Ae −iHt
(7.7)

Per la media termica di due operatori in rappresentazione di Heisenberg avremo:
〈AH(t)BH(t ′ )〉β = Z −1 (β)Trρ(β)AH(t)BH(t ′ ) = Z −1 (β)Tre −βH AH(t)BH(t ′ ) =
= Z −1 (β)Tre −βH AH(t)e βH e −βH BH(t ′ ) = Z −1 (β)TrAH(t + iβ)e −βH BH(t ′ ) =
= Z −1 (β)Tre −βH BH(t ′ )AH(t + iβ) = 〈BH(t ′ )AH(t + iβ)〉β
Queste relazioni sono note come le relazioni KMS (Kubo-Martin-Schwinger)
ed in particolare
〈AH(t)BH(t ′ )〉β = 〈BH(t ′ )AH(t + iβ)〉β
〈AH(t)AH(t ′ )〉β = 〈AH(t ′ )AH(t + iβ)〉β
Queste relazioni valgono sia per campi bosonici che fermionici e sono utili, in particolare, per derivare le proprietà di
periodicità delle funzioni di Green a temperatura finita. Occorre anche notare che per la validità di queste relazioni
è fondamentale che valga la proprietà di ciclicità della traccia.
B. Formalismo di Matsubara
Il formalismo di Matsubara ci permetterà di ricondurre il calcolo di una funzione di partizione tramite un metodo
diagrammatico analogo a quello usato nelle teorie di campo a temperatura zero. Deriveremo questo formalismo usando
il metodo operatoriale. Supponiamo che l’hamiltoniana di un sistema si possa separare in una parte libera ed in una
parte interagente
Segue
e potremo scrivere la matrice densità nella forma
dove
H = H0 + H ′
H = H0 + H ′
70
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
ρ(β) = e −βH ≡ ρ0(β)S(β) (7.13)
ρ (β) = e −βH0 βH0 βH −1
, S(β) = e e = ρ0 (β)ρ(β) (7.14)
La matrice densità soddisfa una equazione di evoluzione (0 ≤ τ ≤ β)
∂ρ0(τ)
∂τ
Segue dalle equazioni (7.14) e (7.15)
ovvero
con
∂S(τ)
∂τ
= −H0ρ0(τ),
∂ρ (τ)
∂τ = −Hρ (τ) = −(H0 + H ′ )ρ (τ) (7.15)
= ∂ρ−1 0 (τ)
ρ(τ) + ρ
∂τ
−1
0 (τ)∂ρ0(τ)
∂τ =
= ρ −1
0 (τ)H0(τ)ρ(τ) − ρ −1
0 (τ)H(τ)ρ(τ) = ρ−1 0 (τ)(H0(τ) − H(τ))ρ0(τ)ρ −1
0 (τ)ρ0(τ) =
= −H ′ I(τ)S(τ) (7.16)
∂S(τ)
∂τ = −H′ I(τ)S(τ) (7.17)
H ′ I(τ) = ρ −1
0 (τ)H′ ρ0(τ) = e τH0 H ′ e −τH0 (7.18)

Questa equazione è simile all’equazione che definisce la rappresentazione di interazione nelle teorie di campo a
temperatura zero. In altri termini la rappresentazione di interazione (modificata) è definita tramite
AI(τ) = e τH0 A ′ e −τH0 (7.19)
È opportuno notare che questa trasformazione non dà luogo ad un operatore unitario, a meno che τ sia immaginario
puro. Per questo il formalismo di Matsubara è anche detto a tempo immaginario. Dunque occorre prestare attenzione
alle proprietà di hermiticità degli operatori in questa rappresentazione.
L’equazione per S(β) può essere integrata formalmente per dare
S(β) = Pτ
e − β
0 dτH′
I (τ)
dove Pτ sta ad indicare che il cammino di integrazione va preso ordinato in τ. L’espressione è simile alla matrice S
usuale, ma qua l’integrazione è estesa su un intervallo finito e lungo l’asse dei tempi immaginari. Quindi possiamo
espandere l’esponenziale come nel caso ordinario e definire una serie perturbativa. Il teorema di Wick viene esteso
naturalmente a tempi immaginari. Inoltre, se definiamo ((τ, 0) fa riferimento all’intervallo di integrazione in eq.
(7.20))
Valgono chiaramente le proprietà
71
(7.20)
S(τ) = S(τ, 0) (7.21)
S −1 (τ) = S(0, τ), S(τ1, τ2)S(τ2, τ3) = S(τ1, τ3) τ1 > τ2 > τ3 (7.22)
La funzione di Green a due punti nella rappresentazione di Heisenberg è definita da
Gβ(τ, τ ′
) = 〈Pτ
〉β = Z −1 (β)Tr e −βH Pτ
Notiamo che
φH(τ)φ †
H (τ ′ )
φH(τ)φ †
H (τ ′ )
φH(τ) = e τH φe −τH , φ †
H (τ) = eτH φe −τH = (φH(τ)) †
Queste formule si applicano sia a campi di Bose che a campi di Fermi, con l’ovvia definzione dell’ ordinamento in τ
(7.23)
(7.24)
Pτ (φH(τ)φ †
H (τ ′ )) = θ(τ − τ ′ )φH(τ)φ †
H (τ ′ ) ± θ(τ ′ − τ)φ †
H (τ ′ )φH(τ) (7.25)
con il segno meno che si applica al caso dei fermioni. Possiamo anche mettere in relazione la rappresentazione di
Heisenberg con quella di interazione
AH(τ) = e τH Ae −τH = e τH e −τH0 AI(τ)e τH0 e −τH = S −1 (τ)AI(τ)S(τ) (7.26)
Adesso possiamo calcolare la funzione di Green in termini dei campi nella rappresentazione di interazione (0 ≤
τ, τ ′ ≤ β)
Gβ(τ, τ ′ ) = Tr e−βH Pτ (S −1 (τ)φI(τ)S(τ)S −1 (τ ′ )φ †
I (τ ′ )S(τ ′ ))
Tr e −βH
Dato che all’interno di Pτ l’ordinamento non conta si ha
Possiamo poi scrivere
Gβ(τ, τ ′ ) = Tr e−βH Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ ))
Tr e −βH
Gβ(τ, τ ′ ) = Tr e−βH0 S(β)Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ ))
Tr e −βH0S(β)
= 〈Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ )S(β))〉β,0
〈S(β)〉β.0
= Tr e−βH0Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ )S(β))
Tr e−βH0S(β) =
L’indice 0 ricorda che le medie sono calcolate in un insieme non interagente. Il risultato ottenuto è identico a quello
a temperatura nulla.
(7.27)
(7.28)
(7.29)

C. Le frequenze di Matsubara
Prima di cominciare a calcolare la funzione di Green, cosa che faremo nello spazio degli impulsi, notiamo che come
per le funzioni a temperatura zero questa dipende solo dalla differenza τ − τ ′ e che
Si ha poi per τ > 0
Gβ(0, τ) = Z −1
(β)Tr
= ±Z −1 (β)Tr
e −βH Pτ
−β ≤ τ − τ ′ ≤ β (7.30)
φH(0)φ †
φH(0)e −βH φ †
H (τ)
H (τ)
= ±Z −1
(β)Tr e −βH φ †
H (τ)φH(0)
=
= ±Z −1
(β)Tr
=
e −βH φH(β)φ †
H (τ)
± = Gβ(β, τ) (7.31)
Dunque, tenendo conto che la funzione di Green dipende solo dalla differenza degli argomenti
od anche
Gβ(−τ) = ±Gβ(β − τ) (7.32)
Gβ(τ) = ±Gβ(τ + β), τ < 0 (7.33)
Poiché la funzione di Green a due punti è definita su un intervallo finito la sua trasformata di Fourier coinvolge solo
frequenze discrete. Quindi
con
Gβ(τ) = 1
β
72
e −iωnτ
Gβ(ωn) (7.34)
n
Gβ(ωn) = 1
+β
dτ e
2 −β
iωnτ
Gβ(τ) (7.35)
La condizione di (anti) periodicità per (fermioni) bosoni implica per ωn l’espressione
⎧
⎪⎨
2nπ
, per bosoni
β
ωn =
⎪⎩
(2n + 1)π
, per fermioni
β
Infatti possiamo scrivere
Gβ(ωn) = 1
0
dτ e
2 −β
iωnτ
Gβ(τ) + 1
+β
dτ e
2 0
iωnτ
Gβ(τ)
= ± 1
0
dτ e
2 −β
iωnτ
Gβ(τ + β) + 1
+β
dτ e
2 0
iωnτ
Gβ(τ)
= ± 1
β
dτ e
2
iωn(τ−β)
Gβ(τ) + 1
+β
dτ e
2
iωnτ
Gβ(τ)
= 1
2
0
−iωnβ
1 ± e +β
0
0
(7.36)
dτ e iωnτ Gβ(τ) (7.37)
Vediamo che per i bosoni Gβ(ωn) è nulla quando n è dispari, mentre per i fermioni è zero per n pari. Le frequenze ωn
sono dette frequenze di Matsubara.
Per quanto concerne le coordinate spaziali, tutto funziona come nel caso di temperatura zero e quindi potremo
scrivere (ricordiamo che a T = 0 si inserisce un segno neno tra il propagatore bosonico e la sua trasformata di Fourier)
Gβ(x, τ) = − 1
β
n
d 3 k
(2π) 3 e−i(ωnτ− k·x) Gn( k, ωn) (7.38)

con
β
Gβ(ωn) = − dτ
0
Per calcolare la funzione di Green ricordiamo che a temperatura zero si ha
d 3 x e i(ωnτ− k·x) Gβ(x, τ) (7.39)
(∂µ∂ µ + m 2 )G(x) = −δ 4 (x) (7.40)
Passare alla variabile τ è sufficiente andare a tempi immaginari t → −iτ. In questo caso si ottiene
− ∂2
∂τ 2 − ∇2 + m 2
G(x, −iτ) = −δ 3 (x)δ(τ) (7.41)
da cui
D. Path integral formulation
Gβ( k, ωn) =
1
ω 2 n + k 2 + m 2
La formulazione di Matsubara può essere capita facilmente nel contesto della somma sui cammini. ricordiamo che
un’ampiezza di transizione è data da
〈φ(x1, t1)|φ(x2, t2)〉 = 〈φ1|e −iH(t1−t2)
|φ2〉 = N Dφe iS[φ]
(7.43)
con
S[φ] =
t2
t1
dt
73
(7.42)
d 3 xL (7.44)
L’intehgrazione è definita su tutti i cammini nello spazio dei campi che soddisfano le condizioni al contorno
φ(x1, t1) = φ1(x1), φ(x2, t2) = φ2(x2) (7.45)
La funzione di partizione per questo sistema si può scrivere nella forma
Z(β) = Tr e −βH
= Tr Dφ1|φ1〉〈φ1|e −βH =
Dφ1〈n|φ1〉〈φ1|m〉〈m|e −βH |n〉
= Dφ1〈φ1|m〉〈m|e −βH
|n〉〈n| ± φ1〉 = Dφ1〈φ1|e −βH | ± φ1〉 =
n,m
n,m
= N Dφ e −SE (7.46)
dove SE è correlata all’azione euclidea dalla relazione (a potenziale chimico non nullo)
SE = SE + βµN =
β
0
dτ d 3 x(LE + βµN) (7.47)
con le variabile di campo che soddisfano condizioni periodiche o antiperiodiche sull’intervallo β a seconda che si tratta
di bosoni o di fermioni
φ(x, β) = ±φ(x, 0) (7.48)
In questo integrale funzionale, definendo una traccia, anche gli estremi sono integrati. In questa formulazione è chiaro
che tutto accade come nel caso a temperatura zero, i vertici di interazione sono gli stessi e cosi le regole di Feynman.
L’unica differenza sta nelle condizioni di periodicità che portano nelle funzioni di Green la presenza delle frequenze
discrete di Matsubara.

Figura 37 Il contributo a one-loop alle correzioni di massa
E. Correzioni di temperatura alla massa
k
p p
In Fig. 37 è mostrato il contributo a one-loop alla massa di una campo scalare con densità di lagrangiana
L = 1
2 ∂µφ∂ µ φ − m2
2 φ2 − λ
4! φ4
Dato che facciamo il calcolo nell’euclideo il propagatore con la correzione di massa è definito al primo ordine nelle
correzioni di massa come
1
p2 + m2 1
≈
+ ∆m2 p2 1
− ∆m2
+ m2 (p 2 + m 2 ) 2
Se indichiamo con Σ il contributo del vertice in Fig. 37 si ha per il propagatore corretto l’espressione
da cui −∆m 2 = Σ e pertanto
−∆m 2 = − λ
2β
che si può riscrivere nella forma
dove abbiamo definito
n=even
d 3 k
(2π) 3
1
p2 + Σ
+ m2 1
ω 2 n + k 2 + m
−∆m 2 = − λ
2 β
2β 2π
ωk =
n
1
(p 2 + m 2 ) 2
λ
= −
2 2β
n
d 3 k
(2π) 3
d3k (2π) 3
1
n2 + (βωk/2π) 2
1
(2πn/β) 2 + k 2 + m 2
74
(7.49)
(7.50)
(7.51)
(7.52)
(7.53)
k 2 + m 2 (7.54)
La somma può essere eseguita usando la relazione (che si dimostra facilmente usando il teorema dei residui)
e quindi
Notiamo che si può scrivere
+∞
n=−∞
1
n2 π
= coth πy, y > 0 (7.55)
+ y2 y
∆m 2 = λ
4
coth βx
2
d 3 k
(2π) 3
1
ωk
coth
βωk
2
(7.56)
1
= 1 + 2
eβx − 1 = 1 + 2nB(x) (7.57)

con
nB(x) =
1
e βx − 1
la funzione di distribuzione dei bosoni. Dato nB → 0 per T → 0, questa scrittura ci permette di separare il contributo
alla massa in due parti, una a T = 0, mentre il resto è dovuto alla temperatura. Dunque
∆m 2 = ∆m 2 0 + ∆m 2 T = λ
4
d 3 k
(2π) 3
1
ωk
+ λ
2
d 3 k
(2π) 3
75
(7.58)
1
nB(ωk) (7.59)
Il primo pezzo è l’usuale contributo divergente che richiede un termine di rinormalizzazione di massa. Al contrario la
parte ∆m2 T è finita nell’ultravioletto a causa della distribuzione di Bose che va esponenzialmente a zero. Il contributo
termico può essere calcolato nel limite in cui m → 0. Si ha
∆m 2 T ≈ λ
4π2
k
dk
eβk (7.60)
− 1
Effettuando il cambiamento di variabile x = βk si ha
∆m 2 T ≈ λ
4π 2 β 2
Si trova che l’integrale da come risultato π 2 /6 e quindi
∆m 2 T =
λT 2
24
x
dx
ex − 1
ωk
(7.61)
+ O (m/T ) (7.62)
Ricordiamo che una rottura spontanea della simmetria è generata da un termine di massa negativo. Quindi l’effetto
della temperatura è di restaurare la simmetria. Calcoli più precisi permettono di determinare la temperatura critica,
cioè la temperatura alla quale il coefficiente di φ 2 si annulla.
VIII. LA TRANSIZIONE CHIRALE IN QCD
Come abbiamo visto in QCD vale la proprietà di libertà asintotica e quindi ad alte energie ci aspettiamo quark e
gluoni quasi liberi (il cosi detto quark-gluon plasma). D’altra parte a basse energie sappiamo che le particelle non
neutre nel colore sono confinate e che si ha formazione degli stati adronici. Ci aspettiamo dunque che nel passare
da bassa ad alta energia ci sia una transizione di fase. Da questo punto di vista la transizione dovrebbe essere
una transizione tra confinamento e non-confinamento. Riprenderemo questo punto in seguito. Esiste però in QCD
un’altra transizione di fase. Consideriamo per semplicità QCD con due soli quark, u e d supposti a massa nulla
(l’approssimazione è buona dato che mu,d ≪ ΛQCD). Come sappiamo, per masse uguali la teoria ha un’invarianza
U(2) (U(N) per N flavor). Questa invarianza diventa più ampia nel limite di masse zero. Consideriamo, per cominciare
con l’equazione di Dirac libera
ed introduciamo i proiettori di chiralità (o elicità)
Definiamo poi
Notiamo che
PR,L =
¯ψ(i∂/ + m)ψ (8.1)
1 ± γ5
, P
2
2 R = PR, P 2 L = PL, PL + PR = 1 (8.2)
ψL,R = PL,Rψ (8.3)
¯ψR = ψ †
R γ0 = ψ † PRγ0 = ¯ ψPL
dove abbiamo usata l’anticommutatività di γ0 e γ5. Analogamente
¯ψL = ¯ ψPR
(8.4)
(8.5)

Consideriamo ora il termine di massa. Si ha
Per il termine cinetico si ha
m ¯ ψψ = m ¯ ψ P 2 L + P 2 R
ψ = m ¯ψLψR + ¯
ψRψL
¯ψ∂/ψ = ¯ ψ P 2 R + P 2 L ∂/ψ = ψR∂/ψR
¯ + ¯ ψL∂/ψL
dove si è usato l’anticommutatività di γµ con γ5. Quindi a massa zero la teoria è invariante per trasformazioni unitarie
separate per i campi ψL ed i campi ψR
Invece il termine di massa si trasforma come
76
(8.6)
(8.7)
ψL → LψL, ψR → RψR, L, R ∈ U(2) (8.8)
¯ψRψL → ¯ ψRR † LψL
ed è invariante solo sotto trasformazioni con L = R cioè sotto il gruppo U(2) diagonale. Queste conclusioni valgono
anche in QCD dato che l’unica cosa importante in queste considerazioni è la struttura di matrici γ di Dirac e non
cè differenza tra ¯ ψ∂/ψ e ¯ ψD/ ψ. Considereremo nel seguito solo la parte SU(2)L ⊗ SU(2)R. Per quanto concerne le
parti U(1)R e U(1)L, la loro combinazione diagonale è correlata alla conservazione del numero barionico, mentre
l’altra combinazione è rotta a causa di correzioni quantistiche. Come abbiamo detto il termine di massa rompe questa
simmetria, anche se la correzione è piccola. Quindi ci aspetteremmo che nello spettro degli stati legati, mesoni e
barioni, ci fosse un riflesso di questa simmetria. Questo implicherebbe che ci fossero dei multipletti di stati legati
con una data parità assieme ad altri multipletti di parità opposta 6 . Dato che in natura non c’e’ traccia di questa
simmetria simmetria chirale, si assume che essa sia rotta spontaneamente. L’ipotesi è che la rottura avvenga tramite
la formazione di un valore di aspettazione nel vuoto di un bilineare nei campi fermionici (condensato)
(8.9)
〈0| ¯ ψψ|0〉 = 〈0|( ¯ ψRψL + ¯ ψLψR)|0〉 = 0 (8.10)
Chiaramente sotto SU(2)L ⊗ SU(2)R il condensato non è invariante, ma se ci limitiamo a trasformazioni con L = R
allora esso è invariante. Pertanto in questa situazione si ha una rottura della simmetria
SU(2)L ⊗ SU(2)R → SU(2) (8.11)
Ci aspettiamo dunque la presenza di tre bosoni di Goldstone. Ovviamente, dato che la simmetria chirale è rotta
esplicitamente dai termini di massa, ci aspettiamo che i bosoni di Goldstone acquistino essi stessi una piccola massa.
In questo modo si può spiegare perché i pioni abbiano una massa relativamente piccola ≈ 130 MeV rispetto alla scala
degli altri stati legati come i mesoni K o i barioni. In questa versione ristretta di QCD, la lagrangiana effettiva di
bassa energia è quella che abbiamo già visto precedentemente
L = f 2 π
4 Tr ∂µU † ∂ µ U
A questo possiamo aggiungere un termine di massa per i pioni (che rompe la simmetria chirale alla simmetria diagonale)
del tipo
All’ordine più basso questo è proporzionale a
(8.12)
BTr[U] (8.13)
B
4f 2 π
ma nel seguito considereremo il caso semplificato di masse nulle.
In questa sezione siamo interessati a capire il modo in cui si passa dalla fase di simmetria chirale rotta a quella in cui
è ripristinata. Il motivo per cui ci aspettiamo una transizione è ancora il fatto che ad alte energie la QCD è debolmente
accoppiata e quindi non ci aspettiamo più formazione di stati legati. Per esempio i pioni si dovrebbero dissociare. È
6 Notiamo che l’operazione di parità, proporzionale a γ0, trasforma i proiettori di chiralità PL in chiralità PR
π 2
(8.14)

ovvio che l’assenza dei bosoni di Goldstone è un indice della restaurazione della simmetria chirale. Esistono molti modi
di testare questo tipo di transizione. Per esempio si può considerare un sistema adronico a temperatura finita. In altri
termine si può fare una termodinamica di equilibrio con un bagno termico di stati adronici. Sperimentalmente questa
situazione si può parzialmente realizzare negli urti ad alta energia tra ioni pesanti in cui si può formare un insieme
statistico a temperatura definita. Aumentare la temperatura del sistema è equivalente ad aumentarne l’energia,
possiamo dunque aspettarci che anche aumentando la temperatura si possa avere la transizione. La materia adronica
ordinaria, in questa rappresentazione, è considerata a T = 0. Un altro modo è quello di variare la densità del sistema.
Un aumento di densità corrisponde a diminuire la distanza media tra i quark e, come sappiamo, questo corrisponde ad
un aumento in energia. Variazioni di densità si realizzano in urti tra ioni pesanti in cui la densità del sistema aumenta
al momento dell’urto. Variazioni di densità importanti si trovano nelle stelle a neutroni, in cui la densità al centro
della stella può raggiungere valori pari a 5-6 volte la densità nucleare (≈ .15 × 10 15 gr/cm 3 ). Per questo motivo è
stato ed è di grande interesse il diagramma di fase di QCD in temperatura e densità, o equivalentemente in potenziale
chimico. Purtroppo non è possibile effettuare dei calcoli espliciti partendo dalla lagrangiana di QCD dato che siamo
in un regime di interazioni forti. Calcoli sulla transizione sono stati fatti sia usando dei modelli approssimati di QCD
che con metodi basati sul calcolo dell’integrale funzionale in cui si approssima il continuo spazio-temporale con un
reticolo finito. I risultati che si ottengono sono estremamente interessanti, ma purtroppo non abbiamo qui lo spazio
per dire qualcosa sui vari modelli. Possiamo solo dire che in alcuni casi si simula l’interazione con i gluoni tramite un
accoppiamento tra quattro fermioni del tipo
G
Λ 2 ¯ ψγµT A ψ ¯ ψγ µ T A ψ (8.15)
dove il fattore G/Λ 2 simula l’interazione gluonica. Λ −1 può essere pensata come la scala di confinamento e quindi
l’approssimazione può essere ragionevole per E ≪ Λ, ma non è possibile una giustificazione rigorosa. Un’altra
approssimazione usata è quella detta di ladder-QCD. In questa approssimazione si tiene conto di un numero infinito
di diagrammi che però sono solo una parte dei possibili diagrammi. In particolare, si calcola il propagatore dei quark
(vedi Fig. 38). Si parte dalla teoria a masse nulle e se c’e’ rottura della simmetria chirale questa è segnalata dalla
generazione di un termine di massa dei quark. Nonostante le approssimazioni molto crude si trova, per quark senza
~ + + + ...
Figura 38 La serie infinite di grafici che contribuiscono al propagatore dei quark nell’approssimazione di ladder-QCD
massa, che a potenziale chimico nullo, cè una transizione di fase del secondo ordine in temperatura, mentre a T = 0 c’è
una transizione del primo ordine nel potenziale chimico. Quindi ad un certo punto del diagramma di fase occorre che
la transizione del primo ordine diventi del secondo ordine. Il punto di incontro tra una linea di transizione del secondo
ordine e di una del primo prende il nome di punto tricritico, Tutti i calcoli approssimati che abbiamo elencato
mostrano l’esistenza di questo punto. In Fig. 39 è mostrato, in maniera qualitativa, il diagramma di fase di QCD nel
piano (µ, T ). Diremo qualcosa sul reticolo in seguito. Qui ci limiteremo a studiare la transizione tramite l’azione di
bassa energia. Ovviamente questa è una notevole approssimazione ma, come vedremo, da risultati qualitativamente
in accordo con altri approcci. Per semplicità studieremo esplicitamente cosa accade nel caso di due flavor, u e d
a massa nulla. Dato che saremo interessati a studiare cosa accade attorno alla transizione di fase, considereremo
il modello σ-lineare del caso SU(2) × SU(2) inserendo anche il campo ρ(x) che intorno alla transizione avrà massa
piccola e quindi fa parte naturalmente dell’azione di bassa energia. Ricordiamo anche che l’effetto della temperatura
è di aggiungere un termine quadratico nei campi bosonici che riduce l’effetto del termine di massa negativo che induce
la rottura spontanea. Considereremo dunque il modello σ-lineare sia a temperatura che a densità finite.
A. Il modello σ-lineare a temperature e densità finite
Riprendiamo la lagrangiana (5.83)
L = 1
2 ∂µρ∂ µ ρ − 1
2 µ2 ρ 2 − 1
4 λρ4 + 1
4 ρ2 Tr ∂µU † ∂ µ U
77
(8.16)

T
Q
P
Figura 39 Il diagramma di fase di QCD come risuklta dai calcoli approssimati discussi nel testo. Il punto P è il punto tricritico,
mentre Q e R sono i punti critici in temperatura e potenziale critico rispettivamente. La linea continua è la linea delle transizioni
del primo ordine mentre la linea tratteggiata è quella delle transizioni del secondo ordine
Lo stato fondamentale corrisponde a valori costanti dei campi 7 e quindi dobbiamo studiare l’usuale potenziale quartico
V (ρ) = 1
2 µ2 (T )ρ 2 + 1
4
R
λ(T )ρ4
dove per il momento consideriamo solo gli effetti di temperatura. Dalle discussione già fatte ci attendiamo una
transizione del secondo ordine i cui dettagli, come il valore della temperatura critica, dipendono ovviamente dalle
funzioni µ 2 (T ) e λ(T ) 8 .
Studiamo adesso la situazione a densità finita. Osserviamo che l’introduzione del potenziale chimico H → H − µN
non cambia le proprietà di simmetria della teoria. Infatti la densità di particelle
N = d 3 xψ †
ψ = d 3 x ¯ ψγ0ψ (8.18)
è invariante rispetto ad una trasformazione chirale (questo deriva dalla presenza della γ0). Quindi ci aspettiamo
che la teoria a bassa energia sia ancora il modello σ-lineare che abbiamo già considerato e che dà luogo solo ad una
transizione del secondo ordine. Questo contraddirebbe i risultati dai modelli. D’altra parte occorre considerare che,
sebbene non cambi la simmetria del problema, i coefficienti del modello σ verranno a dipendere da µ. Quello che può
succedere è che con l’aumentare del potenziale chimico l’accoppiamento del termine quartico nel potenziale effettivo
si annulli e poi diventi negativo. In questa circostanza il potenziale diventa instabile ed è necessario aggiungere un
altro termine nell’espansione, un termine di ordine ρ 6 . Cio’ che accade in questa situazione è che, quando il termine
quartico diventa negativo, la transizione da secondo ordine passa a primo e quindi il punto tricritico corrisponde
all’annullarsi del termine quartico.
Considereremo dunque il potenziale
V (ρ) = 1
2 µ2 ρ 2 + 1
4 λρ4 + 1
6 γρ6
dove assumeremo γ > 0. È anche opportuno osservare che nei modelli approssimati di cui sopra, uno sviluppo per
campi piccoli mostra che la struttura è esattamente quella di un potenziale del 60 ordine con un cambiamento di
segno nel terminr quartico e γ > 0. Iniziamo a determinare i punti stazionari dall’annullarsi della derivata prima del
7 Dato che l’hamiltoniana è la somma del termine cinetico più il termine di potenziale ed il termine cinetico è definito positivo uno stato
con campi costanti avrà energia minore di un qualunque altro stato con campi non costanti
8 In realtà la discussione è più complessa di quanto la si possa fare in questa sede, ma il risultato è che per tre quark, con un quark strano
con massa, allora la transizione è essenzialmente del secondo ordine, o come meglio si dice di crossover, dato che la simmetria è rotta
dalla massa del quark, ciò che succede è una transizione continua da un valore di aspettazione di ρ prima della transizione ad un valore
molto più piccolo dopo la transizione (il parametro d’ordine risulta non nullo a causa della rottura esplicita dovuta alla massa del quark
strano)
μ
78
(8.17)
(8.19)

potenziale:
e le loro caratteristiche dalla derivata seconda
∂V
∂ρ = µ2 ρ + λρ 3 + γρ 5
∂ 2 V
∂ρ 2 = µ2 + 3λρ 2 + 5γρ 4
La condizione di stazionarietà ha le seguenti soluzioni
ρ = 0, ρ 2 ± = 1
−λ ±
2γ
λ2 − 4µ 2
γ
Consideriamo ora le varie possibilità:
79
(8.20)
(8.21)
(8.22)
1. µ 2 > 0, λ > 0. Dato che in questo caso ρ 2 ± < 0 (segue subito dalla regola dei segni di cartesio) si ha come unica
soluzione reale ρ = 0 che risulta un minimo come si vede dalla (8.21)
2. µ 2 > 0, λ < 0. In questo caso le due radici ρ 2 ± sono entrambe positive. E si ha
∂ 2 V
∂ρ 2
= 2ρ
ρ=ρ±
2 ±(λ + 2γρ 2 ±) = ±2ρ 2
± λ2 − 4µ 2γ (8.23)
Pertanto si hanno 3 minimi, in ρ = 0 e ρ = ±ρ+ e due massimi in ρ = ±ρ−. Per decidere lo stato fondamentale
occorre confrontare il valore del potenziale in questi punti. In particolare il potenziale diventa uguale nei tre
minimi per
da cui segue
V (0) = 0 = V (±ρ+) = λρ 2 + + 4µ 2
λ = −4
γµ 2
3
(8.24)
(8.25)
Lungo questa linea nello spazio dei parametri si ha una transizione del primo ordine. La discontinuita in ρ su
questa linea è data da
ρ 2 + = − 3 λ
4 γ
(8.26)
Notiamo che se ci spostiamo dalla linea critica aumentando ρ+ il potenziale diventa positivo e l’unico minimo
rimane in zero. In questa situazione siamo nella fase simmetrica.
3. µ 2 < 0, λ > 0. Adesso ρ = 0 è un massimo, mentre si hanno due minimi degeneri in ±ρ+ (ρ 2 + è la sola radice
positiva). Inoltre vediamo che per µ 2 → 0 i due minimi tendono entrambi al valore ρ = 0. Pertanto la linea
µ 2 = 0, con λ > 0 corrisponde ad una linea di transizioni del secondo ordine.
4. µ 2 < 0, λ < 0. Ancora si ha un massimo in ρ = 0 e due minimi degeneri in ±ρ+. Ma per µ → 0 questi due
minimi permangono.
Notiamo infine che le soluzioni ρ 2 ± sono reali solo per
λ 2 > 4µ 2 γ (8.27)
Questa discussione è illustrata nel piano (µ 2 /γ, λ/γ) in Fig. 40. Abbaimo riscalato i parametri in termini di γ che
essendo positivo non altera l’argomento. In particolare vediamo che il punto tricritico corrisponde all’origine del piano.
I modelli approssimati forniscono delle espressioni esplicite dei parametri µ 2 , λ e γ in funzione della temperatura
e del potenziale chimico. Per esempio i valori tricritici della temperatura e del potenziale chimico corrispondono alla
soluzione contemporanea delle equazioni
µ 2 (Tc, µc) = λ(Tc, µc) = 0 (8.28)

secondo ordine
fase rotta
λ/γ
punto tricritico
fase simmetrica
primo ordine
Figura 40 La rappresentazione grafica della discussione nel testo. Il diagramma di fase è dato nel piano (µ 2 /γ, λ/γ). Nel
diagramma si mostra anche l’andamento del potenziale nelle varie regioni. le linee continue più spesse rappresentano le transizioni
di fase. Il punto di incontro, o punto tricritico, corrisponde a µ = λ = 0. La linea continua sottile è il luogo dei punti
λ 2 − 4µ 2 γ = 0.
Analogamente la linea del secondo ordine corrisponde nel piano (µ, T ) all’equazione
mentre la linea del primo ordine a
λ(T, µ) = −4
2 μ /γ
µ 2 (T, µ) = 0 (8.29)
µ 2 (T, µ)γ(T, µ)
Possiamo studiare gli esponenti critici attorno al punto tricritico. Supporremo che attorno a questo punto i coefficienti
µ 2 e λ abbiano un andamento del tipo
µ 2 (T, µ) ≈ µ 2
T − Tc
T Tc
+ µ2
µ − µc
µ µc
λ(T, µ) ≈ λ 2
T − Tc
T + λ 2
µ − µc
µ
(8.31)
Introduciamo poi un termine di massa per i quark, che come ricordiamo nel modello σ nonlineare è dato da
e quindi nel modello lineare diventa
Tc
3
µc
80
(8.30)
BTr[U] (8.32)
B ρ
Tr[U] (8.33)
fπ
Pertanto questo è equivalente ad inserire nel potenziale un termine lineare che scriveremo nella forma
La condizione di minimo diventa
Vm = −hρ (8.34)
h = µ 2 ρ + λρ 3 + γρ 5
(8.35)

Se consideriamo il limite verso il punto critico ponendosi, per esempio, a µ = µc e stando nella regione di µ 2 < 0,
allora, ad h = 0, segue dalla eq. (8.22)
che
ρ|h=0,T →Tc ≈
Quindi gli esponenti critici corrispondenti sono:
ρ 2 + = 1
−λ +
2γ
λ2 − 4µ 2
γ
|µ 2 |
γ
1/4
1/4
2 |µ T |
≈
1 −
γ
T
β = β ′ = 1
4
Un risultato completamente simile si ottiene per T = Tc, h = 0 e µ → µc. È anche interessante il comportamento del
condensato al punto tricritico per piccoli valori di h. Si trova dalla (8.35)
da cui
Questo esponente è usualmente chiamato δ e quindi
Differerenziando la (8.35) rispetto ad h si ha
h = γ(Tc, µc)ρ 5
ρ|T =TC,µ=µc,h→0 ≈ h 1/5
Tc
1/4
81
(8.36)
(8.37)
(8.38)
(8.39)
(8.40)
δ = 1/5 (8.41)
1 = µ 2 + 3λρ 2 + 5γρ 4 ∂ρ
∂h
Usando la soluzione ad h = 0 e prendendo il limite, per esempio per T → Tc con µ = µc, vediamo che i termini µ 2 e ρ 4
vanno a zero linearmente per T → Tc, mentre il termine λρ 2 va a zero come (T − Tc) 3/2 . Quindi nel limite otteniamo
∂ρ
∂h
h=0,µ=µc,T →TC
≈
T
1 −
Questa derivata è l’analogo della suscettività magnetica e abbiamo dunque per il corrispondente esponente critico γ
TC
−1
(8.42)
(8.43)
γ = 1 (8.44)
Questi risultati potrebbero essere testati sperimentalmente negli esperimenti di scattering di ioni pesanti se fossimo
in grado di raggiungere temperature e densità vicine al punto tricritico. Infatti, è una caratteristica generale delle
transizioni del secondo ordine di dare luogo a grosse fluttuazioni nelle quantità osservabili e queste fluttuazioni si
accentuano in vicinanza del punto tricritico.
IX. TEORIE DI GAUGE SUL RETICOLO
A. Introduzione
Dopo gli esperimenti a LEP ormai le predizioni di QCD ad alta energia o piccole distanze, e quindi nel regime
perturbativo, sono state testate al livello di qualche percento. Ormai QCD si è dunque affermata come la teoria
delle interazioni forti. D’altra parte non siamo in possesso di tecniche non-perturbative che ci possano permettere
di calcolare quantità fondamentali come le masse degli adroni, i loro momenti magnetici, ecc. Negli anni 70 Wilson
ha formulato un metodo che, almeno in linea di principio, può dare una risposta a queste questioni. Si tratta delle
teoria di gauge sul reticolo formulata da Wilson. Con una opportuna capacità di calcolo (purtroppo ancora molto
elevata rispetto alle possibilità attuali) è possibile calcolare tutte le proprietà che riguardano il comportamento di
QCD a basse energie. D’altra parte metodi approssimati, come il metodo Monte Carlo, hanno permesso di tagliare

in misura notevole le quantità di calcoli da effettuare. Purtroppo il prezzo da pagare per mettere la QCD su un
reticolo è molto pesante da pagare, infatti questo approccio è possibile solo passando ad una metrica euclidea. Questo
funziona molto bene nel caso delle proprietà statiche di QCD ma per il calcolo di quantità dinamiche è necessaria una
continuazione analitica dei risultati del reticolo dallo spazio Euclideo allo spazio di Minkowski. Questo è possibile ma
richiede una capacità di calcolo estremamente elevata. Un’altra difficoltà ha a che fare con il limite del continuo. Al
fine di potersi comparare con le quantità sperimentali è necessario mandare la spaziatura del reticolo a zero. Questa
è una procedura molto delicata. Giusto per fare un esempio, sul reticolo si perdono le invarianze per traslazioni e per
rotazioni continue, mentre sopravvivovono solo delle simmetrie discrete. Il limite va fatto in modo da recuperare le
simmetrie originali della teoria.
B. La geometria del reticolo
Il primo passo nel costruire una teoria di gauge (o più generalmente una teoria di campo) sul reticolo è quello
di discretizzare lo spazio-tempo (pensato come uno spazio con metrica Euclidea). Per semplicità penseremo ad una
discretizzazione su un reticolo cubico. Quindi il nostro reticolo sarà definito come un insieme di punti in uno spazio
Euclideo d-dimensionale con coordinate
dove a è la spaziatura del reticolo e nµ un vettore a componenti intere
Questi punti sono anche detti i siti del reticolo (vedi Fig. 41.
Figura 41 Esempio di reticolo in due dimensioni con spacing pari ad a
xµ = nµa (9.1)
nµ = (n1, n2, · · · , nd) (9.2)
Un ruolo molto importante giocano i link. Un link è una linea che connette due siti adiacenti ed è quindi identificato
da
a
a
(x, x + aˆµ) (9.3)
dove ˆµ è un versore lungo la direzione definita da µ, µ = 1, 2, · · · , d. Il link è illustrato in Fig 42.
x x + a μ
Figura 42 Il link di un reticolo che connette i siti x e x + aˆµ
Un altro elemento importante è la plaquette, un quadrato elementare chiuso da quattro link, come mostrato in Fig
43.
In pratica i reticoli si prendono di dimensioni finite, con grandezza L1 × L2 × · · · × Ld. Per esempio in Fig. 41 si ha
L1 = 6a e L2 = 4a. Inoltre si usano spesso reticoli con condizioni al contorno periodico. Questo è utile perché riduce
gli effetti di dimensione finita del reticolo.
82

x + a ν
x + a μ + a ν
x x + a μ
Figura 43 Una plaquette. Il bordo della plaquette è costituito da quattro link
C. Le quantità dinamiche sul reticolo
Le variabili dinamiche di una teoria di gauge sul reticolo sono profondamente correlate alla geometria del reticolo
stesso. Se il gruppo di gauge è SU(N) si definisce una variabile di link come un elemento di SU(N) che dipende dal
link. Cioè
link : U(x, x + aˆµ) (9.4)
Si assume che la matrice U sia in una rappresentazione unitaria di SU(N) e che l’inverso di U corrisponda ad invertire
l’orientazione del link:
U(x, x + aˆµ) † = U(x, x + aˆµ) −1 = U(x + aˆµ, x) (9.5)
La variabile U è strettamente connessa ai campi di gauge. Infatti una matrice unitaria si può scrivere come
l’esponenziale di una matrice antihemitiana
U(x, x + aˆµ) = exp iagTAA A µ (x)
(9.6)
Vediamo come il sito x caratterizzi il punto in cui è calcolato il campo di gauge, mentre la direzione del link è codificata
dall’indice spazio-temporale del campo di gauge. In questa equazione TA sono i generatori di SU(N). Mostriamo
adesso che per a → 0 il campo A A µ si trasforma come un campo di gauge. Ponendo, come di consueto, Aµ = TAA A µ ,
si ha
e iagA′ µ (x) = Ω(x)e iagAµ(x)
−1
Ω (x + aˆµ) ≈ Ω(x) (1 + iagAµ(x)) Ω −1 (x) + aˆµ ∂Ω−1 (x)
∂x µ
≈ 1 + iagΩ(x)Aµ(x)Ω −1 (x) + aΩ(x) ∂Ω−1 (x)
∂x µ
Da cui si ritrovano le propeietà di trasformazione consuete
A ′ µ = ΩAµΩ −1 − i
g Ω∂Ω−1
∂x µ
La quantità dinamica successiva è la variabile di plaquette definita da
UP = U(x, x + aˆµ)U(x + aˆµ, x + aˆµ + ˆν)U(x + aˆµ + ˆν, x + aˆν)U(x + aˆν, x) (9.9)
Le trasformazioni di gauge sono definite sulle variabili di link come
U(x, x + aˆµ) → Ω(x)U(x, x + aˆµ)Ω(x + aˆµ) −1
Segue che la traccia dell’operatore di plaquette è gauge invariante
Tr UP → Tr UP
83
(9.7)
(9.8)
(9.10)
(9.11)

Quindi un’azione gauge invariante sul reticolo si ottiene sommando gli operatori di plaquette su tutte le plaquette
S = − 1
2g 2
Tr UP
Per andare nel limite del continuo possiamo combinare tutti gli esponenti tramite la formula di Baker-Campbell-
Hausdorff che possiamo arrestare al secondo contributo, dato che prenderemo il limite a → 0
Se combiniamo i termini del primo ordine si trova
e A e B 1 A+B+
= e 2 [A,B]+···
P
84
(9.12)
(9.13)
Aµ(x) + Aν(x + aˆµ) − Aµ((x + aˆν) − Aν(x) = (Anu(x + aˆµ) − Aν(x)) − (Aµ(x + aˆν) − Aµ(x))
≈ a (∂µAν − ∂νAµ) (9.14)
mentre dai termini del secondo ordine si ha
Ricombinando i fattori
con
S = − 1
2g 2
P
2 × 1
2 [Aµ, Aν] (9.15)
Tr exp ia 2 g 2 Fµν(x) + · · ·
Quindi nel limite ritroviamo l’azione invariante per i campi di gauge
S = − 1
2g2
1 − a4
2 g2Tr FµνF µν
+ · · · ≈ 1
4
P
(9.16)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − ig[Aµ, Aν] (9.17)
d 4 x Tr FµνF µν
Notiamo che il termine del primo ordine nello sviluppo dell’esponenziale non contribuisce poiché la traccia delle TA è
zero.
D. Scalari e fermioni sul reticolo
Iniziamo considerando gli scalari. La derivata è sostituita da una differenza finita. Indicando con φn il campo
valutato sul sito n si ha
L’azione del campo scalare diventa
S =
d 4
1
x
2 ∂µφ∂ µ φ + 1
2 m2φ 2 + λ
4! φ4
(9.18)
∂µφ → 1
a (φn+ˆµ − φn) (9.19)
→
a 4
1
2a2 n
4
(φn+ˆµ − φn)
µ=1
2 + 1
2 m2φ 2 n + λ
4! φ4n È conveniente introdurre la trasformata di Fourier. A questo scopo ricordiamo che i punti sul reticolo sono parametrizzati
da xµ = nµa con nµ un vettore a compnenti intere. Quindi nella trasformata di Fourier, l’esponenziale sarà dato
da
che è invariante sotto la trasformazione
e ikµ nµa
(9.20)
(9.21)
kµ → kµ + 2πmµ/a (9.22)

4
2
1 2 3
- π/a
+ π/a k
Figura 44 Il propagatore del campo scalare nel continuo (linea sottile) e sul reticolo (linea spessa) in funzione di k
con mµ un vettore a componenti intere. Possiamo dunque restringere ogni componente di kµ all prima zona di
Brillouin
− π
a ≤ kµ ≤ + π
(9.23)
a
Pertanto la trasformata di Fourier del campo è definita da
φn =
π/a
−π/a
85
d 4 k
(2π) 4 eikn φ(k) (9.24)
Consideriamo la parte cinetica della lagrangiana (omettendo la somma sulle 4 direzioni)
4
a
n
(φn+ˆµ − φn) 2 =
π/a
d
n −π/a
4k (2π) 4
π/a
d
−π/a
4k ′
(2π) 4 ei(k+k′ )n e iakµ
− 1 e iak′
µ − 1 φ(k ′ )φ(k)
π/a
=
−π/a
π/a
= 4
La parte libera dell’azione sarà dunque
S0 = 1
π/a
2 −π/a
d4k (2π) 4
iakµ −iakµ e − 1 e − 1 φ(−k)φ(k) =
−π/a
d 4 k
(2π) 4 sin2 (akµ/2)φ(−k)φ(k) (9.25)
d4k (2π) 4
µ
4
a2 sin2 (akµ/2) + m 2
φ(−k)φ(k) (9.26)
Vediamo dunque che il propagatore libero nello spazio degli impulsi è dato dall’inverso di
k 2 + m 2 →
µ
4
a 2 sin2 (akµ/2) (9.27)
Nel limite a → 0 le due espressioni coincidono. Le due espressioni sono confrontate in Fig. 44. Come si vede le due
espressioni sono simili per piccoli k, mentre differiscono per valori di k più grandi. Consideriamo adesso il caso dei
fermioni che, per convenienza prenderemo qui a massa nulla. Ricordiamo anche che le regole per il passaggio dallo
spazio di Minkowski allo spazio euclideo sono, per un quadrivettore
e per la matrici γ
v 0 → −iv 4 , v i → v i
γ0 → γ 4 , γ i → iγ i
(9.28)
(9.29)

- π/a + π/a k
Figura 45 Il propagatore del campo fermionico nel continuo (linea sottile) e sul reticolo (linea spessa) in funzione di k
Quindi le matrici γ sono hermitiane nell’euclideo. L’operatore di Dirac
Quindi l’equazione di Dirac diviene
i∂/ → −∂/ (9.30)
∂/ ψ(x) = 0 (9.31)
È conveniente partire dall’azione nel continuo data in forma hermitiana. Quindi il termine cinetico sarà
da cui l’azione libera sul reticolo
1
¯ψn(ψn+ˆµ − ψn) − (
2
¯ ψn+ˆµ − ¯ 1
ψn)ψn = ¯ψnψn+ˆµ −
2
¯
ψn+ˆµψn
S =
Prendendo la trasformata di Fourier si trova
+π/a
S =
n
π/a
a 3
2
4
µ=1
d4k (2π) 4 ¯
ψ(k)
γµ
¯ψnψn+ˆµ − ¯
ψn+ˆµψn
i
µ
86
(9.32)
(9.33)
µ sin(akµ)
γ
a
ψ(k) (9.34)
Il propagatore fermionico, a parte la parte di proiezione sugli stati ad energia positiva sarà l’inverso di
1
a 2 sin2 akµ
Anche in questo caso confrontiamo il continuo ed il discreto nella Fig. 45. Il problema con i fermioni è che oltre allo
zero a k = 0 c’‘e un altro minimo in |k| = π/a. Per capire perché questo costituisca un problema ritorniamo allo
spazio di Minkowski. I poli sono allora determinati dalla relazione (k4 → iE)
sinh 2 Ea =
Consideriamo una particella ad energia positiva che si muova lungo l’asse z
E e pz sono allora correlati da
Ma poiché il seno è periodico nell’intervallo (−π/a, π/a), anche i vettori
(9.35)
3
sin 2 pµa (9.36)
µ=1
p (1) = (E, 0, 0, pz) (9.37)
sinh Ea = sin pza (9.38)
p (2) = (E, 0, 0, π/a − pz), p (3) = (E, π/a, 0, pz), p (4) = (E, π/a, 0, π/a − pz) (9.39)

cosi come
p (5) = (E, 0, π/a, pz), p (6) = (E, 0, π, π/a − pz), p (7) = (E, π/a, π/a, pz),
p (8) = (E, π/a, π/a, π/a − pz) (9.40)
soddisfano la regola di dispersione. Quindi ogni fermione di energia assegnata E risulta 8 volte degenere. Ci sono
varie soluzioni a questo problema, ma nessuna particolarmente soddisfacente. Il problema ha a che fare con il fatto
che è in pratica impossibile evitare il problema di queste soluzioni spurie (problema del doubling) senza rompere
esplicitamente la simmetria chirale. Considereremo qui la soluzione di Wilson. Questa consiste nell’introdurre un
termine che è un termine di massa sul reticolo, ma che si disaccoppia nel limite del continuo. Il termine è
Nello spazio degli impulsi l’operatore di Dirac diventa
1
¯ψnψn+ˆµ +
2a
¯ ψn+ˆµψn − 2 ¯
ψnψn
i
µ
µ sin akµ
γ +
a
cos akµ − 1
a
µ
Notiamo che mentre il primo termine tende all’operatore di Dirac per a → 0 il secondo termine va a zero come a.
Il termine di Wilson modifica l’andamento del propagatore agli estremi della zona di Brillouin eliminando lo zero .
Infatti il propagatore è essenzialmente l’inverso di (considerando una sola dimensione)
sin 2 akµ
a 2
+ (cos akµ − 1) 2
a 2
Come si vede dalla Fig. 46, il termine di Wilson elimina il problema del doubling.
- π/a
Figura 46 Il propagatore del campo fermionico modificato dal termine di Wilson nel continuo (linea sottile) e sul reticolo (linea
spessa) in funzione di k
L’accoppiamento gauge invariante dei campi di materia ai campi di gauge sul reticolo è immediato. Supponiamo
di considerare un campo di materia (scalare o fermionico). Dobbiamo modificare la derivata sul reticolo in modo da
farla trasformare come il campo
Chiaramente
Il limite del continuo si ottiene subito ricordando la (9.6)
Infatti si ha
ψn → Ω(n)ψn
+ π/a k
87
(9.41)
(9.42)
(9.43)
(9.44)
[U(n, n + ˆµ)ψn+ˆµ − ψn] → Ω(n) [U(n, n + ˆµ)ψn+ˆµ − ψn] (9.45)
U(x, x + aˆµ) = exp iagTAA A µ (x)
(9.46)
U(n, n + ˆµ)ψn+ˆµ − ψn ≈ (1 + iagTAA A µ )ψn+ˆµ − ψn → a ∂µ + iagTAA A
µ ψ = aDµψ (9.47)

E. Il loop di Wilson e confinamento
La proprietà di confinamento non è stata dimostrata in modo rigoroso in QCD, però nell’ambito delle teorie di
gauge sul reticolo ne possiamo dare una giustificazione, almeno considerando una teoria di pura gauge o, in altri
termini, considerando fermioni molto pesanti. Quello che possiamo dire in generale è che se il potenziale tra due
quark è almeno lineare
V (r) ≈ σr (9.48)
dove σ è detta la tensione di stringa, allora i quark non si possono separare. Infatti, se proviamo a separarli la forza
cresce in modo da impedire la separazione o, comunque, la stringa tra i quark si spezza originando due nuove stringhe.
Se viceversa il potenziale asintoticamente decresce o va a costante, allora allora non si può avere confinamento. Si può
stabilire un criterio per il confinamento facendo uso del loop di Wilson. Consideriamo un cammino sul reticolo che
parta dal sito n e che poi si evolva di un numero di passi pari alla grandezza della cella in varie direzioni. Possiamo
caratterizzare questo cammino C nel seguente modo:
C = {n; ˆµ1, · · · , ˆµn} (9.49)
A questo cammino possiamo associare il fattore di fase (omettendo la spaziatura del reticolo a)
U(C) = U(n + ˆµ1 + · · · , ˆµn, n + ˆµ1 + · · · , ˆµn−1)U(n + ˆµ1 + · · · , ˆµn−1, n + ˆµ1 + · · · , ˆµn−2)
Nel caso di un contorno chiuso avremo
· · · U(x + ˆµ1 + ˆµ2, n + ˆµ1)U(n + ˆµ1, n) (9.50)
ˆµ1 + · · · ˆµn = 0 (9.51)
Se prendiamo la traccia della corrispondente espressione avremo una quantità gauge invariante. Saremo inoltre
interessati al valore di aspettazione di questa quantità che prende il nome di loop di Wilson
W (C) = 〈TrU(C)〉 (9.52)
Un ruolo importante hanno i loop di Wilson associati a percorsi rettangolari come rappresentati in Fig 47. Infatti
(R,0) (R,T)
(0,0)
Figura 47 Un loop rettangolare di dimensioni R × T
faremo vedere che questa media per T ≫ R è correlata all’energia di interazione tra quark statici (infinitamente
pesanti), che siano separati da distanza R. Precisamente si ha
(0,T)
W (R × T ) ≈ e −E0(R)T , T ≫ R (9.53)
Per dimostrare questa equazione consideriamo la gauge con A4 = 0 (gauge assiale). In questo caso contribuiscono al
loop di Wilson solo gli integrali fatti lungo le linee verticali del rettangolo di Fig. 47. Indichiamo con Ψij il contributo
al loop di Wilson lungo le linee verticali:
Ψij(t) =
Pe i R
0
dx1A1(x1,···,t)
88
(9.54)

dove il simbolo P indicato l’integrale P-ordinato 9 lungo la direzione con estremi (0, · · · , t) e (R, · · · , t). Allora si ha
chiaramente
Inserendo un set completo di stati intermedi segue
W (R × T ) =
Prendendo il limite per grandi valori di T segue
n
W (R × T ) = 〈TrΨ(0)Ψ(T )〉 (9.55)
〈Ψij(0)|n〉〈n|ψ †
ji
〉 = 〈Ψij(0)|n〉 2
n
e −EnT
89
(9.56)
W (R × T ) → e −E0T , perT → ∞ (9.57)
La ragione per cui E0 è l’energia di interazione tra due quark statici a distanza R la si può capire per una teoria
abeliana. La corrente di una carica puntiforme classica che percorra un cammino C è data da
J µ
(x) = e dz µ δ 4 (z − x) (9.58)
dove la traiettoria è descritta da zµ. ˙ Quindi si ha
d 4 xJ µ
(x)Aµ(x) = e
dx µ Aµ(x) (9.59)
Ma d 4 xJ µ (x)Aµ(x) descrive proprio la variazione dell’energia dovuta all’interazione della particella con il campo.
Nel caso in esame il cammino C corrisponde ad una carica statica in x 1 = 0 al tempo t = 0 che si evolve sino a t = T
rimanendo nella stessa posizione. Analogamente l’altro integrale descrive una particella che si muove indietro nel
tempo (quindi una antiparticella) ma rimanendo fissa ad R. Pertanto la variazione di energia corrisponde all’energia
di interazione tra particella ed antiparticella statiche, in altri termini al potenziale coulombiano. Analogamente, nel
caso non-abeliano, il loop di Wilson descrive l’energia di interazione tra due quark statici.
F. L’espansione per accoppiamenti forti
Cominciamo con l’osservare che il funzionale generatore di una teoria di gauge sul reticolo (consideriamo solo i
campi di gauge perchádesso ci interessa trattare quark pesanti) è dato da
Z = dU(n, n + ˆµ)e −S(U)/2g2
(9.60)
n,ˆµ
e quindi il loop di Wilson si può calcolare come
W (C) = 〈TrU(C)〉 = Z −1
dU(n, n + ˆµ)e −S(U)/2g2
TrU(C) (9.61)
n,ˆµ
L’integrazione funzionale è fatta su tutti i possibili link. Vogliamo adesso calcolare il loop effettuando una espansione
per g 2 → ∞. Dobbiamo prima di tutto chiederci come sia fatta la misura di integrazione sulle variabili di link che
hanno valori in un gruppo di Lie. Al fine di preservare l’invarianza di gauge sul reticolo, dovremo richiedere oltre
all’invarianza dell’azione anche l’invarianza della misura. Dovremo quindi richiedere
dU = d(ΩU) = d(UΩ ′ ) (9.62)
Una misura a valori in un gruppo con questa proprietà si chiama misura di Haar. Possiamo vedere un esempio esplicito
nel caso di SU(2). Parametrizziamo il generico elemento del gruppo nella forma
U = e ir·σ
9 Il cammino P-ordinato è l’analogo del’usuale cammino T-ordinato
(9.63)

Possiamo sempre riscrivere questa matrice nella form
con det(U) = a 2 4 + |a| 2 = 1. Allora la misura di Haar può essere scritta nella forma
dU =
U = a4 + ia · σ (9.64)
4
daµδ(a 2 4 + |a| 2 − 1) (9.65)
µ=1
Chiaramente una trasformazione di SU(2) non cambia la parte daµ che nella trasformazione prende lo Jacobiano
della matrice di trasformazione che ha determinante 1. L’argomento della δ di Dirac anche rimane invariato perché
det(US) = detU = 1.
Al fine di calcolare l’integrazione funzionale, consideriamo una teoria con gruppo di gauge SU(N). In generale
abbiamo bisogno di calcolare integrali del tipo
dUU j1
i1
jm †l1 †ln
· · · U U · · · U im k1 kn
Integrali di questo tipo risultano nulli a meno che m = n (mod N). Questo segue dal fatto che a causa dell’invarianza
della misura il risultato dell’integrale deve essere un tensore invariante sotto SU(N). Gli unici due tensori invarianti
sono la δ di Kronecker ed il tensore di Ricci in N dimensioni, da cui il risultato. Assumeremo anche che la misura di
Haar sia normalizzata
dU = 1 (9.67)
Consideriamo il caso piu’ semplice m = n = 1. Allora si dimostra che
dUU i jU †l 1
k =
N δi kδ l j
A questo scopo notiamo che si deve avere
Contraendo con δ k i
da cui
si ha
Contraendo poi con δ j
i δk l
si può usare
90
(9.66)
(9.68)
dUU i jU †l
k = Aδi kδ l j + Bδ i jδ l k (9.69)
dU(UU † ) l j = δ l j = (AN + B)δ l j
(9.70)
AN + B = 1 (9.71)
dU|TrU| 2 = 1 (9.72)
Questa relazione puo’ essere facimente verificata per SU(2) ma è vera in generale. In SU(2) se usiamo la
parametrizzazione
si ha
U = e iφn·σ/2 = cos φ
φ
+ in · σ sin
2 2
dU = d2n dφ φ
sin2
4π π 2
(9.73)
(9.74)

Questa equazione si verifica subito partendo dalla (9.65) ed effettuando il cambiamento di variabili dalle aµ a (n, φ).
Il termine sin 2 (φ/2) proviene da un fattore sin 4 (φ/2) dello jacobiano e da un fattore 1/ sin 2 (φ/2) proveniente dalla δ
di Dirac che in queste variabili è data da
δ
2 φ
cos
2 + |n|2
2 φ
sin − 1
2
= δ (|n| 2 − 1) sin
2 φ
2
Dopo l’estrazione del fattore sin 2 (φ/2) la δ di Dirac fissa la condizione |n| 2 = 1, equivalente a dire che si sta integrando
sulla sfera di raggio 1 descritta da n. Questo fissa il fattore 1/4π di normalizzazione. Il fattore 1/π proviene dalla
normalizzazione dell’integrazione su φ. Tornando alla eq. (9.72) si ha che TrU = 2 cos(φ/2). Pertanto
dU|TrU| 2 = 4
Questa equazione da l’ulteriore equazione
e quindi
2 d n dφ φ φ
sin2 cos2
4π π 2 2 =
91
(9.75)
2 d n dφ
4π π sin2 φ = 1 (9.76)
AN + BN 2 = 1 (9.77)
A = 1
, B = 0 (9.78)
N
Pertanto segue la (9.68).
Il loop di Wilson più semplice da calcolare è quello in cui il cammino chiuso C è una plaquette P , diciamo W (P )
Si ha allora all’ordine più basso in 1/g 2
W (P ) ≈
x,µ dUµ(x)
W (P ) = 〈Tr UP 〉 (9.79)
x,µ dUµ(x)
1 − 1
2g 2
1 − 1
2g 2
P ′ Tr UP ′
P ′ Tr UP ′
Tr UP
(9.80)
L’unico contributo non nullo può venire solo dalla plaquette P ′ orientata in senso opposto alla plaquette P a cui è
associato un fattore U † . Generalizzando questo argomento si trova che il risultato dell’integrale è il contributo della
singola plaquette, che è proporzionale a 1/g 2 elevato all’area minima che si adagia sul circuito C (misurata in unità
delle dimensioni reticolari a 2 )
Per il loop rettangolare che abbiamo considerato si trova
Quindi confrontando con l’espressione (9.53)
W (C) = W (P ) Amin(P )/a 2
W (R × T ) = [W (P )] RT/a2
≈
1
g2 2
RT/a
W (C) ≈ e −E0T ≈ e −(RT log g 2 )/a 2
Vediamo che l’energia cresce linearmente con R con un coefficiente
E0 ≈ KR, K ≈ 1
log g2
a2 K è anche chiamata la tensione di stringa. In definitiva abbiamo mostrato che una teoria di puri gluoni (con i quark
di massa ionfinita) da luogo a confinamento.
A temperatura finita il criterio di confinamento è espresso tramite il loop di Polyakov
L(x) = Pt exp
i
β
0
dtA0(x)
(9.81)
(9.82)
(9.83)
(9.84)
(9.85)

che è connesso al loop di Wilson tramite la relazione
〈L(x)L † (y)〉 = [W (P )] βR
Ricordiamo qui che a temperatura finita la temperatura β = 1/T giuoca il ruolo di tempo euclideo. Quindi
W = 〈L(x)L † (y)〉 = e −E(R)/T
(qui T è la temperatura). Il criterio di confinamento dice adesso che nella fase confinata, il limite a grandi distanze
di W va a zero. Se invece il limite è non nullo, allora la teoria non confina. Pertanto il loop di Polyakov giuoca il
ruolo di parametro d’ordine per il confinamento. Naturalmente ci aspettiamo, data la libertà asintotica, che ad alte
temperature la teoria non confini più. La temperatura di transizione si chiama temperatura di deconfinamento
La situazione per masse dei quark finite è diversa e richiede analisi molto più accurate. Qui diciamo solamente che
un risultato numerico importante è che le temperature di deconfinamento e quella della transizione chirale appaiono
essere coincidenti.
La formulazione delle teorie di gauge sul reticolo è molto importante perché si presta molto bene ad approssimare
numericamente l’integrale funzionale. Usando reticoli finiti l’integrale funzionale si riporta ad un integrale multidimensionale,
sebbene il numero di integrazioni sia molto alto, dipendendo dalle dimensioni del reticolo, dal numero
delle dimensioni dello spazio e dall’ordine del gruppo di gauge. Per esempio, usando un reticolo 8 × 8 × 8 × 8 ed il
gruppo discreto Z2 si deve integrare su
2 212
= 2 4096 ≈ 10 1233
termini. L’impresa è chiaramente impossibile anche con la capacità di calcolo attuali. Ci sono però delle tecniche,
la più nota delle quali si chiama integrazione Monte Carlo, che fanno uso dell’interpretazione probabilistica che ha
la somma sui cammini euclidea. In questo modo è possibile approssimare l’integrazione funzionale. È importante
notare che questo metodo di approssimazione è rigorosamente sotto controllo solo e solo se la misura di integrazione
è definita positiva. Come vedremo, questo non succede quando si considera la teoria a potenziale chimico finito.
X. QCD A DENSITÀ FINITA
Fino ad ora abbiamo considerato QCD a temperatura finita e densità nulla. È interessante considerare cosa succede
ad densità finita e temperatura zero. In particolare la teoria si semplifica nel limite di grandi densità a causa della
libertà asintotica. In questo limite i quark sono quasi liberi e si può applicare la teoria delle perturbazioni. D’altra
parte sopravviene un nuovo fenomeno che è quello della superconduttività di colore. Infatti i fermioni liberi ad
alta densità formano un gas di Fermi degenere. Se questi fermioni sono soggenti ad una interazione attrattiva per
quanto debole, si ha il fenomeno di condensazione dei fermioni in coppie di Cooper che danno luogo al fenomeno della
superconduttività. La superconduttività ordinaria si ha in materiali cristallini in cui l’interazione dovuta ai fononi
(attrattiva) supera la repulsione coulombiana degli elettroni. Rozzamente un elettrone polarizza il mezzo circostante
attraendo ioni positivi. Questi ioni positivi attraggono un secondo elettrone. L’effetto netto è un attrazione tra i due
elettroni. L’interazione tra gli ioni del cristallo e gli elettroni è appunto descritta dai fononi che sono semplicemente
i quanti associati al campo di vibrazione degli ioni attorno alle posizioni reticolari di equilibrio.
Cerchiamo adesso di capire come in un gas di Fermi a T = 0 si possa avere il fenomeno delle coppie di Cooper. La
distribuzione di Fermi a T = 0 è data da una funzione θ
f(E, T ) =
92
(9.86)
(9.87)
(9.88)
1
e (E−µ)/T , lim f(E, T ) = θ(µ − E), (10.1)
+ 1 T →0
Il significato di questa relazione è che tutti gli stati sono occupati sino all’energia di Fermi
EF = µ, (10.2)
dove µ è il potentiale chimico. Questa distribuzione è illustrata in. 48. Il punto chiave è l’enorme degenerazione che
si ha alla superficie di Fermi. Infatti non c’è costo in energia libera nell’aggiungere o nel levare un fermione dalla
superficie. In realtà a densit‘a finita si dovrebbe parlare di gran potenziale piuttosto che di energia libera, dove il gran
potenziale è dato da
Ω = E − µN (10.3)

f(E)
Figura 48 La distribuzione di Fermi a temperatura zero
Ma non faremo distinzione nel seguito. Dunque se aggiungiamo o togliamo una particella alla superficie di Fermi si
ha
E F
= μ
Ω = E − µN → (E ± EF ) − (N ± 1) = Ω (10.4)
Questo suggerisce che si possa avere un fenomeno di condensazione se due fermioni sono legati con una energia di
legame EB arbitrariamente piccola. Infatti se aggiungiamo una coppia, che avrà energia E = 2EF −EB, alla superficie
si avrà
Ω → (E + 2EF − EB) − µ(N + 2) = Ω − EB
Quindi addizionando una coppia di questo tipo l’energia del sistema diminuisce. Segue che c’è un vantaggio energetico
nel creare coppie di fermioni legati. Questo è il fenomeno di condensazione delle coppie di Cooper che risulta essere
l’origine fisica della superconduttività. Infatti Cooper ha mostrato che due fermioni con una interazione attrattiva
arbitraria, in vicinanza della sfera di Fermi, formano uno stato legato di impulso totale e spin nulli.
Faremo ora vedere che la teoria della superconduttività può essere trattata in maniera semplice. Per vedere questo
faremo ricorso ad un’azione effettiva alla superficie di Fermi.
A. La teoria effettiva alla superficie di Fermi
In questa sezione discuteremo la teoria effettiva della superconduttivita’ ordinaria seguendo Polchinski 10 . Innanzitutto
occorre definire la scala al di sotto della quale vogliamo costruire la nostra teoria effettiva. La tipica scala può
essere
E
93
(10.5)
E0 = mα 2 ≈ 27 eV (10.6)
la tipica energia nei solidi. Altre scale come le masse degli ioni possono essere considerate infinite. Analogamente le
velocità in gioco sono molto piccole rispetto a c e quindi si può discutere una teoria non relativistica. In effetti la
scala tipica della superconduttività (che risulta essere il gap) è di ordine di 10−3 eV . Dopo avere indentificato la scala
di cut off occorre identificare i gradi di libertà rilevanti. L’ipotesi naturale è quella di considerare delle particelle di
spin 1/2 come gli elettroni nel metallo. Se decisiamo di misurare tutte le energie rispetto all’energia alla superficie di
Fermi (l’energia di Fermi), l’azione libera più generale sarà della forma
Sfree = dt d 3 p iψ † σ(p)i∂tψσ(p) − (ɛ(p) − ɛF )ψ † σ(p)ψσ(p)
(10.7)
10 Tutta la discussione sarà fatta a temperatura zero

Qui σ è l’indice di spin e ɛF l’energia di Fermi. Lo stato fondamentale sarà dato dal mare di Fermi con tutti gli stati
aventi ɛ(p) > ɛF riempiti, e con gli stati tali che p < ɛF vuoti. La superficie di Fermi è definita da ɛ(p) = ɛF . Un
semplice esempio è mostrato in Fig. 49.
p
1
Figura 49 Una superficie di Fermi sferica. In figuara si possono notare una particella con impulso p1 ed una lacuna con impulso
p2, Si mostra anche la decomposizione dell’impulso in impulso di Fermi k ed impulso residuo l
Come abbiamo visto l’azione libera determina le proprietà di scaling dei campi. Nel caso specifico noi siamo
interessati alla fisica in vicinanza della sfera di Fermi e quindi dobbiamo determinare le proprietà di scaling dei
campi per ɛ → ɛF . Misureremo le energie rispetto all’energia di Fermi ed introdurremo un fattore di scaling s < 1.
Chiaramente quando la differenza di energia scala a zero l’impulso spaziale scala all’impulso di Fermi. Quindi è
conveniente decomporre gli impulsi nel modo seguente (vedi Fig. 49)
ed avremo le seguenti proprietà
k
l
p
2
p
p = k + l (10.8)
E → s E, k → k, l → s l (10.9)
Espandendo il secondo termine in Eq. (10.7) intorno alla superficie di Fermi, si ha
dove
ɛ(p) − ɛF = ∂ɛ(p)
∂p
p= k
vF ( k) = ∂ɛ(p)
∂p
Notiamo anche che vF ( k) è ortogonale alla superficie di Fermi. Dunque otteniamo
Sfree = dt d 3
p ψ †
σ(p) i∂t − lvF (
k) ψσ(p)
Le proprietà di scaling delle variabili cinematiche sono dunque
· (p − k) = lvF ( k) (10.10)
p= k
94
(10.11)
(10.12)
dt → s −1 dt, d 3 p = d 2 k dl → s d 2 k dl
∂t → s ∂t, l → s l (10.13)
Segue che al fine di lasciare l’azione libera invariante i campi devono scalare nella seguente maniera
ψσ(p) → s −1/2 ψσ(p) (10.14)

Discuteremo adesso le proprietà di scaling dei termini di interazione compatibili con la simmetria del problema. Le
simmetrie sono il numero di elettroni e lo spin, dato che stiamo considerando una teoria non relativistica (c → ∞) 11
Ignoreremo ulteriori complicazioni proveniente dal fatto che le sostanze che si considerano sono cristalli. I possibili
termini addizionali sono:
1. Termini quadratici:
dt d 2 k dl µ( k)ψ † σ(p)ψσ(p) (10.15)
Questo è un operatore rilevante dato che scala come s −1 , ma può essere riassorbito nella definizione della
superficie di Fermi (cioè dal termine ɛ(p)). Termini con più derivate temporali o potenze dell’impulso residuo l
sono o già presenti nell’azione libera o irrilevanti.
2. Termini quartici:
4
i=1
d 2
ψ † †
ki dli (p1)ψ(p3 ψ (p2)ψ(p4 V ( k1, k2, k3, k4)δ 3 (p1 + p2 − p3 − p4) (10.16)
Questo termine scala come s −1 s 4−4/2 = s per lo scaling della funzione δ. In una situazione generica la funzione δ
non scala (vedi Fig. 50) e l’operatore quartico è irrilevante. D’altra parte consideriamo un processo di scattering
1 + 2 → 3 + 4 e decomponiamo gli impulsi come segue:
Quindi otteniamo: to
p3 = p1 + δ k3 + δ l3 , (10.17)
p4 = p2 + δ k4 + δ l4 . (10.18)
δ 3 (δ k3 + δ k4 + δ l3 + δ l4) (10.19)
Quando p1 = −p2 and p3 = −p4 vediamo che la funzione δ si fattorizza nel modo seguente
δ 2 (δ k3 + δ k4)δ(δ l3 + δ l4) (10.20)
e scala come s −1 . Dunque, in questa situazione cinematica l’operatore (10.16) è marginale. Pertanto diventa
importante considerare le correzioni quantisticghe a questo operatore per deciderne il carattere.
δl
δk
4
4
p
1
p
2
δ l
3
δk
3
δk 4
δl 4
p 1
p 2 = - p 1
irrilevante marginale
Figura 50 La cinematica dell’accoppiamento quartico è mostrato nel caso generico (a sinistra) e nel caso speciale discusso nel
testo (alla destra).
11 Nel limite non relativistico l’accoppiamento spin-orbita, che va come 1/c 2 non contribuisce.
δk 3
δ l 3
95

3. Termini di ordine superiore: Termini con 2n fermioni (n > 2) scalano come s n−1 per lo scaling della funzione δ
e quindi sono irrilevanti.
La conclusione di questa analisi è che gli unici operatori rilevanti o marginali sono quelli dell’azione libera oltre al
termine quartico nella particolare configurazione cinematica corrispondente ad una coppia di Cooper.
Nella prossima sezione introdurremo la teoria di campo alla superficie di Fermi al fine di calcolare le correzioni
quantistiche al termine quartico.
B. Gas di fermioni libero
Le proprietà di un gas di fermioni libere furono discusse da Landau che però preferiva parlare di un liquido di
fermioni. Quindi quando si cita il liquido di Landau si intende infatti un insieme di fermioni liberi. Ricordiamo le
equazioni del moto della teoria di fermioni liberi che abbiamo ottenuto nella sezione precdente
La funzione di Green, o il propagatore della teoria, è definito da
Si verifica subito che una soluzione di questa equazione è data da
(i∂t − ℓvF )ψσ(p, t = 0 (10.21)
(i∂t − ℓvF )Gσσ ′(p, t) = δσσ ′δ(t) (10.22)
Gσσ ′(p, t) = δσσ ′G(p, t) = −iδσσ ′ [θ(t)θ(ℓ) − θ(−t)θ(−ℓ)] e−iℓvF t
Usando la rappresentazione integrale della funzione a gradino
si ottiene
G(p, t) = 1
2π
θ(t) = i
2π
dω e−iℓvF t
ω + iɛ
dω e−iωt
ω + iɛ
e −iωt θ(ℓ) − e iωt θ(−ℓ)
96
(10.23)
(10.24)
(10.25)
Effettuando il cambiamento di variabile ω → ω ′ = ω ± ℓvF nei due integrali e mandando ω ′ → −ω ′ integrale si trova
nel secondo
G(p, t) = 1
2π
dωe −iωt
θ(ℓ)
ω − ℓvF + iɛ +
θ(−ℓ)
ω − ℓvF − iɛ
(10.26)
Possiamo anche scrivere
con
G(p, t) ≡ 1
2π
dp0G(p0, p)e −ip0t
1
G(p) =
(1 + iɛ)p0 − ℓvF
(10.27)
(10.28)
Notiamo che questa definizione di G(p) è in accordo con la definizione del propagatore di Feynman dato che propaga
avanti nel tempo le soluzioni ad energia positiva ℓ > 0 (p > pF ) e indietro nel tempo le soluzioni ad energia negativa
ℓ < 0 (p < pF ) corrispondenti a lacune nella sfera di Fermi. Per vedere le relazioni con l’usuale teoria dei campi
introduciamo i campi di Fermi
ψσ(x) =
bσ(p, t)e ip·x =
bσ(p)e −ip·x
(10.29)
dove x µ = (t, x), p µ = ℓvF , p) e
p
p
p · x = ℓvF t − p · x (10.30)

In questo formalismo i fermioni non hanno antiparticelle, ma lo stato fondamentale è descritto dalle relazioni
bσ(p)|0〉 = 0 for |p| > pF
b † σ(p)|0〉 = 0 for |p| < pF . (10.31)
Sarebbe possibile ridefinire gli operatori con p < pF come operatori di creazione e distruzione delle lacune ma non
seguiremo questa strada. Attualmente stiamo effettuando la quantizzazione in una scatola ma passeremo liberamente
alla quantizzazione nel continuo. Gli operatori di Fermi soddisfano le usuali regole di anticommutazione
da cui
[bσ(p), b †
σ ′(p′ )]+ = δpp ′δσσ ′ (10.32)
[ψσ(x, t), ψ †
σ ′(y, t)]+ = δσσ ′δ3 (x − y ¯ ) (10.33)
Si dimostra facilmente che il propagatore nello spazio delle configurazioni si trova in termini dell’usuale prodotto-T
per i campi di Fermi
Infatti si ha
dove abbiamo usato
Dato che
si ottiene
Gσσ ′(x) = −iδσσ ′
Gσσ ′(x) = −i〈0|T (ψσ(x)ψσ ′(0))|0〉 (10.34)
p
〈0|T (bσ(p, t)b † σ(p, 0))|0〉e ip·x ≡ δσσ ′
97
G(p, t) (10.35)
〈0|T (bσ(p, t)b ′ † ′
σ (p , 0))|0〉 = δσσ ′δpp ′〈0|T (bσ(p, t)b † σ(p, 0))|0〉 (10.36)
〈0|b † σ(p)bσ(p)|0〉 = θ(pF − p) = θ(−ℓ), 〈0|bσ(p)b † σ(p)|0〉 = 1 − θ(pF − p) = θ(p − pF ) = θ(ℓ) (10.37)
Possiamo anche scrivere
G(p, t) =
G(x) =
−iθ(ℓ)e −iℓvF t t > 0
iθ(−ℓ)e −iℓvF t t < 0
p
(10.38)
d 4 p
(2π) 4 e−ip·x G(p) (10.39)
con G(p) definito in Eq. (10.28). È interessante notare che la densità fermionica può essere calcolata dal propagatore.
Infatti, nel limite δ → 0 per δ > 0 si ha
Pertanto
Gσσ ′(0, −δ) = −i〈0|T (ψσ(0, −δ)ψ †
σ ′(0)|〉 ⇒ i〈0|ψ† σ ′ψσ|〉 ≡ iρF . (10.40)
ρF = −i lim
δ→0 +
Gσσ(0, −δ) = −2i
d 4 p
(2π)
4 eip0δ
1
(1 + iɛ)p0 − ℓvF
L’esponenziale è convergente nel semipiano superiore di p0, dove il polo per ℓ < 0 è dato da
Dunque
ρF = 2
d3
p
θ(−ℓ) = 2
(2π) 3
(10.41)
p0 = ℓvF + iɛ (10.42)
d3p (2π) 3 θ(pF − |p |) = p3F . (10.43)
3π2

p, E
-p, E
q, E
-q, E
p, E
-p, E
k, E+E'
-k, E-E'
q, E
-q, E
Figura 51 I due diagrammi che contribuiscono all’ampiezza di scattering fermione-fermione a un loop.
C. Correzioni a un loop
Adesso siamo in grado di calcolare le correzioni a un loop allo scattering a quattro fermioni che è il processo a cui
contribuisce il termine di interazione quartico. Queste correzioni sono illustrate in Fig. 51. Si trova
G(E) = G − G 2
′ dE d2k dl
(2π) 4
1
((E + E ′ )(1 + iɛ) − vF ( k)l)((E − E ′ )(1 + iɛ) − vF ( (10.44)
k)l)
dove abbiamo assunto il vertice V come una costante G. I poli dell’integrando sono illustrati in Fig. 52.
l > 0
l < 0
E' E'
Figura 52 La posizione dei poli nel piano complesso di E ′ nell’ampiezza a un loop, nei due casi ℓ ≷ 0
L’integrando dell’ equazione (10.44) può essere scritto come
1
1
2(E − ℓvF ) E ′ 1
−
+ E − (1 − iɛ)ℓvF E ′
− E + (1 − iɛ)ℓvF
98
(10.45)
Chiudendo il cammino di integrazione nel semipiano superiore si trova
iG(E) = iG − G 2
d2kdℓ (2π) 4
1
[(−2πi)θ(ℓ) + (2πi)θ(−ℓ)] (10.46)
2(E − ℓvF )
Cambiando ℓ → −ℓ nel secondo integrale otteniamo
iG(E) = iG + iG 2
Inserendo un cutoff E0 nell’integrazione su ℓ si ha
d2kdℓ (2π) 4
ℓvF
E2 θ(ℓ) (10.47)
− (ℓvF ) 2
G(E) = G − 1
2 G2 ρ log(δ/E) (10.48)

dove δ è un cutoff on vF l e
ρ = 2
d 2 k
(2π) 3
1
vF ( k)
è la densità degli stati sulla superficie di Fermi for i due fermioni accoppiati. Nel caso di una superficie sferica
con l’impulso di Fermi definito come
Sommando la serie di grafici rappresentati in Fig. 53
Figura 53 La serie di grafici che contribuisce all’equazione (10.52).
si ottiene
Questo mostra che nel limite E → 0 si ha:
G(E) ≈
99
(10.49)
ρ = p2F π2 , (10.50)
vF
ɛ(pF ) = ɛF = µ (10.51)
......
G
1 + ρG
2 log(δ/E)
• G > 0 (interazione repulsiva), G(E) diventa più piccolo (interazione irrilevante)
• G < 0 (interazione attrattiva), G(E) diventa più grande (interazione rilevante)
(10.52)
Questi andamenti sono rappresentati in Fig. 54. Il fatto che una interazione attrattiva a 4 fermioni esploda quando
E → EF è indice di una instabilità della teoria. La situazione è esattamente quella di una teoria delle perturbazioni
degenere, in cui occorre scegliere a priori lo stato imperturbato in maniera corretta prima di calcolare l’effetto della
perturbazione. In questo caso ci aspettiamo dunque un riarrangemento dello stato fondamentale. Questo effetto porta
alla formazione delle coppie di Cooper che creano uno stato fondamentale diverso da quello originale. In pratica quello
che succede è che nello stato fondamentale un condensato a due fermioni acquista un valore di aspettazione diverso
da zero, producendo una rottura spontanea del numero di fermioni
〈ψσ(p)ψ−σ(−p)〉 (10.53)
In termini di questa rottura spontanea si possono facilmente spiegare tutte le caratteristiche della superconduttività
ma non affronteremo questo argomento in generale, ci limiteremo a considerare un modellino particolarmente semplice.
D. Un modello giocattolo
Abbiamo visto che la fisica alla superficie di Fermi è relativamente semplice dato che esiste una unica interazione
rilevante. Abbiamo visto che questa interazione può potenzialmente produrre un riarrangiamento del vuoto. Vorremmo
però capire questo punto più in dettaglio ed a questo scopo faremo uso di un modello semplicissimo con due
soli oscillatori di Fermi che possiamo penasare corrispondere a spin up e spin don. Trascuriamo cioè la dipendenza

ρG(E)
ρG
ρG
Figura 54 The behavior of G(E) for G > 0 and G < 0.
δ
G > 0
G < 0
dall’impulso, o dalle coordinate. Come sappiamo un sistema con numero finito di gradi di libertà non da luogo a
rottura spontanea della simmetria. Però il modello in esame (modello di Hubbard) ci mostrerà tutte le caratteristiche
essenziali del fenomeno e lo stesso calcolo può essere ripetuto esattamente (con un’algebra un po’ piu’ complicata) nel
caso realistico di una interazione a 4 fermioni. Assumeremo che il sistema sia descritto dalla seguente hamiltoniana,
con accoppiamento quartico tra gli oscillatori
H = ɛ(a †
1 a1 + a †
2 a2) + Ga †
1 a†
2 a1a2 = ɛ(a †
1 a1 + a †
2 a2) − Ga †
1 a†
2 a2a1
E
100
(10.54)
Studieremo questo modello facendo ricorso ad un principio variazionale. Iniziamo introducendo una funzione d’onda
di prova |Ψ〉
|Ψ〉 =
L’operatore difermionico, a1a2, ha il seguente valore di aspettazione
Scriviamo l’hamiltoniana H come la somma di due pezzi
con
and
cos θ + sin θ a †
1a†
2 |0〉 (10.55)
Γ ≡ 〈Ψ| a1a2|Ψ〉 = − sin θ cos θ (10.56)
H = H0 + Hres
(10.57)
H0 = ɛ(a †
1 a1 + a †
2 a2) − GΓ(a1a2 − a †
1 a†
2 ) + GΓ2 , (10.58)
Hres = G(a †
1 a†
2 + Γ) (a1a2 − Γ) (10.59)
La nostra approssimazione consisterà nel considerare Hres come una piccola perturbazione. All’ordine zero, in cui questa
interazione è trascurata, il metodo è equivalente alla teoria di campo medio in cui l’operatore a1a2 è approssimato
dal suo valor medio Γ.
Determineremo il valore di θ cercando il valore minimo di H0 sullo stato di prova
Si trova
〈Ψ|H0|Ψ〉 = 2ɛ sin 2 θ − GΓ 2
2ɛ sin 2θ + 2GΓ cos 2θ = 0 −→ tan 2θ = − GΓ
ɛ
(10.60)
(10.61)

Usando l’espressione (10.56) per Γ si ottiene un’equazione detta di gap
o
Γ = − 1
2
1 GΓ
sin 2θ = √
2 ɛ2 + G2Γ2 1 = 1 G
√
2 ɛ2 + ∆2 101
(10.62)
(10.63)
dove ∆ = GΓ. Questa equazione può essere pensata come l’equazione che determina lo stato fondamentale del
sistema dato che ci fornisce il valore del condensato. Possiamo ora introdurre il concetto di quasi-particelle dovuto
a Landau. L’idea è che l’effetto principale delle interazioni sia quello di rivestire le particelle originarie, in modo
tale che il sistema che cosi si ottiene sia un sistema di quasi-particelle libere. In pratica si tratta di cercare una
trasformazione sugli operatori di Fermi (trasformazione di Bogoliubov) tale che H0 acquisti una forma canonica per
due oscillatori e ridefinire il nuovo stato di vuoto come quello annichilato dai nuovi operatori di distruzione. Scriviamo
la trasformazione nella forma
Sostituendo questa espressione in H0 si ottiene
A1 = a1 cos θ − a †
2 sin θ, A2 = a †
1 sin θ + a2 cos θ (10.64)
H0 = 2ɛ sin 2 θ + GΓ sin 2θ + GΓ 2 + (ɛ cos 2θ − GΓ sin 2θ)(A †
1A1 + A †
2A2) + (ɛ sin 2θ + GΓ cos 2θ)(A †
1A† 2 − A1A2) (10.65)
Richiedendo la cancella zione dei termini bilineari negli operatori di creazione e distruzione si trova
tan 2θ = − GΓ
ɛ
Possiamo verificare che il nuovo vuoto annichilato da A1 e A2 è
Il termine costante in H0 e che eguaglia 〈Ψ|H0|Ψ〉 è dato da
= −∆
ɛ
(10.66)
|0〉N = (cos θ + a †
1 a†
2 sin θ)|0〉, A1|0〉N = A2|0〉N = 0 (10.67)
〈Ψ|H0|Ψ〉 = 2ɛ sin 2 θ − GΓ 2 =
ɛ
ɛ −
2
√ −
ɛ2 + ∆2 ∆2
G
(10.68)
Il primo termine in questa espressione proviene dall’energia cinetica mentre il secondo dall’interazione. Definiamo il
limite di accoppiamento debole prendendo ∆ ≪ ɛ. Allora il primo termine è dato da
1 ∆
2
2
∆2
=
ɛ G
(10.69)
dove abbiamo fatto uso dell’equazione di gap all’ordine più basso in ∆. Vediamo che in questo limite il valore di
aspettazione di H0 si annulla. Questo significa che il vuoto normale e quello dopo la condensazione hanno la stessa
energia. Nel caso realistico in cui si ha una sfera di Fermi 3-dimensionale (e non ridotta a due punti) il vuoto condensato
ha una energia minore dell’energia del vuoto normale, per una quantità che è proporzionale alla superficie della sfera
di Fermi. Nel caso in esame lo stato fondamentale non è degenere, contrariamente al caso realistico. Nondimeno
l’interesse di questo modellino è nella sua semplicità algebrica rispetto al caso completo. Dunque otteniamo
H0 =
ɛ −
L’equazione di gap si riottiene calcolando Γ
e sostituendo in Eq. (10.66). Si trova ancora
ɛ 2
√ ɛ 2 + ∆ 2
− ∆2
G + ɛ 2 + ∆ 2 (A †
1 A1 + A †
2 A2) (10.70)
Γ = N〈0|a1a2|0〉N = − 1
sin 2θ (10.71)
2
Γ = − 1
2
1 GΓ
sin 2θ = √
2 ɛ2 + ∆2 (10.72)

o
Dall’espressione di H0 segue che gli operatori A †
i
1 = 1 G
√
2 ɛ2 + ∆2 creano dal vuoto quasi-particelle di energie
102
(10.73)
E = ɛ 2 + ∆ 2 (10.74)
La condensazione da luogo al gap fermionico, ∆. La trasformazione di Bogoliubov realizza il rivestimento degli
operatori originali ai e a †
i a quelli di quasi-particella Ai e A †
i . Dunque quello che accade è che parte dell’interazione è
assorbita nel processo di rivestimento in modo da avere un miglior punto di partenza per l’espansione perturbativa.
E. Superconduttività di colore
L’idea che in QCD a densità finita si potesse avere un fenomeno analogo alla superconduttività ma nel colore
piuttosto che nella carica elettrica, risale a metà degli anni ’70, ma solo negli anni 2000 ha ricevuto una seria attenzione.
Come sappiamo ad alta densità e temperatura zero, in virtù della libertà asintotica, i quark sono quasi liberi e quindi
si dovrebbe avere un gas fermionico degenere. Sappiamo anche che una interazione attrattiva è sufficiente a dar luogo
alla condensazione dei fermioni in coppie di Cooper. Mentre nella materia ordinaria questa interazione attrattiva
si forma solo in condizioni particolari, in QCD lo scambio di un gluone tra due quark nel canale ¯3 conduce ad una
interazione attrattiva 12 . La struttura di fase di QCD dipende dal numero di flavor che si considerano. Qui discuteremo
solo il caso di alte densità e quindi prenderemo in considerazione tre quark e li asumeremo a massa nulla. Indicheremo
i campi dei quark con ψ α iL(R) = ψα ia( ˙a) con α = 1, 2, 3, l’indice del gruppo di colore SU(3)c , i = 1, · · · , Nf l’indice
di flavor (Nf is the number of massless flavors) and a(˙a) = 1, 2 gli indici di spin (ricordiamo che le componenti L e
R hanno di fatto solo due componenti indipendenti). Allora la struttura del condensato ad alta densità può essere
facilmente ipotizzata sulla base delle seguenti considerazioni. Prendiamo l’elemento di matrice
〈0|ψ α iaψ β
jb |0〉. (10.75)
la sua struttura di spin, di colore e di flavor è completamente fissata dalle seguenti considerazioni
• Il condensato dovrebbe essere antisimmetrico in colore al fine di corrispondere al canale attrattivo ¯3;
• Il condensato deve essere antisimmetrico negli indici di spin al fine di ottenere un condensato di spin 0 13 . Infatti
la struttura isotropica del condensato corrisponde ad una degenerazione più alta della superficie di Fermi e
quindi da luogo ad un gap più elevato;
• data l’antisimmetria nello spin e nel colore, la statistica di Fermi-Dirac richiede antisimmetria anche nel flavor.
Dato che gli spin dei quark sono opposti segue che i quark di tipo L(R) possono accoppiarsi solo con quark di tipo
L(R). Nel caso di 3 colori e tre sapori i condensati hanno quindi la struttura
〈0|ψ α iLψ β
jL |0〉 ≈ 〈0|ψα iRψ β
jR |0〉 ≈ ∆
3
ɛ αβC ɛijC. (10.76)
Questa fase si indica con CFL (Color-Flavor-Locked). Il motivo è che i due condensati sono lasciati invarianti solo se
si fanno trasformazioni simultanee nel colore e nel flavor, come mostrato in Fig. 55.
12 (1) (2)
L’interazione tra due quark è proporzionale a T A T A
C=1
(1) (2)
= ((T A + T A )2 − (T (1)
A )2 − (T (2)
A )2 )/2, dove T (1) (2)
A e T A sono i generatori di
SU(3). Le quantità (T (i)
A )2 sono i Casimir delle rappresentazioni dei due quark, 3 e (T (1) (2)
A + T A )2 è il Casimir della somma delle due
rappresentazioni. Dato che il Casimir della 3 e della ¯3 sono uguali, il prodotto T (1) (2)
A T A è negativo
√
e quindi l’interazione attrattiva.
13 Lo stato di spin 0 da due stati di spin 1/2 è la combinazione antisimmetrica (|+, −〉 − |−, +〉)/ 2.

L
L
R R
L C C R
rotazione left rotazione di colore rotazione right
Figura 55 Gli indici di colore e di flavor sono rappresentati da frecce nere e grigie rispettivamente. Nella parte inferiore della
figura è mostrato che per lascaire invariato il condensato L è necessario effettuare una rotazione simultanea sia nel colore
che nel flavor L. Ma allora il colore viene ruotato anche nel condensato R e quindi per lasciarlo invariante occorre fare una
rotazione sul flavor R. In conclusione i due condensati sono invarianti solo sotto una rotazione del sottogruppo diagonale SU(3)
di SU(3)c ⊗ SU(3)L ⊗ SU(3)R.
Dunque lo schema di rottura della simmetria è
103
SU(3)c ⊗ SU(3)L ⊗ SU(3)R ⊗ U(1)B ⊗ U(1)A
↓ (10.77)
SU(3)c+L+R ⊗ Z2 ⊗ Z2.
La simmetria U(1)A è rotta a livello quantistico ma si restaura ad alte densità. Le simmetrie Z2 sono dovute
all’invarianza dei condensati sotto un cambiamento di segno dei campi L e R. La simmetria U(1)B corrispondente
alla conservazione del numero barionico è rotta. Si hanno dunque 8 + 2 bosoni di Goldstone. Quello associato ad
U(1)A è a massa nulla solo a densità molto grandi. Il Goldstone associato ad U(1)B produce un fenomeno analogo
alla suprfluidità. Infatti in una quantità di materia finita il numero barionico totale è conservato non essendoci
flusso di materia. Quindi la non conservazione si riflette in fluttuazioni locali del numero barionico. Anche la carica
elettrica risulta rotta, ma si può vedere che una combinazione della carica elettrica e di uno dei generatori del colore
è conservata, e a questa combinazione è associato un bosone di gauge a massa nulla, che quindi funge da fotone. Si
può dimostrare che rispetto a questa nuova carica sia i quark che i gluoni hanno carica intera 14 . Come si vede il
gruppo di colore è completamente rotto e quindi tutti i gluoni acquistano massa. Vedremo nella sezione successiva
come costruire la lagrangiana effettiva che li descrive. Tutti i fermioni acquistano massa tramte il gap.
Ovviamente questa situazione corrisponde ad un potenziale chimico molto più grande delle masse dei quark mu,
md e ms. Quando la densità decresce si possono formare delle fasi diverse, specie quando la massa del quark strano è
dell’ordine di µ. Quali siano le fasi favorite a densità intermedie (µ ≈ 400 − 500 MeV ) è ancora un problema aperto
e quindi non lo discuteremo ulteriormente.
Sarebbe interessante poter verificare questi risultati sul reticolo. D’altra parte, come abbiamo osservato, le approssimazioni
usate fanno leva su una misura definita positiva. Questo non è il caso in presenza di un potenziale
chimico, poiché l’integrazione sui fermioni, produce adesso un determinante fermionico (vedi eq. (6.20)) che non è
definito positivo. L’argomento è semplice. Le variabili euclidee si ottengono tramite la sostituzione
In presenza del potenziale chimico l’operatore di Dirac diventa
x0 → −ix 4 E, x i → x i E, (10.78)
γ0 → γ 4 E, γ i → iγ i E. (10.79)
D(µ) = γ µ
E Dµ
E + µγ4 E, (10.80)
14 Si può immaginare che ad ogni quark sia attaccato un condensato difermionico che da’ carica intera al quark.

dove D µ
E
proprietà
= ∂µ
E + iAµ E
è la derivata euclidea covariante. A potenziale chimico nullo questo operatore ha le seguenti
104
D(0) † = −D(0), γ5D(0)γ5 = −D(0) (10.81)
Dunque gli autovalori di D(0) sono immaginari puri. Inoltre se |λ〉 è un autovettore di D(0), anche γ5|λ〉 lo è, ma con
autovalore −λ. Questo segue da
Dunque
γ5D(0)|λ〉 = λγ5|λ〉 = −D(0)γ5|λ〉 (10.82)
det[D(0)] =
(λ)(−λ) > 0 (10.83)
λ
Per µ = 0 questo argomento non vale ed il determinante è complesso. È da notare che questo argomento dipende dal
tipo di potenziale chimico che si sta considerando. Per esempio, se si considerano due quark degeneri in massa, per
esempio u e d, e consideriamo il potenziale chimico di isospin che è accoppiato alla carica conservata τ3 nello spazio
del flavor, è ancora possibile dimostrare la positività usando, nel ragionamento precedente, la quantità τ1γ5 invece
della sola γ5. Una situazione di questo tipo può quindi essere studiata sul reticolo.
F. Lagrangiana effettiva per la fase CFL
Se consideriamo separatamente le rotture indotte dai condensati L e R le rotture delle simmetrie generate dai due
condensati sono
〈ψ j
βL ψk γL〉 : SU(3)c ⊗ SU(3)L ⊗ U(1)L → SU(3)c+L ⊗ Z2
〈ψ j
βR ψk γR〉 : SU(3)c ⊗ SU(3)R ⊗ U(1)L → SU(3)c+R ⊗ Z2 (10.84)
È evidente che possiamo effettuare la stessa costruzione che abbiamo usato in precedenza per lo schema di rottura
SU(2)L ⊗ SU(2)R → SU(2), dato che nessun ruolo aveva nella discussione un ulteriore fattore di fase che può essere
associato all’analogo dell’elemento η di SU(2). Anche l’estensione dei gruppi SU(2) ai gruppi SU(3) non presenta
problemi. L’unico elemento a cui occorre prestare attenzione è che il gruppo di colore che è lo stesso per i due
condensati. Introduciamo allora i seguenti campi di Goldstone:
X i α, Y i α, α ∈ SU(3)c, i ∈ SU(3)L,R (10.85)
Per fissare le propietà di trasformazione di questi campi sotto i gruppi U(1)B e U(1)A notiamo che X e Y trasformano
come le seguenti combinazione dei condensati
X i α ≈ ɛ ijk ɛαβγ〈ψ j
βL ψk γL〉 ∗ , Y i α ≈ ɛ ijk ɛαβγ〈ψ j
βR ψk γR〉 ∗ . (10.86)
Ricordiamo che i quark trasformano come la rappresentazione (3, 3) of SU(3)c ⊗ SU(3) L(R), cioè (gc ∈ SU(3)c,
g L(R) ∈ SU(3) L(R))
ψL → e i(α+β) gcψLg T L, ψR → e i(α−β) gcψRg T R, e iα ∈ U(1)B, e iβ ∈ U(1)A (10.87)
Pertanto avremo che X e Y trasformano rispetto a SU(3)c ⊗ SU(3)L ⊗ SU(3)R ⊗ U(1)B ⊗ U(1)A come
X → gcXg T Le −2i(α+β) , Y → gcY g T Re −2i(α−β)
(10.88)
I campi X e Y sono matrici di U(3) e quindi descrivono 9+9 = 18 campi. Otto di questi campi sono assorbiti dai bosoni
di gauge e danno luogo a 8 bosoni vettoriali con massa. Pertanto avremo 10 = 18−8 bosoni di Goldstone. Ricordiamo
che stiamo considerando anche il bosone associato alla rottura di U(1)A come un vero bosone di Goldstone. In pratica
a densità finita questo bosone ha una massa che poi tende a zero per grande densità. Questi campi descrivono la
rottura della simmetria globale G = SU(3)L ⊗ SU(3)L ⊗ U(1)L ⊗ U(1)R (18 generatori) alla simmetria dello stato
fondamentale H = SU(3)c+L+R ⊗ Z2 ⊗ Z2 (8 generatori) Nel seguito sarà conveniente separare i fattori U(1) in X e
Y definendo nuovi campi ˆ X e ˆ Y , appartenenti a SU(3)
X = ˆ Xe 2i(φ+θ) , Y = ˆ Y e 2i(φ−θ) , ˆ X, ˆ Y ∈ SU(3) (10.89)

I campi φ e θ possono essere descritti anche in termini del determinante di X e Y
Le proprietà di trasformazione sotto G sono
dX = det(X) = e 6i(φ+θ) , dY = det(Y ) = e 6i(φ−θ) , (10.90)
ˆX → gc ˆ Xg T L, ˆ Y → gc ˆ Y g T R, φ → φ − α, θ → θ − β. (10.91)
La rottura della simmetria globale può anche essere discusso in termini dei seguenti campi gauge invarianti: dX, dY e
Σ i j =
( ˆ Y j α) ∗ Xˆ i
α → Σ = ˆ Y † X ˆ (10.92)
α
Il campo Σ descrive gli 8 bosoni di Goldstone corrispondenti alla rottura della simmetria chirale SU(3)L ⊗ SU(3)R,
come si vede subito dalle proprietà di trasformazione del campo Σ T ,
Σ T → gLΣ T g †
R
105
(10.93)
Dunque Σ T si trasforma come l’usuale campo chirale U. Gli altri due campi gauge invarianti dX e dY descrivono i
rimanenti bosoni di Goldstone associati alla rottura dei fattori U(1). La costruzione di una azione invariante richiede
un minimo di attenzione, perché una delle trasformazioni è locale. Da quanto abbiamo visto sulla forma di Maurer e
Cartan segue la convenienza di introdurre le seguenti combinazioni
con
J µ
X = ˆ XD µ ˆ X † = ˆ X(∂ µ ˆ X † + ˆ X † g µ ) = ˆ X∂ µ ˆ X † + g µ ,
J µ
Y = ˆ Y D µ ˆ Y † = ˆ Y (∂ µ ˆ Y † + ˆ Y † g µ ) = ˆ Y ∂ µ ˆ Y † + g µ
gµ = igsg a µT a
(10.94)
(10.95)
i campi dei gluoni e T a i generatori di SU(3)c. Questi operatori hanno proprietà di trasformazione semplici rispetto
al gruppo completo di simmetria G:
J µ
X,Y
→ gcJ µ
X,Y g† c
(10.96)
La lagrangiana più generale con al più due derivate, invariante sotto G, il gruppo delle rotazioni spaziali O(3)
(l’invarianza di Lorentz è rotta dal termine di potenziale chimico µ ¯ ψγ0ψ) e la parità definita come:
è data da
od anche
L = − F 2 T
4 Tr J 0 X − J 0 Y ) 2 − αT
JX
−
JY 2
+ F 2 S
4 Tr
P : ˆ X ↔ ˆ Y , φ → φ, θ → −θ, (10.97)
F 2 T
F
+ αS
2 S
4 Tr
L = − F 2 T
4 Tr
ˆX∂0 ˆ X † − ˆ Y ∂0 ˆ Y † ) 2
Xˆ ∇ X ˆ †
− Yˆ ∇ Y ˆ †
2
+ F 2 S
4 Tr
4 Tr J 0 X + J 0 Y ) 2 + 1
2 (∂0φ) 2 + 1 2
(∂0θ)
2
JX
+
JY 2
− v2 φ
2 | ∇φ| 2 − v2 θ
2 | ∇θ| 2
F
− αT
2 T
F
+ αS
2 S
4 Tr
+ 1
2 (∂0φ) 2 + 1
2 (∂0θ) 2 − v2 φ
2 | ∇φ| 2 − v2 θ
2 | ∇θ| 2
4 Tr
ˆX∂0 ˆ X † + ˆ Y ∂0 ˆ Y † + 2g0) 2
Xˆ ∇ X ˆ †
+ Yˆ ∇ Y ˆ †
+ 2g 2
(10.98)
Sfruttando l’invarianza di gauge possiamo fissare la gauge in cui ˆ X = ˆ Y † . In questo modo 8 bosoni di Goldastone
vengono eliminati dalla lagrangiana che adesso descrive 10 bosoni di Goldstone e 8 gluoni con massa. In questa gauge
i campi dei Goldstoni propriamente normalizzati sono dati da
ˆX = ˆ Y † = e iΠa T a /FT (10.99)

Espandendo l’ equazione (10.98) all’ordine più basso nei campi si trova
with
Come vediamo i campi dei gluoni g a 0 e g a i
L ≈ 1
2 (∂0Π a ) 2 + 1
2 (∂0φ) 2 + 1
2 (∂0θ) 2 − v2
2 | ∇Π a | 2 − v2 φ
2 | ∇φ| 2 − v2 θ
2 | ∇θ| 2 , (10.100)
v = FS
FT
hanno masse (dette rispettivamente di Debye e di Maissner) date da
106
(10.101)
m 2 D = αT g 2 sF 2 T , m 2 M = αSg 2 sF 2 S = αSg 2 sv 2 F 2 T (10.102)
In realtà queste non sono le masse fisiche dei gluoni dato che occorre considerare la rinormalizzazione di funzione d’onda
dei gluoni dovuta alla loro interazione con i quark (calcolabile perturbativamente per grandi µ). La descrizione che
stiamo dando include oltre ai bosoni di Goldstone a massa zero anche i gluoni che risultano avere masse di ordine
del potenziale chimico (dopo la rinormalizzazione). Quindi per avere la corretta descrizione a bassa energia occorre
disaccoppiare i campi dei gluoni. Cioè eliminarli dalla lagrangiana. Ad energie piccole rispetto a µ possiamo trascurare
il termine cinetico dei gluoni ed eliminare i loro campi tramite l’equazione del moto. Dalla eq. (10.98) si ha
È facile mostrare che dopo sostituzione nella (10.98) si trova
L = F 2 T
4
gµ = − 1
ˆX∂µ
2
ˆ X † + ˆ Y ∂µ ˆ Y †
. (10.103)
Tr[ ˙ Σ ˙ Σ † ] − v 2 Tr[ ∇Σ · ∇Σ †
] + 1
˙φ 2 2
− v
2
φ| ∇φ| 2
+ 1
˙θ 2 2
− v
2
φ| ∇θ| 2
(10.104)
Il primo termine è proprio la lagrangiana del modello σ non lineare eccetto per la rottura dell’invarianza di Lorentz.
I coefficienti FT e v (la velocità dei pioni nel mezzo costituito da quark ad alta densità) si possono calcolare
perturbativamente costruendo un accoppiamento invariante tra i quark ed i bosoni di Goldstone. Il risultato è
F 2 T = µ2
36π 2 (21 − 8 log 2), v2 = 1/3 (10.105)