Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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atomi, r, che si trovano nella posizione corretta rispetto alla configurazione ordinata, e di numero di atomi, w, che si trovano nel posto sbagliato. Il grado di ordine è allora definito come s = r − w r + w Allora s = 1 quando tutti gli atomi si trovano nella configurazione giusta, w = 0. Mentre nella configurazione disordinata, in cui r = w in media, si ha s = 0. Se consideriamo la sola entropia dovuta alla configurazione atomica avremo (N = r + w) N! S = k log W = k log (4.23) r!w! ed usando la formula di Stirling 44 (4.22) S = k(N log N − r log r − w log w) (4.24) Introducendo ora la frazione di atomi in posizione corretta f = r/N, avremo w = (1−f)N e l’entropia si può riscrivere nella forma Notiamo anche che il grado di ordine si può riscrivere in termini di f come S = −kN[f log f + (1 − f) log(1 − f)] (4.25) s = 2f − 1 (4.26) Se supponiamo di scambiare un atomo di rame con uno di zinco, avremo una variazione di f pari a δf = −1/N, quindi δS = ∂S f δf = k log ∂f 1 − f In questo scambio l’energia libera F = U − T S rimarrà invariata e quindi la variazione di entropia dovrà essere compensata da una variazione di U. Avremo allora o in termini del grado di ordine Risolvendo in s δU = kT log δU = kT log f 1 − f 1 + s 1 − s s = eδU/kt − 1 eδU/kt δU = tanh + 1 2kT Bragg e Williams nel 1934 fecero l’ipotesi che la variazione di energia interna necessaria a compensare la variazione di entropia fosse essa stessa proporzionale al grado di ordine s e posero da cui si ottiene la condizione di autoconsistenza (4.27) (4.28) (4.29) (4.30) δU = V0 s (4.31) 2 s = tanh V0s 4kT L’ipotesi di Bragg e Williams non è altro che l’analoga ipotesi fatta per il campo medio da Weiss. Le soluzioni della equazione precedente possono essere studiate ancora tramite una espansione in serie per piccoli s. Conviene anche in questo caso definire x = s, y = V0 4kT (4.32) (4.33)
2.0 1.5 1.0 0.5 Tanh(xy) y = 1.5 y = 1.0 y = 0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 Figura 33 Soluzione grafica dell’equazione tanh(xy) = x. La linea più grossa è la retta y = x e l’equazione diviene Si ha per x ≪ 1 x x = tanh xy (4.34) tanh xy ≈ xy − x3 y 3 e quindi l’equazione di autoconsistenza ha soluzioni nulle per y ≤ 1 e soluzioni diverse da zero per y > 1 (ancora notare che la tanh x tende a 1 per x → ∞). Quindi la temperatura critica è data da Tc = V0 4k Questa situazione è rappresentata in Fig. 33. Al di sotto di questa temperatura il sistema è completamente ordinato e quindi s = 1. Bragg e Williams notarono che anche in questo caso il passaggio dall’ordine totale al disordine è continuo e chiamarono questo tipo di transizione continua. Fecero anche l’ulteriore osservazione che la transizione si completava giusto alla temperatura critica. Nel 1911, Kammerling-Omnes osservò che la densità dell’elio liquido aveva un massimo a 2.2 0 K. Fu poi mostrato che il calore specifico aveva una discontinuità alla stessa temperatura. L’interpretazione fu che l’elio coesistesse in due fasi distinte, elio I e elio II. Però il valore del calore latente misurato risultava consistente con zero. Dunque anche questa transizione doveva considerarsi di tipo continuo come le altre. Nel 1933, Ehrenfest dette una classificazione delle transizioni di fase facendo riferimento all’energia libera di Gibbs 3 45 (4.35) (4.36) G = U − T S + P V (4.37) e chiamando 1) Transizioni del 1 0 ordine, quelle con una discontinuità in grandezze, come l’entropia, collegate alle derivate prime di G (S = −(∂G/∂T )P ) 2) Transizioni del 2 0 ordine, quelle con discontinuità in grandezze, come il calore specifico, collegate alle derivate seconde di G (cP = T (∂S/∂T )P ). Le idee più utile in questo settore vennero però introdotte nel 1937 da Landau. Egli osservò che le transizioni senza calore latente si accompagnavano ad un cambiamento della simmetria del problema. A questo cambiamento Landau associò il concetto di parametro d’ordine. Il parametro d’ordine è in generale una quantità estensiva, definita in modo da risultare nulla nella fase più simmetrica e non nulla nella fase meno simmetrica. Negli esempi precedenti i parametri d’ordine erano la magnetizzazione M e la variazione di energia interna δU. Nel caso della magnetizazzione la fase più simmetrica è quella disordinata in cui si ha invarianza per rotazioni in 3 dimensioni, mentre nella fase ordinata, meno simmetrica, sopravvive solo l’invarianza per rotazioni lungo la direzione della magnetizzazione. Nel
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