Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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Figura 2 Un esempio di produzione associata dovuta all’interazione di un pione negativo con un protone in una camera a bolle di idrogeno: π − + p → Λ 0 + K 0 . La Λ 0 decade in p + π − mentre il K 0 decade in π + + π − 0 − 1 − 2 S π Ottetto dei mesoni, mesoni, B = 0, 0, J = 0 − K K 0 π 0 η 0 K + K + K − 0 π − 1 − 1/2 0 1/2 + 1 Figura 3 Gli ottetti dei mesoni pseudoscalari e dei barioni + T 3 0 − 1 − 2 S Σ Ottetto dei barioni , B = 1, 1, J = 1/2 − n p Ξ − Σ 0 Λ 0 Ξ 0 Σ − 1 − 1/2 0 1/2 + 1 Se si riportano gli stati noti dei barioni e dei mesoni, mettendo insieme gli stati vicini in massa, in un grafico (T3, S), si vede che questi si dispongono con grande regolarità in ottetti e decupletti (vedi Figure 3 e 4). Nel 1961 Gell-Mann e Ne’eman spiegarono questa regolarità assumendo che la simmetria delle interazioni forti fosse legata ad un gruppo di simmetria piú grande dell’SU(2) di isospin e proposero il gruppo SU(3), che contiene SU(2) come sottogruppo ed ha tra i suoi generatori la stranezza S. Cosí come SU(2) è il gruppo delle matrici 2 × 2 complesse, unitarie ed a determinante uno, che agisce sui vettori complessi a due componenti (spinori), SU(3) è il gruppo delle matrici 3 × 3 complesse, unitarie ed a determinante uno, che agisce sui vettori complessi a tre componenti. Gli spinori a 2 componenti costituiscono la rappresentazione fondamentale (cioè la rappresentazione di dimensione più bassa non banale) di SU(2), cioè la rappresentazione di spin 1/2. I vettori complessi a tre componenti costituiscono analogamente la rappresentazione fondamentale di SU(3). La virtù della rappresentazione fondamentale è che da essa si possono + T 3 4
Figura 4 Il decupletto dei barioni S 0 − 1 − 2 − 3 Δ − 3/2 Decupletto Decupletto dei dei barioni barioni , , B=1, B=1, B=1 , J= J= 3/2 3/2 − 0 + Σ *− Δ Ξ *− Σ *0 Ω − Δ Ξ *0 Σ *+ − 1 − 1/2 0 1/2 1 costruire tutte le altre tramite prodotti tensoriali. Per SU(2) si ha Δ ++ 3/2 T 3 2 ⊗ 2 = 1 ⊕ 3 (1.16) che riesprime in termini di dimensioni delle rappresentazioni il fatto che 2 spin 1/2 danno luogo allo spin 0 ed allo spin 1. Per SU(2) si ha infatti che la dimensione n della rappresentazione di spin j è uguale a 2j + 1. Nel caso di SU(3) si può mostrare che valgono le seguenti regole per il prodotto di rappresentazioni 3 ⊗ 3 ⋆ = 1 ⊕ 8 (singoletto ⊕ ottetto) (1.17) 3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10 (singoletto ⊕ 2 ottetti ⊕ decupletto) (1.18) vediamo dunque che la classificazione empirica degli adroni in ottetti e decupletti trova una sua giustificazione in termini di rappresentazioni di SU(3). Naturalmente SU(3) non è una simmetria esatta delle interazioni forti perché le masse degli adroni all’interno di ogni singola rappresentazione non sono identiche. Infatti Gell-Mann e Okubo nel 1961 proposero un preciso schema di rottura di questa simmetria. In questo schema non solo era possibile rendere conto delle masse osservate in termini di 3 parametri, ma si poteva anche prevedere la massa dell’Ω − , uno dei membri del decupletto (vedi Fig. 4), che a quel tempo non era stata ancora osservata. Il valore teorico risultava M th Ω− = 1685 MeV (1.19) Nel 1964 questa particella fu scoperta nei laboratori di Brookhaven in un processo molto spettacolare, ottenendo un valore per la massa M exp Ω − = 1686 ± 12 MeV (1.20) Inoltre le proprietá di decadimento risultavano consistenti con il valore previsto di S = −3 (vedi Fig. 5). Abbiamo già osservato che i vari spin si possono ottenere combinando in modo opportuno degli spin 1/2. Partendo da questa idea, Fermi e Yang nel 1949, proposero un modello per i pioni come composti dei nucleoni: π + ≈ p¯n, π − ≈ ¯pn, π 0 ≈ ¯pp − ¯nn (1.21) Questi sono infatti le tre componenti di isospin 1 che si formano a partire da due isospin 1/2. Poiché la fondamentale di SU(3) contiene tre componenti, Sakata nel 1956 propose una generalizzazione del modello precedente ai mesoni strani, aggiungendo una terza particella a protone e neutrone, il barione Λ0 . Cioè Sakata identificava le componenti della rappresentazione fondamentale di SU(3) con le seguenti particelle ⎡ ψα = ⎣ p n Λ0 ⎤ ⎦ , α = 1, 2, 3 (1.22) 5
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