Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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Figura 37 Il contributo a one-loop alle correzioni di massa E. Correzioni di temperatura alla massa k p p In Fig. 37 è mostrato il contributo a one-loop alla massa di una campo scalare con densità di lagrangiana L = 1 2 ∂µφ∂ µ φ − m2 2 φ2 − λ 4! φ4 Dato che facciamo il calcolo nell’euclideo il propagatore con la correzione di massa è definito al primo ordine nelle correzioni di massa come 1 p2 + m2 1 ≈ + ∆m2 p2 1 − ∆m2 + m2 (p 2 + m 2 ) 2 Se indichiamo con Σ il contributo del vertice in Fig. 37 si ha per il propagatore corretto l’espressione da cui −∆m 2 = Σ e pertanto −∆m 2 = − λ 2β che si può riscrivere nella forma dove abbiamo definito n=even d 3 k (2π) 3 1 p2 + Σ + m2 1 ω 2 n + k 2 + m −∆m 2 = − λ 2 β 2β 2π ωk = n 1 (p 2 + m 2 ) 2 λ = − 2 2β n d 3 k (2π) 3 d3k (2π) 3 1 n2 + (βωk/2π) 2 1 (2πn/β) 2 + k 2 + m 2 74 (7.49) (7.50) (7.51) (7.52) (7.53) k 2 + m 2 (7.54) La somma può essere eseguita usando la relazione (che si dimostra facilmente usando il teorema dei residui) e quindi Notiamo che si può scrivere +∞ n=−∞ 1 n2 π = coth πy, y > 0 (7.55) + y2 y ∆m 2 = λ 4 coth βx 2 d 3 k (2π) 3 1 ωk coth βωk 2 (7.56) 1 = 1 + 2 eβx − 1 = 1 + 2nB(x) (7.57)
con nB(x) = 1 e βx − 1 la funzione di distribuzione dei bosoni. Dato nB → 0 per T → 0, questa scrittura ci permette di separare il contributo alla massa in due parti, una a T = 0, mentre il resto è dovuto alla temperatura. Dunque ∆m 2 = ∆m 2 0 + ∆m 2 T = λ 4 d 3 k (2π) 3 1 ωk + λ 2 d 3 k (2π) 3 75 (7.58) 1 nB(ωk) (7.59) Il primo pezzo è l’usuale contributo divergente che richiede un termine di rinormalizzazione di massa. Al contrario la parte ∆m2 T è finita nell’ultravioletto a causa della distribuzione di Bose che va esponenzialmente a zero. Il contributo termico può essere calcolato nel limite in cui m → 0. Si ha ∆m 2 T ≈ λ 4π2 k dk eβk (7.60) − 1 Effettuando il cambiamento di variabile x = βk si ha ∆m 2 T ≈ λ 4π 2 β 2 Si trova che l’integrale da come risultato π 2 /6 e quindi ∆m 2 T = λT 2 24 x dx ex − 1 ωk (7.61) + O (m/T ) (7.62) Ricordiamo che una rottura spontanea della simmetria è generata da un termine di massa negativo. Quindi l’effetto della temperatura è di restaurare la simmetria. Calcoli più precisi permettono di determinare la temperatura critica, cioè la temperatura alla quale il coefficiente di φ 2 si annulla. VIII. LA TRANSIZIONE CHIRALE IN QCD Come abbiamo visto in QCD vale la proprietà di libertà asintotica e quindi ad alte energie ci aspettiamo quark e gluoni quasi liberi (il cosi detto quark-gluon plasma). D’altra parte a basse energie sappiamo che le particelle non neutre nel colore sono confinate e che si ha formazione degli stati adronici. Ci aspettiamo dunque che nel passare da bassa ad alta energia ci sia una transizione di fase. Da questo punto di vista la transizione dovrebbe essere una transizione tra confinamento e non-confinamento. Riprenderemo questo punto in seguito. Esiste però in QCD un’altra transizione di fase. Consideriamo per semplicità QCD con due soli quark, u e d supposti a massa nulla (l’approssimazione è buona dato che mu,d ≪ ΛQCD). Come sappiamo, per masse uguali la teoria ha un’invarianza U(2) (U(N) per N flavor). Questa invarianza diventa più ampia nel limite di masse zero. Consideriamo, per cominciare con l’equazione di Dirac libera ed introduciamo i proiettori di chiralità (o elicità) Definiamo poi Notiamo che PR,L = ¯ψ(i∂/ + m)ψ (8.1) 1 ± γ5 , P 2 2 R = PR, P 2 L = PL, PL + PR = 1 (8.2) ψL,R = PL,Rψ (8.3) ¯ψR = ψ † R γ0 = ψ † PRγ0 = ¯ ψPL dove abbiamo usata l’anticommutatività di γ0 e γ5. Analogamente ¯ψL = ¯ ψPR (8.4) (8.5)
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