Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

Questa scrittura, all’ordine più basso nell’interazione elettromagnetica è completamente generale, in quanto si è fatto
uso solo della forma generale dell’accoppiamento elettromagnetico e dell’equazione per il campo elettromagnetico
stesso. D’altra parte nella discussione del caso puntiforme si è assunto che la corrente del protone abbia la stessa
forma di quella dell’elettrone che è stata desunta dall’equazione di Dirac per un accoppiamento locale tra campo e
particella. Ma se il protone non è puntiforme non possiamo assumere la semplice espressione
jµ(x) = e ¯ ψ(x)γµψ(x) (2.9)
D’altra parte il protone è comunque una particella di spin 1/2 e potrà quindi essere descritto da campi di Dirac.
Potremo quindi generalizzare l’espressione precedente sostituendo a ¯ ψγµψ il più generale quadrivettore proprio
conservato. Prendendo l’elemento di matrice tra stati di impulso definito potremo scrivere
j fi
µ (pf , pi) = eūf
F1γµ + G1σµνp ν f + G2σµνp ν i + F3(pf + pi)µ + F4qµ
dove le Fi e Gi sono funzioni scalari e quindi funzioni del solo possibile invariante che si può fare con i due vettori
on-shell pf e pi, cioè q 2 . Moltiplicando per q µ ed usando la conservazione della corrente e l’equazione di Dirac per gli
spinori (questi sono spinori liberi e possiamo dunque usarli per descrivere il fatto che il protone ha spin 1/2 e massa
M) si trova
da cui
0 = q µ j fi
µ (pf , pi) = eūf [F1(ˆpf − ˆpi) − G1σµνp µ
i pν f + G2σµνp µ
f pν i +
+ F3(p 2 f − p 2 i ) + F4q 2 ]ui =
= ūf −G1σµνp µ
i pνf + G2σµνp µ
f pνi + F4q 2
ui
ui
11
(2.10)
(2.11)
G1 = −G2, F4 = 0 (2.12)
Inoltre usando l’identità di Gordon il termine in F3 si può riscrivere come combinazione lineare del termine in γµ e
σµνqν per cui in definitiva rimangono solo due termini possibili, che riscriveremo nella forma
j fi
µ (pf , pi) = eūf F1(q 2 )γµ + κ
2M F2(q 2 )iσµνq ν
ui
(2.13)
Nel limite q → 0 non fa differenza se il protone è puntiforme oppure no, quindi si deve ritrovare la corrente per una
particella puntiforme. Dunque
F1(0) = 1 (2.14)
Se invece si considera un neutrone si possono applicare simile considerazioni, ma in questo caso la normalizzazione è
Ovviamente queste relazioni risultano da
F1(0) = 0 per un neutrone (2.15)
Q = d 3 xj0(x) (2.16)
Possiamo adesso ripetere il calcolo fatto per lo scattering nel caso puntiforme, solo che nelle regole di Feynman si
dovrà usare per il protone il vertice
−ieOµ = −ie γµF1 + κ
F2iσµνq
ν
(2.17)
2M
Il calcolo della rate mediata sugli spin produrrà il risultato
|M| 2 = e4
Lel
4q4 µνL µν
prot
dove L el
µν è definito in (2.5) e ricordiamo dalla (2.7) che per mel = 0 si ha
(2.18)
L el
µν = 4[kiµkfν + kfµkiν − gµν(ki · kf )] (2.19)