Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

che compare nelle equazioni originali è definito solo quando fissiamo un particolare modo per determinarlo dai dati
(questa si chiama condizione di rinormalizzazione). Nel caso specifico lo si fissa dal valore sperimentale della sezione
d’urto Rutherford per q → 0. Detto questo osserviamo anche che nell’espressione precedente non compaiono quantità
che siano esplicitamente divergenti per Λ → ∞, cioè quando si rimuove il cut-off che si è inserito per definire il nostro
integrale. Dato che anche eR è finito, lo otteniamo dai dati sperimentali, il risultato è che l’ampiezza espressa in
termini della carica rinormalizzata eR è finita. È ovvio che se eR è finita, allora l’originale quantità e deve divergere
per Λ → ∞. Le due espressioni coincidono, pertanto la divergenza esplicita nella ampiezza quando espressa in termini
di e compensa la divergenza insita in e. In altri termini, per dare senso a questa procedura, occorre che la carica da cui
si parte sia infinita (notiamo però che questa divergenza è di ordine superiore nella carica, come si vede dall’espressione
di eR). Detto ciò la rinormalizzazione consiste in una riorganizzazione dell’espansione perturbativa, che all’origine
usa e come parametro di espansione, in un modo che usa invece la carica rinormalizzata eR. I termini dell’espansione
sono allora convergenti. Che questo possa effettivamente realizzarsi non è una caratteristica generale delle teorie
quantistiche relativistiche. Anzi vale solo per una classe ristretta di teorie. Tra le teorie rinormalizzabili sono le teorie
di gauge abeliane (esempio QED), e quelle non abeliane (esempio QCD).
B. Lamb-shift e g − 2
Consideriamo adesso lo scattering Rutherford, con la correzione di polarizzazione di vuoto inclusa
M (1) + M (2) Ze
= −2mūf (iγ0)ui
2 R
q2
1 − e2R 60π2 q2 m2
Il fattore
Ze2 R
q2 = −Ze2 R
|q | 2
(dove si è tenuto conto di q0 = Ef − Ei = 0) altro non è che la trasformata di Fourier del potenziale coulombiano.
Infatti il potenziale scalare soddisfa
e prendendo la trasformata di Fourier
e poiché V0(x) = −eRA0
33
(3.69)
(3.70)
∇ 2
A0(x) = −ZeRδ 3 (x) (3.71)
|q | 2 A0(q ) = ZeR
V0(q ) = − Ze2 R
|q | 2
Ma allora l’equazione (3.69) ci dice che gli effetti quantistici relativistici legati alla produzione ed annichilazione di
coppie generano una correzione al potenziale coulombiano. Il potenziale modificato è
V (x) = −Ze 2 R
d 3 q
(2π) 3
eiq · x
|q | 2
1 + e2R 60π2 (3.72)
(3.73)
|q | 2
m2
= − Ze2R 4π|x| − Ze4R 60π2m2 δ3 (x) (3.74)
Abbiamo detto che la correzione è dovuta al fatto che il fotone scambiato può dissociarsi in coppie virtuali di elettroni,
possiamo allora cercare di visualizzare il fenomeno nel seguente modo. In questo esperimento l’elettrone rappresenta
la carica test che usiamo per misurare la carica della sorgente statica posta nell’origine. Intorno alla sorgente ci sarà
un mare di coppie virtuali elettroni-positroni che sono dovute al fotone tramite il quale viene testata la sorgente. La
sorgente dà luogo ad una polarizzazione di questo mare di coppie. Infatti essendo di carica positiva tenderà a crearsi
attorno una nuvola di elettroni, che schermerà la sorgente, e ad allontanare i positroni. A grandi distanze la carica
test misura la carica risultante dalla carica della sorgente e da tutte le cariche degli elettroni e dei positroni virtuali.
Questa carica è per definizione eR, abbiamo infatti definito quest’ultima come la carica misurata nello scattering
Rutherford per momenti trasferiti tendenti a zero. Se adesso avviciniamo la carica test alla sorgente fino a penetrare
la nuvola elettronica, l’effetto di schermo degli elettroni si riduce e quindi viene sperimentata una carica più grande
(vedi Fig. 25). Dunque la fisica del problema si comprende meglio parlando di una carica funzione della distanza (o