Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

che è connesso al loop di Wilson tramite la relazione
〈L(x)L † (y)〉 = [W (P )] βR
Ricordiamo qui che a temperatura finita la temperatura β = 1/T giuoca il ruolo di tempo euclideo. Quindi
W = 〈L(x)L † (y)〉 = e −E(R)/T
(qui T è la temperatura). Il criterio di confinamento dice adesso che nella fase confinata, il limite a grandi distanze
di W va a zero. Se invece il limite è non nullo, allora la teoria non confina. Pertanto il loop di Polyakov giuoca il
ruolo di parametro d’ordine per il confinamento. Naturalmente ci aspettiamo, data la libertà asintotica, che ad alte
temperature la teoria non confini più. La temperatura di transizione si chiama temperatura di deconfinamento
La situazione per masse dei quark finite è diversa e richiede analisi molto più accurate. Qui diciamo solamente che
un risultato numerico importante è che le temperature di deconfinamento e quella della transizione chirale appaiono
essere coincidenti.
La formulazione delle teorie di gauge sul reticolo è molto importante perché si presta molto bene ad approssimare
numericamente l’integrale funzionale. Usando reticoli finiti l’integrale funzionale si riporta ad un integrale multidimensionale,
sebbene il numero di integrazioni sia molto alto, dipendendo dalle dimensioni del reticolo, dal numero
delle dimensioni dello spazio e dall’ordine del gruppo di gauge. Per esempio, usando un reticolo 8 × 8 × 8 × 8 ed il
gruppo discreto Z2 si deve integrare su
2 212
= 2 4096 ≈ 10 1233
termini. L’impresa è chiaramente impossibile anche con la capacità di calcolo attuali. Ci sono però delle tecniche,
la più nota delle quali si chiama integrazione Monte Carlo, che fanno uso dell’interpretazione probabilistica che ha
la somma sui cammini euclidea. In questo modo è possibile approssimare l’integrazione funzionale. È importante
notare che questo metodo di approssimazione è rigorosamente sotto controllo solo e solo se la misura di integrazione
è definita positiva. Come vedremo, questo non succede quando si considera la teoria a potenziale chimico finito.
X. QCD A DENSITÀ FINITA
Fino ad ora abbiamo considerato QCD a temperatura finita e densità nulla. È interessante considerare cosa succede
ad densità finita e temperatura zero. In particolare la teoria si semplifica nel limite di grandi densità a causa della
libertà asintotica. In questo limite i quark sono quasi liberi e si può applicare la teoria delle perturbazioni. D’altra
parte sopravviene un nuovo fenomeno che è quello della superconduttività di colore. Infatti i fermioni liberi ad
alta densità formano un gas di Fermi degenere. Se questi fermioni sono soggenti ad una interazione attrattiva per
quanto debole, si ha il fenomeno di condensazione dei fermioni in coppie di Cooper che danno luogo al fenomeno della
superconduttività. La superconduttività ordinaria si ha in materiali cristallini in cui l’interazione dovuta ai fononi
(attrattiva) supera la repulsione coulombiana degli elettroni. Rozzamente un elettrone polarizza il mezzo circostante
attraendo ioni positivi. Questi ioni positivi attraggono un secondo elettrone. L’effetto netto è un attrazione tra i due
elettroni. L’interazione tra gli ioni del cristallo e gli elettroni è appunto descritta dai fononi che sono semplicemente
i quanti associati al campo di vibrazione degli ioni attorno alle posizioni reticolari di equilibrio.
Cerchiamo adesso di capire come in un gas di Fermi a T = 0 si possa avere il fenomeno delle coppie di Cooper. La
distribuzione di Fermi a T = 0 è data da una funzione θ
f(E, T ) =
92
(9.86)
(9.87)
(9.88)
1
e (E−µ)/T , lim f(E, T ) = θ(µ − E), (10.1)
+ 1 T →0
Il significato di questa relazione è che tutti gli stati sono occupati sino all’energia di Fermi
EF = µ, (10.2)
dove µ è il potentiale chimico. Questa distribuzione è illustrata in. 48. Il punto chiave è l’enorme degenerazione che
si ha alla superficie di Fermi. Infatti non c’è costo in energia libera nell’aggiungere o nel levare un fermione dalla
superficie. In realtà a densit‘a finita si dovrebbe parlare di gran potenziale piuttosto che di energia libera, dove il gran
potenziale è dato da
Ω = E − µN (10.3)