Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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dove D µ E proprietà = ∂µ E + iAµ E è la derivata euclidea covariante. A potenziale chimico nullo questo operatore ha le seguenti 104 D(0) † = −D(0), γ5D(0)γ5 = −D(0) (10.81) Dunque gli autovalori di D(0) sono immaginari puri. Inoltre se |λ〉 è un autovettore di D(0), anche γ5|λ〉 lo è, ma con autovalore −λ. Questo segue da Dunque γ5D(0)|λ〉 = λγ5|λ〉 = −D(0)γ5|λ〉 (10.82) det[D(0)] = (λ)(−λ) > 0 (10.83) λ Per µ = 0 questo argomento non vale ed il determinante è complesso. È da notare che questo argomento dipende dal tipo di potenziale chimico che si sta considerando. Per esempio, se si considerano due quark degeneri in massa, per esempio u e d, e consideriamo il potenziale chimico di isospin che è accoppiato alla carica conservata τ3 nello spazio del flavor, è ancora possibile dimostrare la positività usando, nel ragionamento precedente, la quantità τ1γ5 invece della sola γ5. Una situazione di questo tipo può quindi essere studiata sul reticolo. F. Lagrangiana effettiva per la fase CFL Se consideriamo separatamente le rotture indotte dai condensati L e R le rotture delle simmetrie generate dai due condensati sono 〈ψ j βL ψk γL〉 : SU(3)c ⊗ SU(3)L ⊗ U(1)L → SU(3)c+L ⊗ Z2 〈ψ j βR ψk γR〉 : SU(3)c ⊗ SU(3)R ⊗ U(1)L → SU(3)c+R ⊗ Z2 (10.84) È evidente che possiamo effettuare la stessa costruzione che abbiamo usato in precedenza per lo schema di rottura SU(2)L ⊗ SU(2)R → SU(2), dato che nessun ruolo aveva nella discussione un ulteriore fattore di fase che può essere associato all’analogo dell’elemento η di SU(2). Anche l’estensione dei gruppi SU(2) ai gruppi SU(3) non presenta problemi. L’unico elemento a cui occorre prestare attenzione è che il gruppo di colore che è lo stesso per i due condensati. Introduciamo allora i seguenti campi di Goldstone: X i α, Y i α, α ∈ SU(3)c, i ∈ SU(3)L,R (10.85) Per fissare le propietà di trasformazione di questi campi sotto i gruppi U(1)B e U(1)A notiamo che X e Y trasformano come le seguenti combinazione dei condensati X i α ≈ ɛ ijk ɛαβγ〈ψ j βL ψk γL〉 ∗ , Y i α ≈ ɛ ijk ɛαβγ〈ψ j βR ψk γR〉 ∗ . (10.86) Ricordiamo che i quark trasformano come la rappresentazione (3, 3) of SU(3)c ⊗ SU(3) L(R), cioè (gc ∈ SU(3)c, g L(R) ∈ SU(3) L(R)) ψL → e i(α+β) gcψLg T L, ψR → e i(α−β) gcψRg T R, e iα ∈ U(1)B, e iβ ∈ U(1)A (10.87) Pertanto avremo che X e Y trasformano rispetto a SU(3)c ⊗ SU(3)L ⊗ SU(3)R ⊗ U(1)B ⊗ U(1)A come X → gcXg T Le −2i(α+β) , Y → gcY g T Re −2i(α−β) (10.88) I campi X e Y sono matrici di U(3) e quindi descrivono 9+9 = 18 campi. Otto di questi campi sono assorbiti dai bosoni di gauge e danno luogo a 8 bosoni vettoriali con massa. Pertanto avremo 10 = 18−8 bosoni di Goldstone. Ricordiamo che stiamo considerando anche il bosone associato alla rottura di U(1)A come un vero bosone di Goldstone. In pratica a densità finita questo bosone ha una massa che poi tende a zero per grande densità. Questi campi descrivono la rottura della simmetria globale G = SU(3)L ⊗ SU(3)L ⊗ U(1)L ⊗ U(1)R (18 generatori) alla simmetria dello stato fondamentale H = SU(3)c+L+R ⊗ Z2 ⊗ Z2 (8 generatori) Nel seguito sarà conveniente separare i fattori U(1) in X e Y definendo nuovi campi ˆ X e ˆ Y , appartenenti a SU(3) X = ˆ Xe 2i(φ+θ) , Y = ˆ Y e 2i(φ−θ) , ˆ X, ˆ Y ∈ SU(3) (10.89)
I campi φ e θ possono essere descritti anche in termini del determinante di X e Y Le proprietà di trasformazione sotto G sono dX = det(X) = e 6i(φ+θ) , dY = det(Y ) = e 6i(φ−θ) , (10.90) ˆX → gc ˆ Xg T L, ˆ Y → gc ˆ Y g T R, φ → φ − α, θ → θ − β. (10.91) La rottura della simmetria globale può anche essere discusso in termini dei seguenti campi gauge invarianti: dX, dY e Σ i j = ( ˆ Y j α) ∗ Xˆ i α → Σ = ˆ Y † X ˆ (10.92) α Il campo Σ descrive gli 8 bosoni di Goldstone corrispondenti alla rottura della simmetria chirale SU(3)L ⊗ SU(3)R, come si vede subito dalle proprietà di trasformazione del campo Σ T , Σ T → gLΣ T g † R 105 (10.93) Dunque Σ T si trasforma come l’usuale campo chirale U. Gli altri due campi gauge invarianti dX e dY descrivono i rimanenti bosoni di Goldstone associati alla rottura dei fattori U(1). La costruzione di una azione invariante richiede un minimo di attenzione, perché una delle trasformazioni è locale. Da quanto abbiamo visto sulla forma di Maurer e Cartan segue la convenienza di introdurre le seguenti combinazioni con J µ X = ˆ XD µ ˆ X † = ˆ X(∂ µ ˆ X † + ˆ X † g µ ) = ˆ X∂ µ ˆ X † + g µ , J µ Y = ˆ Y D µ ˆ Y † = ˆ Y (∂ µ ˆ Y † + ˆ Y † g µ ) = ˆ Y ∂ µ ˆ Y † + g µ gµ = igsg a µT a (10.94) (10.95) i campi dei gluoni e T a i generatori di SU(3)c. Questi operatori hanno proprietà di trasformazione semplici rispetto al gruppo completo di simmetria G: J µ X,Y → gcJ µ X,Y g† c (10.96) La lagrangiana più generale con al più due derivate, invariante sotto G, il gruppo delle rotazioni spaziali O(3) (l’invarianza di Lorentz è rotta dal termine di potenziale chimico µ ¯ ψγ0ψ) e la parità definita come: è data da od anche L = − F 2 T 4 Tr J 0 X − J 0 Y ) 2 − αT JX − JY 2 + F 2 S 4 Tr P : ˆ X ↔ ˆ Y , φ → φ, θ → −θ, (10.97) F 2 T F + αS 2 S 4 Tr L = − F 2 T 4 Tr ˆX∂0 ˆ X † − ˆ Y ∂0 ˆ Y † ) 2 Xˆ ∇ X ˆ † − Yˆ ∇ Y ˆ † 2 + F 2 S 4 Tr 4 Tr J 0 X + J 0 Y ) 2 + 1 2 (∂0φ) 2 + 1 2 (∂0θ) 2 JX + JY 2 − v2 φ 2 | ∇φ| 2 − v2 θ 2 | ∇θ| 2 F − αT 2 T F + αS 2 S 4 Tr + 1 2 (∂0φ) 2 + 1 2 (∂0θ) 2 − v2 φ 2 | ∇φ| 2 − v2 θ 2 | ∇θ| 2 4 Tr ˆX∂0 ˆ X † + ˆ Y ∂0 ˆ Y † + 2g0) 2 Xˆ ∇ X ˆ † + Yˆ ∇ Y ˆ † + 2g 2 (10.98) Sfruttando l’invarianza di gauge possiamo fissare la gauge in cui ˆ X = ˆ Y † . In questo modo 8 bosoni di Goldastone vengono eliminati dalla lagrangiana che adesso descrive 10 bosoni di Goldstone e 8 gluoni con massa. In questa gauge i campi dei Goldstoni propriamente normalizzati sono dati da ˆX = ˆ Y † = e iΠa T a /FT (10.99)
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con la corrente del nucleone data d
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Figura 4 Il decupletto dei barioni
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Dato che i numeri quantici T3, S e
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Figura 7 Il grafico di Feynman per
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Questa scrittura, all’ordine più
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Le espressioni cosi scritte sono ov
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adronici finali ma ci si disinteres
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Figura 13 Il triangolo è la massim
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Figura 16 La differenza F ep 2 −
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in cui le masse dei quark u, d, s n
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Dato che in questa trasformazione A
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Figura 18 L’accoppiamento fermion
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Figura 22 Scattering Rutherford e p
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che compare nelle equazioni origina
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Se prendiamo α(µ 2 ) ≈ 1/137 si
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IV. LE TRANSIZIONI DI FASE Come abb
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1.0 1.5 2.0 2.0 0.0 0.5 2.0 L(xy) 1
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2.0 1.5 1.0 0.5 Tanh(xy) y = 1.5 y
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con i parametri a e b funzioni dell
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da cui S = − ∂G dT P , V =
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C. Transizioni del 1 0 ordine Come
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