Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

3. Termini di ordine superiore: Termini con 2n fermioni (n > 2) scalano come s n−1 per lo scaling della funzione δ
e quindi sono irrilevanti.
La conclusione di questa analisi è che gli unici operatori rilevanti o marginali sono quelli dell’azione libera oltre al
termine quartico nella particolare configurazione cinematica corrispondente ad una coppia di Cooper.
Nella prossima sezione introdurremo la teoria di campo alla superficie di Fermi al fine di calcolare le correzioni
quantistiche al termine quartico.
B. Gas di fermioni libero
Le proprietà di un gas di fermioni libere furono discusse da Landau che però preferiva parlare di un liquido di
fermioni. Quindi quando si cita il liquido di Landau si intende infatti un insieme di fermioni liberi. Ricordiamo le
equazioni del moto della teoria di fermioni liberi che abbiamo ottenuto nella sezione precdente
La funzione di Green, o il propagatore della teoria, è definito da
Si verifica subito che una soluzione di questa equazione è data da
(i∂t − ℓvF )ψσ(p, t = 0 (10.21)
(i∂t − ℓvF )Gσσ ′(p, t) = δσσ ′δ(t) (10.22)
Gσσ ′(p, t) = δσσ ′G(p, t) = −iδσσ ′ [θ(t)θ(ℓ) − θ(−t)θ(−ℓ)] e−iℓvF t
Usando la rappresentazione integrale della funzione a gradino
si ottiene
G(p, t) = 1
2π
θ(t) = i
2π
dω e−iℓvF t
ω + iɛ
dω e−iωt
ω + iɛ
e −iωt θ(ℓ) − e iωt θ(−ℓ)
96
(10.23)
(10.24)
(10.25)
Effettuando il cambiamento di variabile ω → ω ′ = ω ± ℓvF nei due integrali e mandando ω ′ → −ω ′ integrale si trova
nel secondo
G(p, t) = 1
2π
dωe −iωt
θ(ℓ)
ω − ℓvF + iɛ +
θ(−ℓ)
ω − ℓvF − iɛ
(10.26)
Possiamo anche scrivere
con
G(p, t) ≡ 1
2π
dp0G(p0, p)e −ip0t
1
G(p) =
(1 + iɛ)p0 − ℓvF
(10.27)
(10.28)
Notiamo che questa definizione di G(p) è in accordo con la definizione del propagatore di Feynman dato che propaga
avanti nel tempo le soluzioni ad energia positiva ℓ > 0 (p > pF ) e indietro nel tempo le soluzioni ad energia negativa
ℓ < 0 (p < pF ) corrispondenti a lacune nella sfera di Fermi. Per vedere le relazioni con l’usuale teoria dei campi
introduciamo i campi di Fermi
ψσ(x) =
bσ(p, t)e ip·x =
bσ(p)e −ip·x
(10.29)
dove x µ = (t, x), p µ = ℓvF , p) e
p
p
p · x = ℓvF t − p · x (10.30)