Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

ovvero
Quadrando si arriva a
che ha due soluzioni
− 1
3 t∗
1 − ¯t 1
=
t∗ 3 t∗ − 1
2 ¯t (4.113)
1
4 ¯t 2 − 2
9 ¯tt ∗ = 0 (4.114)
¯t = 0,
¯t = 8
9 t∗
Si verifica immediatamente che ¯t = 0 è una soluzione spuria e quindi
¯t = 8
9 t∗
53
(4.115)
(4.116)
è il valore di t al quale i due minimi diventano uguali. Sotto ¯t infine ¯η diventa il minimo assoluto. L’evoluzione di L
al variare di t è rappresentata in Fig. 34 dove, dopo aver diviso L per b si trova
L
b = τη2 + 1
2 η4 + 4√
τ ∗ 3 a
η , τ =
3
b t, τ ∗ = a
b t∗
(4.117)
In Fig. 35 abbiamo invece rappresentato il parametro d’ordine in funzione di t. Questa analisi mostra dunque che la
transizione avviene con una discontinuità nel parametro d’ordine e si tratta quindi di una transizione del primo ordine.
Allo stesso tempo vediamo che non è corretto fare uso della teoria fenomenologica di Landau basata su un’espansione
per valori piccoli del parametro d’ordine in vicinanza della temperatura critica. In definitiva, se la simmetria non
η
Figura 35 L’andamento del valore assoluto del parametro d’ordine in funzione della temperatura ridotta t. Il parametro si
annulla a t = ¯t
costringe il parametro C ad annullarsi si può avere una transizione di fase del primo ordine. Il fatto che C sia diverso
da zero non garantisce in generale la presenza di una transizione del primo ordine. Per esempio il minimo secondario
potrebbe cadere in una zona non fisica per il parametro d’ordine. Occorre anche osservare che le fluttuazioni possono
giocare un ruolo determinante nel cambiare l’ordine di una transizione.
V. ROTTURA SPONTANEA DELLE SIMMETRIE
Vogliamo adesso approfondire la teoria di Landau delle transizioni di fase del secondo ordine. In particolare
vogliamo discutere la rottura spontanea delle simmetrie che è profondamente legata alle transizioni di fase. L’idea è
estremamente semplice e consiste nell’osservare che una teoria con una hamiltoniana invariante sotto un dato gruppo
di simmetria può avere soluzioni non invarianti, ma semplicemente soluzioni che si trasformano l’una nell’altra sotto
la simmetria. Mostreremo che questo avviene se le seguenti due condizioni sono soddisfatte:
t t*
t