Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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I. IL MODELLO A QUARK Per giustificare l’introduzione del modello a quark occorre risalire all’introduzione dell’isospin in fisica nucleare. Nel 1932 Heisenberg aveva formulato l’ipotesi che la differenza tra il protone ed il neutrone fosse dovuta alle sole forze elettromagnetiche, e che avessero invece lo stesso comportamento rispetto alle interazioni forti responsabili del legame nucleare. Questo ipotesi era basata sull’idea che protone e neutrone avevano circa la stessa massa (mp = 938.272 MeV , mn = 939.57 MeV ), ma fu successivamente rinforzata dall’osservazione che i legami nucleari tra neutrone-protone, protone-protone e neutrone-neutrone, erano con buona approssimazione identici. Questa simmetria tra protone e neutrone (per altro solo approssimata dato che è rotta certamente dalle forze e.m.) poteva essere descritta immaginando il protone ed il neutrone come gli stati di polarizzazione di una particella di spin 1/2. Veniva dunque immaginata una simmetria rotazionale in uno spazio astratto, detto di isospin, nel quale il protone ed il neutrone vengono pensati come le due componenti di un isospinore, il nucleone: p N = (1.1) n L’insieme delle trasformazioni unitarie ed a determinante uno operanti sugli isospinori forma il gruppo SU(2) di isospin (ricordarsi che quando si considerano gli spin seminteri occorre considerare le trasformazioni di SU(2) piuttosto che di O(3), le rotazioni nello spazio tridimensionale). Dunque il nucleone è la rappresentazione di spin 1/2 del gruppo SU(2) di spin isotopico. Il protone è l’elemento di questo doppietto con la componente 3 dell’isospin (T3) uguale ad 1/2, mentre il neutrone è la componente con T3 = −1/2. Possiamo anche osservare che la carica elettrica del protone e del neutrone possono essere espresse tramite la relazione Q = T3 + 1 2 in unità e (la carica elettrica del protone). Nel 1934 Yukawa introdusse i pioni carichi (π ± ), e successivamente nel 1938 Kemmer il pione neutro π 0 come responsabili delle interazioni forti. Nel linguaggio dei grafici di Feynman le interazioni tra nucleoni erano dunque rappresentate come in Fig. 1. n p p p p p π − n p n n n p π n n π π 0 0 n n Figura 1 Gli scambi di pioni che danno origine alle forze tra nucleoni L’interazione è analoga a quella dell’elettrodinamica, ma il pione, contrariamente al fotone ha spin 0 ed inoltre è psudoscalare. Quindi l’interazione ha una forma d 4 x jπ(x) · φπ(x) (1.3) + t 2 (1.2)
con la corrente del nucleone data da jπ = igπ ¯ Nγ5 T N con Ti = σi/2 le tre componenti dell’isospin (σi le matrici di Pauli) e φπ il campo del pione, definito in termini delle componenti cariche come φ ± π = φ1π ∓ iφ2 π √ , φ 2 0 π = φ 3 π (1.4) In queste formule le componenti del nucleone vanno pensate come spinori di Dirac, e la presenza della γ5 è per assicurare la conservazione della parità visto che il pione è pseudoscalare e quindi il suo campo cambia segno per parità. L’interazione risulta invariante per rotazioni nello spazio dello spin isotopico, perche’ sia ¯ N T γ5N che φπ si comportano come vettori in questo spazio. Notiamo anche che la relazione tra carica elettrica ed isospin, può essere scritta nel caso del pione nella forma Q = T3 Infatti le componenti φ ± π e φ 0 π hanno isospin rispettivamente +1, −1, 0. Nel 1953-55 Gell-Mann e Nishijima unificarono queste formule per la carica elettrica, facendo uso della nozione di numero barionico, tale che Segue allora che se scriviamo 3 (1.5) B(N) = +1, B( ¯ N) = −1, B(π) = 0 (1.6) Q = T3 + B 2 questa formula si applica sia ai barioni che ai mesoni. È anche da notare che l’idea di numero barionico, come quantità esattamente conservata, fu introdotta da Stückelberg nel 1938 e rendeva conto della stabilità della materia, sebbene ai giorni odierna questo tipo di idee sia meno apprezzato. Nel 1947 Butler e Rochester osservarono le prime particelle strane, cioè i mesoni K, che esistono nelle forme K 0 , ¯ K 0 e K ± . La peculiarità di queste particelle era di essere prodotte in modo relativamente copioso (quantità dell’ordine del % rispetto ai pioni), mentre il loro decadimento risultava molto lento, con vite medie di circa 10 −10 sec, tipiche delle interazioni deboli. Pais (1950-52) dette una prima spiegazione assumendo che le particelle strane (nel frattempo era stata rivelata la Λ 0 , barione neutro di spin 1/2) fossero prodotte in coppie (produzione associata) tramite le interazioni forti e poi decadessero solo a causa delle interazioni deboli. Questa formulazione suggeri a Gell-Mann e Nishijima l’esistenza di un ulteriore numero quantico conservato dalle interazioni forti, detto stranezza, ma violato dalle interazioni deboli. Dati i processi di produzione osservati per queste particelle, l’assegnazione della stranezza risultava compatibile con le seguenti scelte S(π) = 0 = S(N) = 0, S(K 0 ) = −S( ¯ K 0 ) = 1, S(K ± ) = ±1, S(Λ 0 ) = −1 (1.8) Infatti i processi tipici erano (vedi per esempio Fig. 2 (1.7) π − + p → Λ 0 + K 0 (1.9) p + ¯p → K 0 + ¯ K 0 (1.10) K − + p → Λ 0 + π 0 (1.11) Se si assegnano (K + , K 0 ) e ( ¯ K 0 , K − ) ad isodoppietti e Λ 0 ad un singoletto di isospin (consistente ancora con le reazioni osservate), la formula per la carica elettrica può generalizzarsi ulteriormente Infatti Q = T3 + B 2 + S 2 (1.12) Q(K0 ) = − 1 1 2 + 0 + 2 = 0 (1.13) Q(K + ) = 1 2 + 0 + 1 2 Q(Λ 0 ) = 0 + 1 2 − 1 2 = +1 (1.14) = 0 (1.15)
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I campi φ e θ possono essere desc
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