Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

T
Q
P
Figura 39 Il diagramma di fase di QCD come risuklta dai calcoli approssimati discussi nel testo. Il punto P è il punto tricritico,
mentre Q e R sono i punti critici in temperatura e potenziale critico rispettivamente. La linea continua è la linea delle transizioni
del primo ordine mentre la linea tratteggiata è quella delle transizioni del secondo ordine
Lo stato fondamentale corrisponde a valori costanti dei campi 7 e quindi dobbiamo studiare l’usuale potenziale quartico
V (ρ) = 1
2 µ2 (T )ρ 2 + 1
4
R
λ(T )ρ4
dove per il momento consideriamo solo gli effetti di temperatura. Dalle discussione già fatte ci attendiamo una
transizione del secondo ordine i cui dettagli, come il valore della temperatura critica, dipendono ovviamente dalle
funzioni µ 2 (T ) e λ(T ) 8 .
Studiamo adesso la situazione a densità finita. Osserviamo che l’introduzione del potenziale chimico H → H − µN
non cambia le proprietà di simmetria della teoria. Infatti la densità di particelle
N = d 3 xψ †
ψ = d 3 x ¯ ψγ0ψ (8.18)
è invariante rispetto ad una trasformazione chirale (questo deriva dalla presenza della γ0). Quindi ci aspettiamo
che la teoria a bassa energia sia ancora il modello σ-lineare che abbiamo già considerato e che dà luogo solo ad una
transizione del secondo ordine. Questo contraddirebbe i risultati dai modelli. D’altra parte occorre considerare che,
sebbene non cambi la simmetria del problema, i coefficienti del modello σ verranno a dipendere da µ. Quello che può
succedere è che con l’aumentare del potenziale chimico l’accoppiamento del termine quartico nel potenziale effettivo
si annulli e poi diventi negativo. In questa circostanza il potenziale diventa instabile ed è necessario aggiungere un
altro termine nell’espansione, un termine di ordine ρ 6 . Cio’ che accade in questa situazione è che, quando il termine
quartico diventa negativo, la transizione da secondo ordine passa a primo e quindi il punto tricritico corrisponde
all’annullarsi del termine quartico.
Considereremo dunque il potenziale
V (ρ) = 1
2 µ2 ρ 2 + 1
4 λρ4 + 1
6 γρ6
dove assumeremo γ > 0. È anche opportuno osservare che nei modelli approssimati di cui sopra, uno sviluppo per
campi piccoli mostra che la struttura è esattamente quella di un potenziale del 60 ordine con un cambiamento di
segno nel terminr quartico e γ > 0. Iniziamo a determinare i punti stazionari dall’annullarsi della derivata prima del
7 Dato che l’hamiltoniana è la somma del termine cinetico più il termine di potenziale ed il termine cinetico è definito positivo uno stato
con campi costanti avrà energia minore di un qualunque altro stato con campi non costanti
8 In realtà la discussione è più complessa di quanto la si possa fare in questa sede, ma il risultato è che per tre quark, con un quark strano
con massa, allora la transizione è essenzialmente del secondo ordine, o come meglio si dice di crossover, dato che la simmetria è rotta
dalla massa del quark, ciò che succede è una transizione continua da un valore di aspettazione di ρ prima della transizione ad un valore
molto più piccolo dopo la transizione (il parametro d’ordine risulta non nullo a causa della rottura esplicita dovuta alla massa del quark
strano)
μ
78
(8.17)
(8.19)