Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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Discutiamo adesso alcune questioni di principio. Il punto di vista moderno è che probabilmente ogni teoria di campo è una teoria effettiva e che quindi è definita in termini di un cutoff. Ma allora questo significa che tutta l’idea della rinormalizzazione è irrilevante? Certamente no, ma il punto fondamentale della rinormalizzazione non è nella cancellazione delle quantità infinite ma piuttosto nella seguente osservazione: La fisica di bassa energia dipende dalla teoria a corte distanze (ad alte energie) solo tramite gli accoppiamenti rilevanti e marginali e se misuriamo effetti abbastanza piccoli anche da qualche operatore irrilevante Notiamo che l’insieme degli operatori rilevanti e marginali sono appunto gli operatori rinormalizzabili. Un esempio è quello di un sistema di fotoni di energia inferiore a quella dei livelli di eccitazione atomica. In questo caso si ha Eγ ≪ ∆E ≪ a −1 0 ≪ Matomo (6.13) dove ∆E la separazione dei livelli è di ordine dei 5-10 eV , a −1 0 è l’inverso del raggio di Bohr che risulta dell’ordine αme cioè circa 5 KeV , e la massa atomica è di ordine del GeV . In questa situazione gli unici processi sono quelli di scattering elastico dei fotoni sugli atomi e pertanto i soli campi da considerare sono i fotoni. La densità di lagrangiana libera sarà − 1 µν FµνF 4 Possiamo però aggiungere altri possibili operatori che, se richiediamo invarianza sotto parità avremo dove, per ragioni dimensionali L = − 1 4 FµνF µν + c1Fµν∂ 2 F µν + c2 (FµνF µν ) 2 + c3 (FµνFρσɛ µνρσ ) 2 [c1] = m −2 , [c2] = [c3] = m −4 68 (6.14) (6.15) (6.16) La sola teoria effettiva non ci può dire quali siano i valori delle costanti ci però si dice che questi termini sono regolati Figura 36 Il grafico (box) che contribuisce allo scattering γ − γ da una scala di massa che rappresenta il cutoff della teoria. Nel caso specifico, partando dalla formulazione funzionale della QED Z = DAµDψe iSQED (6.17) L’integrazione sui campi fermionici ci permette di definire una azione effettiva per i campi fotonici DAµe iSeff (Aµ) = DAµDψe iSQED (6.18) dove LQED = ¯ ψ(iD/ − m)ψ − 1 4 FµνF µν + (gauge fixing) (6.19) Il risultato dell’integrazione sui fermioni da Dψe i d 4 x ¯ ψ(iD/ −m)ψ ≈ det iD/ − m (6.20)
e quindi Leff(Aµ) = − 1 4 FµνF µν − iTr log iD/ − m + (gauge fixing) (6.21) Il termine che proviene dalla integrazione sui fermioni è in generale non locale, è però possibile fare una espansione in E/Λ dove, nel caso specifico il cutoff è dato da me, Effettuando questa espansione si trova (dopo aver effettuato la rinormalizzazione di carica) Leff(Aµ) = − 1 4 FµνF µν + α 15πm2 Fµν∂ e 2 F µν + α2 90m4 (FµνF e µν ) 2 + 7 16 (FµνFρσɛ µνρσ ) 2 (6.22) Il secondo termine rappresenta una correzione al propagatore ed infatti coincide con la correzione di polarizzazione di vuoto (vedi eq. (3.68)). Gli altri due termini determinano l’ampiezza di scattering fotone-fotone, nel limite di bassa energia. Negli anni 30 questo contributo fu calcolato da Heisenberg a da Euler, ed infatti i due ultimi termini prendono il nome di lagrangiana effettiva di Euler-Heisenberg. Questi contributi si potrebbero ottenere anche calcolando direttamente il processo di scattering che prende contributo dal grafico di Fig. 36. Vediamo che in effetti è proprio la massa dell’elettrone che agisce come un cutoff e quindi questa scala nasconde tutti gli effetti della fisica che potrebbero succedere a più alte energie. Questo fatto è noto come effetto di disaccoppiamento. Cioè se la massa di una particella è grande rispetto alle energie di interesse, essa non appare nella lagrangiana di bassa energia o, come si dice, si disaccoppia (questo è vero nella maggior parte dei casi, ma non sempre). VII. TEORIE DI CAMPO A TEMPERATURA FINITA A. Introduzione Ricordiamo alcuni concetti della termodinamica all’equilibrio. Il comportamento statistico di un sistema quantistico all’equilibrio viene studiato tramite un insieme appropriato. Si definisce una matrice demsità ρ(β) = e −βH con β = 1/kT , ma noi scegleremo usualmento k = 1. H è da pensarsi come l’hamiltoniana appropriata al particolare insieme che si sta considerando. Per esempio, nel caso dell’insieme grancanonico 69 (7.1) H = H − µN (7.2) con H e N rispettivamente l’hamiltoniana e l’operatore numero. Il parametro µ è il potenziale chimico. Nel caso dell’insieme canonico Specificheremo quando necessario di quale insieme stiamo parlando. Data la matrice densità si definisce la funzione di partizione del sistema come La media d’insieme di un’osservabile A è definita come H = H (7.3) Z(β) = Trρ(β) = Tre −βH 〈A〉β = Z −1 (β)Trρ(β)A = Tre−βH A Tre −βH Analogamente la media termica della funzione di correlazione di due operatori sarà (in generale i due operatori potranno dipendere da diverse coordinate) (7.4) (7.5) 〈AB〉β = Z −1 (β)Trρ(β)AB (7.6) È possibile introdurre operatori in rappresentazione di Heisenberg usando l’hamiltoniana di insieme AH(t) = e iHt Ae −iHt (7.7)
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