Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

e quindi
Leff(Aµ) = − 1
4 FµνF µν − iTr log iD/ − m + (gauge fixing) (6.21)
Il termine che proviene dalla integrazione sui fermioni è in generale non locale, è però possibile fare una espansione
in E/Λ dove, nel caso specifico il cutoff è dato da me, Effettuando questa espansione si trova (dopo aver effettuato la
rinormalizzazione di carica)
Leff(Aµ) = − 1
4 FµνF µν + α
15πm2 Fµν∂
e
2 F µν + α2
90m4
(FµνF
e
µν ) 2 + 7
16 (FµνFρσɛ µνρσ ) 2
(6.22)
Il secondo termine rappresenta una correzione al propagatore ed infatti coincide con la correzione di polarizzazione
di vuoto (vedi eq. (3.68)). Gli altri due termini determinano l’ampiezza di scattering fotone-fotone, nel limite
di bassa energia. Negli anni 30 questo contributo fu calcolato da Heisenberg a da Euler, ed infatti i due ultimi
termini prendono il nome di lagrangiana effettiva di Euler-Heisenberg. Questi contributi si potrebbero ottenere anche
calcolando direttamente il processo di scattering che prende contributo dal grafico di Fig. 36.
Vediamo che in effetti è proprio la massa dell’elettrone che agisce come un cutoff e quindi questa scala nasconde tutti
gli effetti della fisica che potrebbero succedere a più alte energie. Questo fatto è noto come effetto di disaccoppiamento.
Cioè se la massa di una particella è grande rispetto alle energie di interesse, essa non appare nella lagrangiana di bassa
energia o, come si dice, si disaccoppia (questo è vero nella maggior parte dei casi, ma non sempre).
VII. TEORIE DI CAMPO A TEMPERATURA FINITA
A. Introduzione
Ricordiamo alcuni concetti della termodinamica all’equilibrio. Il comportamento statistico di un sistema quantistico
all’equilibrio viene studiato tramite un insieme appropriato. Si definisce una matrice demsità
ρ(β) = e −βH
con β = 1/kT , ma noi scegleremo usualmento k = 1. H è da pensarsi come l’hamiltoniana appropriata al particolare
insieme che si sta considerando. Per esempio, nel caso dell’insieme grancanonico
69
(7.1)
H = H − µN (7.2)
con H e N rispettivamente l’hamiltoniana e l’operatore numero. Il parametro µ è il potenziale chimico. Nel caso
dell’insieme canonico
Specificheremo quando necessario di quale insieme stiamo parlando.
Data la matrice densità si definisce la funzione di partizione del sistema come
La media d’insieme di un’osservabile A è definita come
H = H (7.3)
Z(β) = Trρ(β) = Tre −βH
〈A〉β = Z −1 (β)Trρ(β)A = Tre−βH A
Tre −βH
Analogamente la media termica della funzione di correlazione di due operatori sarà (in generale i due operatori
potranno dipendere da diverse coordinate)
(7.4)
(7.5)
〈AB〉β = Z −1 (β)Trρ(β)AB (7.6)
È possibile introdurre operatori in rappresentazione di Heisenberg usando l’hamiltoniana di insieme
AH(t) = e iHt Ae −iHt
(7.7)