Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

con i parametri a e b funzioni della temperatura e delle altre caratteristiche del sistema. La temperatura critica è
fissata dalla condizione di avere soluzioni diverse da zero che equivale a richiedere a(Tc) = 1. Soluzioni non nulle sono
determinate da
x 2 =
Negli esempi esaminati l’assenza di termini in x2 era legata a particolari simmetrie del problema. Infatti in entrambi i
casi si deve avere fisicamente la stessa soluzione sia per M → −M per il ferromagnete che per s → −s (r → w) nel caso
della lega. Questi fatti portarono Landau all’idea che simili considerazioni fossero applicabili a tutte le transizioni di
fase del secondo ordine. La teoria risultante è una teoria fenomenologica basata su considerazioni generali di simmetria
e di analiticità. Questa trattazione può anche essere motivata basandosi su di un calcolo microscopico, ma questo
tipo di approccio non è molto rigoroso e non risulta nemmeno di particolare utilità.
La teoria di Landau postula che esista una funzione L (energia libera di Landau) che dipende da una serie di
parametri tipici del problema, quali temperatura, pressione, ecc. L’insieme di questi parametri è l’insieme delle costanti
di accoppiamento del problema che vengono indicate collettivamente da {Ki}. Inoltre L dipende dal parametro, o
dai parametri, d’ordine. L non coincide con l’energia libera di Gibbs, sebbene ne sia strettamente correlata. È infatti
una ipotesi fondamentale della teoria di Landau che tutte le funzioni termodinamiche possano essere calcolate da L
come se essa coincidesse con G. Le proprietà che si assumomo per la funzione di Landau sono le seguenti:
1) L deve essere invariante rispetto alle simmetrie del problema.
2) In vicinanza di Tc, dove η (parametro d’ordine) si annulla, L può essere sviluppata in una serie di potenze in η e
negli accoppiamenti. Cioè L è analitica in η e nei {Ki}. Nel caso di un sistema spazialmente uniforme potremo allora
scrivere
L = L
V =
1 − a
b
∞
an(Ki)η n
n=0
3) In un sistema inomogeneo con parametro d’ordine η(r), funzione della posizione, L è una funzione locale del
parametro d’ordine. Dipende cioè solo da η(r) e da un numero finito di derivate.
4) Per T < Tc, la condizione di minimo è risolta con η = 0, mentre per T > Tc la soluzione è η = 0. Ne segue che
per T sufficientemente vicino a Tc potremo prendere un numero finito di termini nell’espansione (2.3). In particolare
terremo i termini sino al quarto ordine
L =
4
an(Ki)η n
n=0
La scelta del parametro d’ordine è evidentemente correlata con le proprietà di simmetria del sistema. Negli esempi
visti precedentemente avevamo una simmetria M → −M e s → −s rispettivamente. Il gruppo di simmetria di
queste teorie è il gruppo discreto ZZ2. Nella fase simmetrica il parametro d’ordine è nullo ed il sistema possiede
tutta l’invarianza originale G. Nella fase rotta, in cui η = 0 il sistema non può essere più invariante sotto il gruppo
originale, ma sopravviverà solo la simmetria corrispondente al sottogruppo H ⊂ G che lascia invariante il minimo in
η. Questa situazione è del tutto generale. Tipicamente il parametro d’ordine si trasforma sotto una rappresentazione
irriducibile r di G, η (r)
i , i = 1, · · · , dim(r). Nella fase simmetrica si ha η (r)
i = 0, mentre nella fase rotta avremo η(r) α = 0,
per tutti gli α tali che sotto una trasformazione di H η (r)
α → η (r)
α . Questo significa che la decomposizione di r in
rappresentazioni di H deve contenere almeno una volta la rappresentazione scalare di H. Per esempio, se G = O(4)
e η (r)
i = v, e H = O(3) corrispondente a rotazioni attorno all’asse 4, la soluzione non nulla può essere solo del tipo
v = (0, 0, 0, v), che è evidentemente invariante sotto O(3).
Se ci restringiamo a considerare il caso di un singolo parametro d’ordine con simmetria ZZ2, dovremo eliminare i
termini dispari nella L ed avremo quindi
L = a0(Ki) + a2(Ki)η 2 + a4(Ki)η 4
Il parametro a0(Ki) rappresenta il valore della funzione di Landau nella fase simmetrica e può essere momentaneamente
ignorato. Per quanto concerne a2 ed a4 supporremo di poterli sviluppare intorno alla temperatura critica:
a2 = a 0 2 +
T − Tc
Tc
a 1 2
47
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
a4 = a 0 4 + (T − Tc)a 1 4 (4.50)