Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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secondo ordine fase rotta λ/γ punto tricritico fase simmetrica primo ordine Figura 40 La rappresentazione grafica della discussione nel testo. Il diagramma di fase è dato nel piano (µ 2 /γ, λ/γ). Nel diagramma si mostra anche l’andamento del potenziale nelle varie regioni. le linee continue più spesse rappresentano le transizioni di fase. Il punto di incontro, o punto tricritico, corrisponde a µ = λ = 0. La linea continua sottile è il luogo dei punti λ 2 − 4µ 2 γ = 0. Analogamente la linea del secondo ordine corrisponde nel piano (µ, T ) all’equazione mentre la linea del primo ordine a λ(T, µ) = −4 2 μ /γ µ 2 (T, µ) = 0 (8.29) µ 2 (T, µ)γ(T, µ) Possiamo studiare gli esponenti critici attorno al punto tricritico. Supporremo che attorno a questo punto i coefficienti µ 2 e λ abbiano un andamento del tipo µ 2 (T, µ) ≈ µ 2 T − Tc T Tc + µ2 µ − µc µ µc λ(T, µ) ≈ λ 2 T − Tc T + λ 2 µ − µc µ (8.31) Introduciamo poi un termine di massa per i quark, che come ricordiamo nel modello σ nonlineare è dato da e quindi nel modello lineare diventa Tc 3 µc 80 (8.30) BTr[U] (8.32) B ρ Tr[U] (8.33) fπ Pertanto questo è equivalente ad inserire nel potenziale un termine lineare che scriveremo nella forma La condizione di minimo diventa Vm = −hρ (8.34) h = µ 2 ρ + λρ 3 + γρ 5 (8.35)
Se consideriamo il limite verso il punto critico ponendosi, per esempio, a µ = µc e stando nella regione di µ 2 < 0, allora, ad h = 0, segue dalla eq. (8.22) che ρ|h=0,T →Tc ≈ Quindi gli esponenti critici corrispondenti sono: ρ 2 + = 1 −λ + 2γ λ2 − 4µ 2 γ |µ 2 | γ 1/4 1/4 2 |µ T | ≈ 1 − γ T β = β ′ = 1 4 Un risultato completamente simile si ottiene per T = Tc, h = 0 e µ → µc. È anche interessante il comportamento del condensato al punto tricritico per piccoli valori di h. Si trova dalla (8.35) da cui Questo esponente è usualmente chiamato δ e quindi Differerenziando la (8.35) rispetto ad h si ha h = γ(Tc, µc)ρ 5 ρ|T =TC,µ=µc,h→0 ≈ h 1/5 Tc 1/4 81 (8.36) (8.37) (8.38) (8.39) (8.40) δ = 1/5 (8.41) 1 = µ 2 + 3λρ 2 + 5γρ 4 ∂ρ ∂h Usando la soluzione ad h = 0 e prendendo il limite, per esempio per T → Tc con µ = µc, vediamo che i termini µ 2 e ρ 4 vanno a zero linearmente per T → Tc, mentre il termine λρ 2 va a zero come (T − Tc) 3/2 . Quindi nel limite otteniamo ∂ρ ∂h h=0,µ=µc,T →TC ≈ T 1 − Questa derivata è l’analogo della suscettività magnetica e abbiamo dunque per il corrispondente esponente critico γ TC −1 (8.42) (8.43) γ = 1 (8.44) Questi risultati potrebbero essere testati sperimentalmente negli esperimenti di scattering di ioni pesanti se fossimo in grado di raggiungere temperature e densità vicine al punto tricritico. Infatti, è una caratteristica generale delle transizioni del secondo ordine di dare luogo a grosse fluttuazioni nelle quantità osservabili e queste fluttuazioni si accentuano in vicinanza del punto tricritico. IX. TEORIE DI GAUGE SUL RETICOLO A. Introduzione Dopo gli esperimenti a LEP ormai le predizioni di QCD ad alta energia o piccole distanze, e quindi nel regime perturbativo, sono state testate al livello di qualche percento. Ormai QCD si è dunque affermata come la teoria delle interazioni forti. D’altra parte non siamo in possesso di tecniche non-perturbative che ci possano permettere di calcolare quantità fondamentali come le masse degli adroni, i loro momenti magnetici, ecc. Negli anni 70 Wilson ha formulato un metodo che, almeno in linea di principio, può dare una risposta a queste questioni. Si tratta delle teoria di gauge sul reticolo formulata da Wilson. Con una opportuna capacità di calcolo (purtroppo ancora molto elevata rispetto alle possibilità attuali) è possibile calcolare tutte le proprietà che riguardano il comportamento di QCD a basse energie. D’altra parte metodi approssimati, come il metodo Monte Carlo, hanno permesso di tagliare
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