Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

p, E
-p, E
q, E
-q, E
p, E
-p, E
k, E+E'
-k, E-E'
q, E
-q, E
Figura 51 I due diagrammi che contribuiscono all’ampiezza di scattering fermione-fermione a un loop.
C. Correzioni a un loop
Adesso siamo in grado di calcolare le correzioni a un loop allo scattering a quattro fermioni che è il processo a cui
contribuisce il termine di interazione quartico. Queste correzioni sono illustrate in Fig. 51. Si trova
G(E) = G − G 2
′ dE d2k dl
(2π) 4
1
((E + E ′ )(1 + iɛ) − vF ( k)l)((E − E ′ )(1 + iɛ) − vF ( (10.44)
k)l)
dove abbiamo assunto il vertice V come una costante G. I poli dell’integrando sono illustrati in Fig. 52.
l > 0
l < 0
E' E'
Figura 52 La posizione dei poli nel piano complesso di E ′ nell’ampiezza a un loop, nei due casi ℓ ≷ 0
L’integrando dell’ equazione (10.44) può essere scritto come
1
1
2(E − ℓvF ) E ′ 1
−
+ E − (1 − iɛ)ℓvF E ′
− E + (1 − iɛ)ℓvF
98
(10.45)
Chiudendo il cammino di integrazione nel semipiano superiore si trova
iG(E) = iG − G 2
d2kdℓ (2π) 4
1
[(−2πi)θ(ℓ) + (2πi)θ(−ℓ)] (10.46)
2(E − ℓvF )
Cambiando ℓ → −ℓ nel secondo integrale otteniamo
iG(E) = iG + iG 2
Inserendo un cutoff E0 nell’integrazione su ℓ si ha
d2kdℓ (2π) 4
ℓvF
E2 θ(ℓ) (10.47)
− (ℓvF ) 2
G(E) = G − 1
2 G2 ρ log(δ/E) (10.48)