Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

ρG(E)
ρG
ρG
Figura 54 The behavior of G(E) for G > 0 and G < 0.
δ
G > 0
G < 0
dall’impulso, o dalle coordinate. Come sappiamo un sistema con numero finito di gradi di libertà non da luogo a
rottura spontanea della simmetria. Però il modello in esame (modello di Hubbard) ci mostrerà tutte le caratteristiche
essenziali del fenomeno e lo stesso calcolo può essere ripetuto esattamente (con un’algebra un po’ piu’ complicata) nel
caso realistico di una interazione a 4 fermioni. Assumeremo che il sistema sia descritto dalla seguente hamiltoniana,
con accoppiamento quartico tra gli oscillatori
H = ɛ(a †
1 a1 + a †
2 a2) + Ga †
1 a†
2 a1a2 = ɛ(a †
1 a1 + a †
2 a2) − Ga †
1 a†
2 a2a1
E
100
(10.54)
Studieremo questo modello facendo ricorso ad un principio variazionale. Iniziamo introducendo una funzione d’onda
di prova |Ψ〉
|Ψ〉 =
L’operatore difermionico, a1a2, ha il seguente valore di aspettazione
Scriviamo l’hamiltoniana H come la somma di due pezzi
con
and
cos θ + sin θ a †
1a†
2 |0〉 (10.55)
Γ ≡ 〈Ψ| a1a2|Ψ〉 = − sin θ cos θ (10.56)
H = H0 + Hres
(10.57)
H0 = ɛ(a †
1 a1 + a †
2 a2) − GΓ(a1a2 − a †
1 a†
2 ) + GΓ2 , (10.58)
Hres = G(a †
1 a†
2 + Γ) (a1a2 − Γ) (10.59)
La nostra approssimazione consisterà nel considerare Hres come una piccola perturbazione. All’ordine zero, in cui questa
interazione è trascurata, il metodo è equivalente alla teoria di campo medio in cui l’operatore a1a2 è approssimato
dal suo valor medio Γ.
Determineremo il valore di θ cercando il valore minimo di H0 sullo stato di prova
Si trova
〈Ψ|H0|Ψ〉 = 2ɛ sin 2 θ − GΓ 2
2ɛ sin 2θ + 2GΓ cos 2θ = 0 −→ tan 2θ = − GΓ
ɛ
(10.60)
(10.61)