Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

in cui le masse dei quark u, d, s non sono uguali. In questo caso la lagrangiana contiene un termine di massa cosi
costruito
con
¯ψα,a,i(x)Mabψα,b,i(x) (3.7)
Mab =
Se adesso trasformiamo la funzione d’onda, avremo
che è invariante solo se
⎡
⎢
⎣
25
mu
0
0
md
0
0
⎤
⎥
⎦ (3.8)
0 0 ms
¯ψα,a,i(x)Mabψα,b,i(x) → ¯ ψα,b,i(x)V †
bc McdVdeψα,e,i(x) (3.9)
V † MV = M (3.10)
Se questa relazione deve valere per la generica matrice di V di SU(3), si può mostrare che M deve essere proporzionale
alla matrice identità e quindi le masse dei tre quark uguali. Simili considerazioni si possono fare per i barioni.
Dunque questa simmetria è solo approssimata o, come si dice, esplicitamente rotta dalle differenze di massa. In
questo senso queste simmetrie appaiono accidentali e dovute solo al fatto che i parametri assumono certi valori.
Nel caso considerato, per esempio, le masse dei quark u, d sono molto più vicine di quanto non lo sia a loro la
massa dello strano. Se mu = md = ms, il sottogruppo SU(2) che agisce sui quark u, d è una simmetria. Infatti
sperimentalmente la simmetria di isospin è meno rotta della simmetria SU(3). In questo caso sono i valori delle masse
che determinano la struttura della simmetria della teoria. Per quanto riguarda l’SU(3)c, questo è stato introdotto
come una simmetria esatta per risolvere il problema spin-statistica dei quark. Infatti nella nostra analogia funzionava
come lo spin dell’elettrone, semplicemente un grado di libertà che numera stati diversi di una stessa particella.
Nel lavoro di Yang e Mills del 1954, si partiva da una critica delle simmetrie globali esatte nelle teorie relativistiche.
Per capire le loro obbiezioni consideriamo la simmetria relativa all’elettromagnetismo nel caso globale, cioè nel caso
in cui il parametro della trasformazione di gauge sia indipendente da x. Questa è certamente una simmetria della
lagrangiana che descrive, per esempio un elettrone, senza bisogno di introdurre il potenziale elettromagnetico. Conseguenza
della simmetria è il fatto che la fase della funzione d’onda è arbitraria e quindi può essere fissata a piacimento.
Nel caso globale, se un osservatore nel punto x fissa la fase, questa dovrà essere adottata contemporaneamente da tutti
gli altri osservatori in tutti gli altri punti dello spazio-tempo. Questa idea fa però a pugni con la nostra idea intuitiva
di causalità. Il modo per evitare questo problema, suggerito da Yang e Mills era appunto di richiedere che questa
invarianza fosse locale e che quindi ogni osservatore potesse scegliere la fase a proprio piacimento. Ovviamente gli
osservatori devono essere in grado di comunicare tra loro la scelta di questa fase. Quindi se l’osservatore in x sceglie
la fase α(x), e l’osservatore in x + dx la fase α ′ (x + dx), richiederemo per continuità, che le due scelte differiscono di
una quantità proporzionale a dx
α ′ (x + dx) = α(x) + ∂µα(x)dx µ + Aµ(x)dx µ
La quantità Aµ(x)dx µ rappresenta dunque l’arbitrarietà nella scelta della fase da parte dell’osservatore in x + dx.
Possiamo anche dire che Aµ(x) è l’agente fisico che connette le due scelte. Come tale pare ovvio che le particelle
associate siano a massa nulla (cioè che propaghino l’informazione alla velocità della luce). Se la simmetria esatta
non è semplicemente una trasformazione di fase, ma una trasformazione più complicata, del tipo prima considerato,
allora si hanno più fasi arbitrarie. Consideriamo per semplicità il caso di una simmetria corrispondente al gruppo di
trasformazioni SU(2). la generica matrice unitaria 2 × 2 a determinante uno si può scrivere nella forma
U = e
iτ · nθ
dove τ sono le matrici di Pauli e |n| 2 = 1. In questo caso si ha
come segue sviluppando l’esponenziale ed utilizzando
(3.11)
(3.12)
e iτ · nθ = cos θ + iτ · n sin θ (3.13)
(τ · n) 2 = 1 (3.14)