Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

vestite sono diverse. Ma sperimentalmente risultano identiche. Dunque dovremmo aggiustare le cariche nude in modo
da rendere identiche le cariche vestite. Questo modo innaturale di procedere non è in realtà necessario, perchè come
detto solo la polarizazzione di vuoto del fotone contribuisce e questa `la stessa per qualunque tipo di particella esterna.
Come si dice, questo tipo di correzioni sono universali.
Consideriamo adesso un processo di scattering quale e− µ − → e− µ − . Possiamo definire la carica elettrica misurata
tramite l’espansione grafica di Fig. 28, dove abbiamo fissato il valore di Q2 = −q2 a µ 2 , dove µ è una scala arbitraria
dalla cui scelta dipende il corrispondente valore di e. In genere risulta conveniente fissare la scala all’energia tipica
del processo. Nel caso dello scattering Rutherford, per esempio, abbiamo definito la carica nel limite Q2 → 0. Dato
che le correzioni sono solo sulla linea fotonica segue dalla (3.58)
da cui, ponendo I(Q 2 ) = e 2 0f(Q 2 ), segue
µν −ig
q2 e 2
Q2 =µ 2
= e 2 0
+ −igµρ
q2 −ig
Iρλ
λσ
q2 Iστ
−ig µν
−ig τν
q 2
q2
−igµρ
+
q2 −ig
Iρλ
λν
q2 +
Q 2 =µ 2
37
(3.89)
e 2 = e 2 0[1 − I(µ 2 ) + I 2 (µ 2 ) + · · ·] = e 2 0[1 − e 2 0f(µ 2 ) + e 4 0f 2 (µ 2 ) + · · ·] (3.90)
Calcoliamo adesso l’ampiezza per questo processo. Si avrà
M(e0) = e 2 0F (Q 2 )[1 − e 2 0f(Q 2 ) + e 4 0f 2 (Q 2 ) · · ·] (3.91)
dove la e 2 0F (Q 2 ) è chiaramente l’ampiezza calcolata all’ordine più basso in e 2 0. Come si è già visto nello scattering
Rutherford, dato che f(Q 2 ) è una funzione divergente questa espressione non è ben definita. Se però esprimiamo e0
in funzione di e (rinormalizzazione), all’ordine e 4 si ha
Sostituendo in M(e0)
Ricordiamo che I(Q 2 ) è dato da eq. (3.63)
e 2 0 = e 2 [1 + e 2 f(µ 2 ) + · · ·] (3.92)
M(e0) = e 2 [1 + e 2 f(µ 2 ) + · · ·]F (Q 2 )[1 − e 2 f(Q 2 ) + · · ·] =
= e 2 F (Q 2 )[1 − e 2 (f(Q 2 ) − f(µ 2 )) + · · ·] ≡ MR(e) (3.93)
I(Q 2 ) = e 2 f(Q 2 ) = α
3π
1
Λ2 2α
log −
m2 π 0
dz z(1 − z) log 1 + Q2z(1 − z)
m2
vediamo che essendo la divergenza indipendente da Q 2 , essa si cancella nella differenza. Dunque MR(e) = M(e0)
non ha termini divergenti, ed è finita se assumiamo che e sia la carica che si misura. Pertanto la rinormalizzazione
di carica, o se vogliamo la riparametrizzazione dell’ampiezza in termine di e rende tutto finito. Possiamo calcolare
f(Q 2 ) − f(µ 2 ) per grandi Q 2 (ed anche grandi µ 2 )
Si ha cosi
e 2 (f(Q 2 ) − f(µ 2 )) = − 2α
π
→ − 2α
π
1
0
1
dz z(1 − z) log
MR(e) = e 2 F (Q 2
) 1 − α
3π
0
2 2 m + Q z(1 − z)
m2 + µ 2
→
z(1 − z)
dz z(1 − z) log Q2
µ 2 = − α Q2
log
3π µ 2
Q2
log
µ 2 + · · ·
Notiamo che MR(e) dipende apparentemente da µ, ma in realtà non è cosi. Infatti e è definito dalla (3.90) ed è
quindi esso stesso funzione di µ. Ciò che succede è che la dipendenza di e da µ cancella la dipendenza esplicita da µ
in MR(e). Questo segue da MR(e) = M(e0) e dal fatto che MR(e) non dipende da µ. Possiamo formalizzare questo
fatto scrivendo
(3.94)
(3.95)
(3.96)
M(e0) = MR(e(µ), µ) (3.97)