Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

• La teoria è invariante sotto un gruppo di simmetrie G.
• Lo stato fondamentale della teoria è degenere e si trasforma in modo non banale rispetto al gruppo G.
A titolo di esempio consideriamo un campo scalare descritto da una lagrangiana invariante per parità
La densità di lagrangiana sarà del tipo
Se lo stato di vuoto è non degenere avremo, a meno di un fattore di fase,
dato che P commuta con l’hamiltoniana. Segue
da cui
P : φ → −φ (5.1)
L = 1
2 ∂µφ∂ µ φ − V (φ 2 ) (5.2)
P |0〉 = |0〉 (5.3)
〈0|φ|0〉 = 〈0|P −1 P φP −1 P |0〉 = 〈0|P φP −1 |0〉 = −〈0|φ|0〉 (5.4)
〈0|φ|0〉 = 0 (5.5)
Le cose cambiano se lo stato fondamentale è degenere. Nell’esempio (5.2) questo succede se
V (φ 2 ) = µ2
2 φ2 + λ
4 φ4
con µ 2 < 0. Infatti il potenziale ha allora due minimi collocati a
φ = ±v, v =
Indicando con |R〉 e |L〉 i due stati corrispondenti alla configurazione classica φ = ±v, si ha
Dunque
− µ2
λ
54
(5.6)
(5.7)
P |R〉 = |L〉 = |R〉 (5.8)
〈R|φ|R〉 = 〈R|P −1 P φP −1 P |R〉 = −〈L|φ|L〉 (5.9)
Questa relazione non implica che il valore di aspettazione del campo sia nullo. Nel seguito saremo interessati in
modo particolare al caso di simmetrie continue. Cosi consideriamo due campi scalari e una densità di lagrangiana con
simmetria O(2)
dove
L = 1
2 ∂µ φ · ∂ µ φ − 1
2 µ2 φ · φ − λ
4 ( φ · φ) 2
φ · φ = φ 2 1 + φ 2 2
Per µ 2 > 0 c’è un unico stato fondamentale, il minimo del potenziale è a φ = 0. Se invece µ 2 < 0, ci sono infiniti stati
degeneri dati dall’equazione
| φ| 2 = φ 2 1 + φ 2 2 = v 2
con v definito come in (5.7). Indicando con R(θ) l’operatore che ruota i campi nel piano (φ1, φ2), nel caso degenere
si ha
(5.10)
(5.11)
(5.12)
R(θ)|0〉 = |0〉 (5.13)