Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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poiché φ θ = φ. Nel caso µ 2 < 0 (caso degenere), si ha
〈0|φ|0〉 = 〈0|R −1 RφR −1 R|0〉 = 〈0|φ θ |0〉 = 0 (5.14)
R(θ)|0〉 = |θ〉 (5.15)
dove |θ〉 è uno degli infiniti stati fondamentali degneri che stanno sul cerchio | φ| 2 = v 2 . Quindi
with
〈0|φi|0〉 = 〈0|R −1 (θ)R(θ)φiR −1 (θ)R(θ)|0〉 = 〈θ|φ θ i |θ〉 (5.16)
φ θ i = R(θ)φiR −1 (θ) = φi
Quindi non è necessario che il valore del campo sia nullo. Si può dire che l’esistenza di uno stato fondamentale degenere
forza il sistema a scegliere uno di questi stati equivalenti e conseguentemente la simmetria viene rotta. D’ altra parte
la rottura è solo a livello delle soluzioni, la lagrangiana e le equazioni del moto preservano la simmetria. Si possono
costruire facilmente dei sistemi classici con rottura spontanea della simmetria. Un esempio è una particella classica in
un potenziale di doppia buca. Il sistema ha una simmetria di parità x → −x, con x la posizione della particella. Le
posizioni di equilibrio sono i minimi ±x0. Se mettiamo la particella vicina a x0, essa farà delle oscillazioni attorno a
questo punto ed il sistema perde la simmetria originale. Un altro esempio è quello del ferromagnete. L’ hamiltoniana
è invariante per rotazioni, ma quando lo si raffreddi al di sotto della temperatura di Curie, come abbiamo visto, si
ha una magnetizzazione spontanea e la simmetria risulta rotta. Come abbiamo già discusso queste situazioni sono
tipiche delle transizioni di fase del secondo ordine. Queste si descrivono in ternmini dell’energia libera di Landau che
dipende da due diversi tipi di parametri:
• Parametri di controllo, per esempio µ 2 per il campo scalare, e la temperatura per il ferromagnete.
• Parametri d’ordine, per esempio il valore di aspettazione del campo scalare e la magnetizzazione.
Il sistema passa da una fase all’altra variando i parametri di controllo e la transizione è caratterizzata dai parametri
d’ordine che assumono valori diversi nelle varie fasi.
A livello quantistico la situazione è più involuta perché la rottura spontanea non può accadere nei sistemi finiti.
Questa è una conseguenza dell’effetto tunnel che rimuove la degenerazione dello stato fondamentale. Consideriamo ancora
una particella in un doppio pozzo di potenziale. Possiamo definire gli stati fondamentali tramite la corrispondenza
con i minimi classici
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(5.17)
x = x0 → |R〉
x = −x0 → |L〉 (5.18)
Ma a causa dell’effetto tunnel ci può essere una transizione tra i due stati che rimuove la degenerazione. Infatti
l’hamiltoniana acquisterà un elemento di matrice non nullo tra i due stati |R〉 e |L〉. Indicando con H la matrice
dell’hamiltoniana tra questi stati avremo
Gli autovalori di H sono
Non si ha più degenerazione e gli autostati risultano
con autovalore ES = ɛ0 + ɛ1, and
H =
ɛ0 ɛ1
ɛ1 ɛ0
(5.19)
(ɛ0 + ɛ1, ɛ0 − ɛ1) (5.20)
|S〉 = 1
√ 2 (|R〉 + |L〉) (5.21)
|A〉 = 1
√ 2 (|R〉 − |L〉) (5.22)