Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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che è connesso al loop di Wilson tramite la relazione 〈L(x)L † (y)〉 = [W (P )] βR Ricordiamo qui che a temperatura finita la temperatura β = 1/T giuoca il ruolo di tempo euclideo. Quindi W = 〈L(x)L † (y)〉 = e −E(R)/T (qui T è la temperatura). Il criterio di confinamento dice adesso che nella fase confinata, il limite a grandi distanze di W va a zero. Se invece il limite è non nullo, allora la teoria non confina. Pertanto il loop di Polyakov giuoca il ruolo di parametro d’ordine per il confinamento. Naturalmente ci aspettiamo, data la libertà asintotica, che ad alte temperature la teoria non confini più. La temperatura di transizione si chiama temperatura di deconfinamento La situazione per masse dei quark finite è diversa e richiede analisi molto più accurate. Qui diciamo solamente che un risultato numerico importante è che le temperature di deconfinamento e quella della transizione chirale appaiono essere coincidenti. La formulazione delle teorie di gauge sul reticolo è molto importante perché si presta molto bene ad approssimare numericamente l’integrale funzionale. Usando reticoli finiti l’integrale funzionale si riporta ad un integrale multidimensionale, sebbene il numero di integrazioni sia molto alto, dipendendo dalle dimensioni del reticolo, dal numero delle dimensioni dello spazio e dall’ordine del gruppo di gauge. Per esempio, usando un reticolo 8 × 8 × 8 × 8 ed il gruppo discreto Z2 si deve integrare su 2 212 = 2 4096 ≈ 10 1233 termini. L’impresa è chiaramente impossibile anche con la capacità di calcolo attuali. Ci sono però delle tecniche, la più nota delle quali si chiama integrazione Monte Carlo, che fanno uso dell’interpretazione probabilistica che ha la somma sui cammini euclidea. In questo modo è possibile approssimare l’integrazione funzionale. È importante notare che questo metodo di approssimazione è rigorosamente sotto controllo solo e solo se la misura di integrazione è definita positiva. Come vedremo, questo non succede quando si considera la teoria a potenziale chimico finito. X. QCD A DENSITÀ FINITA Fino ad ora abbiamo considerato QCD a temperatura finita e densità nulla. È interessante considerare cosa succede ad densità finita e temperatura zero. In particolare la teoria si semplifica nel limite di grandi densità a causa della libertà asintotica. In questo limite i quark sono quasi liberi e si può applicare la teoria delle perturbazioni. D’altra parte sopravviene un nuovo fenomeno che è quello della superconduttività di colore. Infatti i fermioni liberi ad alta densità formano un gas di Fermi degenere. Se questi fermioni sono soggenti ad una interazione attrattiva per quanto debole, si ha il fenomeno di condensazione dei fermioni in coppie di Cooper che danno luogo al fenomeno della superconduttività. La superconduttività ordinaria si ha in materiali cristallini in cui l’interazione dovuta ai fononi (attrattiva) supera la repulsione coulombiana degli elettroni. Rozzamente un elettrone polarizza il mezzo circostante attraendo ioni positivi. Questi ioni positivi attraggono un secondo elettrone. L’effetto netto è un attrazione tra i due elettroni. L’interazione tra gli ioni del cristallo e gli elettroni è appunto descritta dai fononi che sono semplicemente i quanti associati al campo di vibrazione degli ioni attorno alle posizioni reticolari di equilibrio. Cerchiamo adesso di capire come in un gas di Fermi a T = 0 si possa avere il fenomeno delle coppie di Cooper. La distribuzione di Fermi a T = 0 è data da una funzione θ f(E, T ) = 92 (9.86) (9.87) (9.88) 1 e (E−µ)/T , lim f(E, T ) = θ(µ − E), (10.1) + 1 T →0 Il significato di questa relazione è che tutti gli stati sono occupati sino all’energia di Fermi EF = µ, (10.2) dove µ è il potentiale chimico. Questa distribuzione è illustrata in. 48. Il punto chiave è l’enorme degenerazione che si ha alla superficie di Fermi. Infatti non c’è costo in energia libera nell’aggiungere o nel levare un fermione dalla superficie. In realtà a densit‘a finita si dovrebbe parlare di gran potenziale piuttosto che di energia libera, dove il gran potenziale è dato da Ω = E − µN (10.3)
f(E) Figura 48 La distribuzione di Fermi a temperatura zero Ma non faremo distinzione nel seguito. Dunque se aggiungiamo o togliamo una particella alla superficie di Fermi si ha E F = μ Ω = E − µN → (E ± EF ) − (N ± 1) = Ω (10.4) Questo suggerisce che si possa avere un fenomeno di condensazione se due fermioni sono legati con una energia di legame EB arbitrariamente piccola. Infatti se aggiungiamo una coppia, che avrà energia E = 2EF −EB, alla superficie si avrà Ω → (E + 2EF − EB) − µ(N + 2) = Ω − EB Quindi addizionando una coppia di questo tipo l’energia del sistema diminuisce. Segue che c’è un vantaggio energetico nel creare coppie di fermioni legati. Questo è il fenomeno di condensazione delle coppie di Cooper che risulta essere l’origine fisica della superconduttività. Infatti Cooper ha mostrato che due fermioni con una interazione attrattiva arbitraria, in vicinanza della sfera di Fermi, formano uno stato legato di impulso totale e spin nulli. Faremo ora vedere che la teoria della superconduttività può essere trattata in maniera semplice. Per vedere questo faremo ricorso ad un’azione effettiva alla superficie di Fermi. A. La teoria effettiva alla superficie di Fermi In questa sezione discuteremo la teoria effettiva della superconduttivita’ ordinaria seguendo Polchinski 10 . Innanzitutto occorre definire la scala al di sotto della quale vogliamo costruire la nostra teoria effettiva. La tipica scala può essere E 93 (10.5) E0 = mα 2 ≈ 27 eV (10.6) la tipica energia nei solidi. Altre scale come le masse degli ioni possono essere considerate infinite. Analogamente le velocità in gioco sono molto piccole rispetto a c e quindi si può discutere una teoria non relativistica. In effetti la scala tipica della superconduttività (che risulta essere il gap) è di ordine di 10−3 eV . Dopo avere indentificato la scala di cut off occorre identificare i gradi di libertà rilevanti. L’ipotesi naturale è quella di considerare delle particelle di spin 1/2 come gli elettroni nel metallo. Se decisiamo di misurare tutte le energie rispetto all’energia alla superficie di Fermi (l’energia di Fermi), l’azione libera più generale sarà della forma Sfree = dt d 3 p iψ † σ(p)i∂tψσ(p) − (ɛ(p) − ɛF )ψ † σ(p)ψσ(p) (10.7) 10 Tutta la discussione sarà fatta a temperatura zero
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Figura 7 Il grafico di Feynman per
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adronici finali ma ci si disinteres
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