Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

- π/a + π/a k
Figura 45 Il propagatore del campo fermionico nel continuo (linea sottile) e sul reticolo (linea spessa) in funzione di k
Quindi le matrici γ sono hermitiane nell’euclideo. L’operatore di Dirac
Quindi l’equazione di Dirac diviene
i∂/ → −∂/ (9.30)
∂/ ψ(x) = 0 (9.31)
È conveniente partire dall’azione nel continuo data in forma hermitiana. Quindi il termine cinetico sarà
da cui l’azione libera sul reticolo
1
¯ψn(ψn+ˆµ − ψn) − (
2
¯ ψn+ˆµ − ¯ 1
ψn)ψn = ¯ψnψn+ˆµ −
2
¯
ψn+ˆµψn
S =
Prendendo la trasformata di Fourier si trova
+π/a
S =
n
π/a
a 3
2
4
µ=1
d4k (2π) 4 ¯
ψ(k)
γµ
¯ψnψn+ˆµ − ¯
ψn+ˆµψn
i
µ
86
(9.32)
(9.33)
µ sin(akµ)
γ
a
ψ(k) (9.34)
Il propagatore fermionico, a parte la parte di proiezione sugli stati ad energia positiva sarà l’inverso di
1
a 2 sin2 akµ
Anche in questo caso confrontiamo il continuo ed il discreto nella Fig. 45. Il problema con i fermioni è che oltre allo
zero a k = 0 c’‘e un altro minimo in |k| = π/a. Per capire perché questo costituisca un problema ritorniamo allo
spazio di Minkowski. I poli sono allora determinati dalla relazione (k4 → iE)
sinh 2 Ea =
Consideriamo una particella ad energia positiva che si muova lungo l’asse z
E e pz sono allora correlati da
Ma poiché il seno è periodico nell’intervallo (−π/a, π/a), anche i vettori
(9.35)
3
sin 2 pµa (9.36)
µ=1
p (1) = (E, 0, 0, pz) (9.37)
sinh Ea = sin pza (9.38)
p (2) = (E, 0, 0, π/a − pz), p (3) = (E, π/a, 0, pz), p (4) = (E, π/a, 0, π/a − pz) (9.39)