Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

con autovalore EA = ɛ0 − ɛ1. Si può dimostrare che ɛ1 < 0 e quindi lo stato fondamentale è quello simmetrico |S〉.
Come risultato avremo una oscillazione quantistica. Possiamo esprimere gli stati |R〉 e |L〉 in termini degli autostati
dell’energia
|R〉 = 1
√ 2 (|S〉 + |A〉)
|L〉 = 1
√ 2 (|S〉 − |A〉) (5.23)
Supponiamo di preparare uno stato ponendo una particella nel minimo di destra.
dell’energia e quindi oscillerà con una evoluzione temporale
Questo non è un autostato
|R, t〉 = 1
√ e
2
−iESt
|S〉 + e
−iEAt
|A〉 = 1
√ e
−iESt
|S〉 + e
2 −it∆E
|A〉
(5.24)
con ∆E = EA − ES. Dunque per t = π/∆E lo stato |R〉 si trasforma nello stato |L〉. L’oscillazione avviene con un
periodo
T = 2π
∆E
In natura ci sono sistemi finiti come la molecola di zucchero che sembrano esibire una rottura spontanea della simmetria.
Infatti si osservano molecole di zucchero sia destrorse che sinistrorse. La spiegazione è che il periodo di
oscillazione è in questo caso molto lungo, dell’ordine di 10 4 − 10 6 anni.
La separazione dello stato fondamentale dal primo stato eccitato decresce con l’altezza della barriera di potenziale
tra i due minimi quindi, per sistemi infiniti l’altezza della barriera diventa infinita e si può avere rottura spontanea.
Per esempio, nel caso del campo scalare, segue dall’invarianza traslazionale del vuoto
56
(5.25)
〈0|φ(x)|0〉 = 〈0|e iP x φ(0)e −iP x |0〉 = 〈0|φ(0)|0〉 = v (5.26)
e la differenza di energia tra il massimo a φ = 0 e il minimo aφ = v, diventa infinita nel limite di volume infinito
H(φ = 0) − H(φ = v) = − d 3 x
2 µ
2 v2 + λ
4 v4
= µ4
4λ
d 3 x = µ4
V
4λ
(5.27)
A. Esempio di rottura spontanea della simmetria
V
Abbiamo visto come i fenomeni di creazione e distruzione di particelle diano luogo a termini non-lineari nelle funzioni
d’onda delle varie particelle. Questo non significa ovviamente che gli stati quantici non hanno più una struttura di
spazio vettoriale, ma semplicemente che lo spazio di Hilbert che si deve considerare è lo spazio di tutte le particelle
che intervengono nel processo. Per esempio, nel decadimento del µ si ha uno stato iniziale che è uno stato di particella
singola, mentre lo stato finale è uno stato a tre particelle. Entrambi questi stati vanno considerati come appartenenti
ad uno spazio di Hilbert costituito dallo stato senza particelle, il vuoto, gli stati ad una particella, gli stati a due e
cosí via. La matrice T è allora un operatore lineare che mappa, nel caso del decadimento del µ, uno stato di particella
singola in uno stato a tre particelle. In generale quando si ha questa struttura multilineare nelle funzioni d’onda
significa semplicemente che si sta considerando uno stato a molte particelle in questo spazio di Hilbert allargato, detto
anche spazio di Fock. Questo lungo discorso serve per introdurre anche per le particelle scalari la possibilità di termini
di autointerazione, quali φ 3 , φ 4 , ecc., che daranno luogo a vertici trilineari, quadrilineari e cosí via. Descriveranno
cioè una transizione da una particella in due, due in due o una in tre, ecc. Il fatto nuovo che emerge per gli scalari
è la possibilità, nel caso di autointerazioni, che ci siano delle soluzioni costanti per le funzioni d’onda, e che quindi
l’espansione in onde piane sia della forma
V
φ(x) = c + onde piane (5.28)
Come vedremo, la costante permetterà di generare la massa per i bosoni vettoriali in una teoria di gauge. Poiché una
soluzione costante c = 0 corrisponde a pµ = 0 (∂µc = 0), la si associa ad una struttura non banale del vuoto. Per
contrasto il caso c = 0, corrisponde ad una struttura di vuoto banale (assenza di campo). Consideriamo allora una
lagrangiana per φ della forma
L = ∂µφ ⋆ ∂ µ φ − V (|φ| 2 ) (5.29)