Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

in misura notevole le quantità di calcoli da effettuare. Purtroppo il prezzo da pagare per mettere la QCD su un
reticolo è molto pesante da pagare, infatti questo approccio è possibile solo passando ad una metrica euclidea. Questo
funziona molto bene nel caso delle proprietà statiche di QCD ma per il calcolo di quantità dinamiche è necessaria una
continuazione analitica dei risultati del reticolo dallo spazio Euclideo allo spazio di Minkowski. Questo è possibile ma
richiede una capacità di calcolo estremamente elevata. Un’altra difficoltà ha a che fare con il limite del continuo. Al
fine di potersi comparare con le quantità sperimentali è necessario mandare la spaziatura del reticolo a zero. Questa
è una procedura molto delicata. Giusto per fare un esempio, sul reticolo si perdono le invarianze per traslazioni e per
rotazioni continue, mentre sopravvivovono solo delle simmetrie discrete. Il limite va fatto in modo da recuperare le
simmetrie originali della teoria.
B. La geometria del reticolo
Il primo passo nel costruire una teoria di gauge (o più generalmente una teoria di campo) sul reticolo è quello
di discretizzare lo spazio-tempo (pensato come uno spazio con metrica Euclidea). Per semplicità penseremo ad una
discretizzazione su un reticolo cubico. Quindi il nostro reticolo sarà definito come un insieme di punti in uno spazio
Euclideo d-dimensionale con coordinate
dove a è la spaziatura del reticolo e nµ un vettore a componenti intere
Questi punti sono anche detti i siti del reticolo (vedi Fig. 41.
Figura 41 Esempio di reticolo in due dimensioni con spacing pari ad a
xµ = nµa (9.1)
nµ = (n1, n2, · · · , nd) (9.2)
Un ruolo molto importante giocano i link. Un link è una linea che connette due siti adiacenti ed è quindi identificato
da
a
a
(x, x + aˆµ) (9.3)
dove ˆµ è un versore lungo la direzione definita da µ, µ = 1, 2, · · · , d. Il link è illustrato in Fig 42.
x x + a μ
Figura 42 Il link di un reticolo che connette i siti x e x + aˆµ
Un altro elemento importante è la plaquette, un quadrato elementare chiuso da quattro link, come mostrato in Fig
43.
In pratica i reticoli si prendono di dimensioni finite, con grandezza L1 × L2 × · · · × Ld. Per esempio in Fig. 41 si ha
L1 = 6a e L2 = 4a. Inoltre si usano spesso reticoli con condizioni al contorno periodico. Questo è utile perché riduce
gli effetti di dimensione finita del reticolo.
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