Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

4
2
1 2 3
- π/a
+ π/a k
Figura 44 Il propagatore del campo scalare nel continuo (linea sottile) e sul reticolo (linea spessa) in funzione di k
con mµ un vettore a componenti intere. Possiamo dunque restringere ogni componente di kµ all prima zona di
Brillouin
− π
a ≤ kµ ≤ + π
(9.23)
a
Pertanto la trasformata di Fourier del campo è definita da
φn =
π/a
−π/a
85
d 4 k
(2π) 4 eikn φ(k) (9.24)
Consideriamo la parte cinetica della lagrangiana (omettendo la somma sulle 4 direzioni)
4
a
n
(φn+ˆµ − φn) 2 =
π/a
d
n −π/a
4k (2π) 4
π/a
d
−π/a
4k ′
(2π) 4 ei(k+k′ )n e iakµ
− 1 e iak′
µ − 1 φ(k ′ )φ(k)
π/a
=
−π/a
π/a
= 4
La parte libera dell’azione sarà dunque
S0 = 1
π/a
2 −π/a
d4k (2π) 4
iakµ −iakµ e − 1 e − 1 φ(−k)φ(k) =
−π/a
d 4 k
(2π) 4 sin2 (akµ/2)φ(−k)φ(k) (9.25)
d4k (2π) 4
µ
4
a2 sin2 (akµ/2) + m 2
φ(−k)φ(k) (9.26)
Vediamo dunque che il propagatore libero nello spazio degli impulsi è dato dall’inverso di
k 2 + m 2 →
µ
4
a 2 sin2 (akµ/2) (9.27)
Nel limite a → 0 le due espressioni coincidono. Le due espressioni sono confrontate in Fig. 44. Come si vede le due
espressioni sono simili per piccoli k, mentre differiscono per valori di k più grandi. Consideriamo adesso il caso dei
fermioni che, per convenienza prenderemo qui a massa nulla. Ricordiamo anche che le regole per il passaggio dallo
spazio di Minkowski allo spazio euclideo sono, per un quadrivettore
e per la matrici γ
v 0 → −iv 4 , v i → v i
γ0 → γ 4 , γ i → iγ i
(9.28)
(9.29)