Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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mentre il tensore Wµν è definito da L µν prot(pf , pi) = Tr[(ˆpf + M)O µ (ˆpi + M) Ōν ] (2.20) con Ōν = γ0O ν† γ0. La sezione d’urto differenziale risulta data da (Ei, Ef sono le energie iniziali e finali degli elettroni) dσ = |M|2 4MEi d 3 kf (2π) 3 2Ef d 3 pf (2π) 3 2p 0 f Integrando sugli impulsi finali si ha il risultato (ν = pi · q/M): (2π) 4 δ 4 (pf + kf − pi − ki) (2.21) dσ α = dΩdEf Lab 2 4E2 i sin4 cos (θ/2) 2 (θ/2) − q2 2M sin2 (θ/2) δ(ν + q2 ) (2.22) 2M Abbiamo visto per descrivere lo scattering elastico di elettroni su protoni non puntiformi è possibile generalizzare quanto fatto nel caso puntiforme semplicemente scrivendo l’espressione più generale per la corrente del protone (cioè per una particella di spin 1/2). In questo modo la sezione d’urto viene parametrizzata in termini di due fattori di forma funzioni del quadrato del quadrimpulso trasferito dal fotone. Nel caso che ci interessa adesso, cioè il processo ep → eX con X un arbitrario stato adronico, la precedente generalizzazione della corrente non è fattibile. Infatti in maniera astratta l’oggetto di interesse è l’elemento di matrice 12 〈X|j em µ |pi〉 (2.23) dove l’operatore di corrente elettromagnetica deve essere pensato come un operatore che agisce nello spazio di Hilbert relativo a tutte le particelle considerate. Il problema si semplifica molto se però consideriamo la sezione d’urto ottenuta sommando su tutti i possibili stati finali compatibili con la conservazione dell’impulso e dell’energia. Per capire come si procede a questa generalizzazione consideriamo la sezione d’urto differenziale puntiforme dσ = |M|2 4MEi d 3 kf (2π) 3 2Ef (2π) 3 2p 0 f d 3 pf (2π) 3 2p 0 f (2π) 4 δ 4 (pf + kf − pi − ki) (2.24) Usando la (2.18) la possiamo riscrivere nella seguente forma dσ = 1 d 4MEi 3kf (2π) 32Ef d3pf 4 e q4 1 2 Lel 1 µν 2 Lµν (2π) 4 δ 4 (pf − pi − q) (2.25) con q = ki − kf . Possiamo identificare l’espressione per la corrente elettromagnetica di una particella puntiforme di spin 1/2 con l’elemento di matrice dell’operatore di corrente elettromagnetica nello spazio a molte particelle e riscrivere il tensore Lµν per una particella puntiforme nella forma simbolica e la sezione d’urto come con dσ dΩdEf = 1 2 Lµν = 1 2 1 = 1 2 E 2 f 4MEi 2Ef si,sf 〈pf , sf |j em µ (0)|pi, si〉〈pf , sf |j em ν (0)|pi, si〉 ⋆ = 〈pf , sf |j em si,sf = α2 q4 Ef 1 Ei 2 Lel µνW µν Wµν = 1 1 4πM 2 si,sf 1 (2π) 3 16π2α2 q4 1 2 Lel µν d 3 pf (2π) 3 2p 0 f µ (0)|pi, si〉〈pi, si|j em ν 〈pf , sf |j em d 3 pf (2π) 3 2p 0 f † (0)|pf , sf 〉 (2.26) 1 2 Lµν prot(2π) 4 δ 4 (pf − pi − q) = µ (0)|pi, si〉〈pi, si|j em ν † (0)|pf , sf 〉 (2.27) × (2π) 4 δ 4 (pf − pi − q) (2.28)
Le espressioni cosi scritte sono ovviamente valide sia nel caso di un protone puntiforme che di un protone esteso, purché l’elemento di matrice della corrente sia identificato in un caso con ūf γµui e nell’altro con ūf Oµui. Con questa forma di scrittura risulta però chiaro anche come estendere il formalismo per trattare lo scattering anelastico. Dovremo sostituire lo stato finale di protone con il generico stato adronico |X〉, sommare su tutti i possibili stati finali ed integrare su tutti gli impulsi finali. Dovremo cioè scrivere il tensore Wµν nella forma Wµν = 1 4πM N 1 2 N si d 3 pn (2π) n=1 32p0 n × 〈pi, si|j em† ν (0)|p1, · · · , pN, X〉(2π) 4 δ 4 〈p1, · · · , pN, X|j em µ (0)|pi, si〉 N n=1 pn − pi − q) dove la somma su N include la somma sul numero di adroni finali nonché sui loro numeri quantici quali spin, ecc. Dato che questo tensore è mediato sugli spin iniziali e sommato su tutti i possibili stati finali, non può dipendere altro che dall’impulso inziale del protone e dall’impulso trasferito q. Inoltre la corrente elettromagnetica è hermitiana e conservata. Segue dunque (anche osservando che nella sezione d’urto differenziale Wµν compare saturato con un tensore simmetrico) e 13 (2.29) Wµν(pi, q) = Wνµ(pi, q) (2.30) q µ Wµν = q ν Wµν = 0 (2.31) Che la forma della conservazione della corrente assuma questa forma l’abbiamo già visto per la corrente di Dirac, ma è in realtà una proprietà generale. Infatti se consideriamo l’elemento di matrice dell’operatore di corrente tra autostati dell’impulso ed usiamo il fatto che detto U = e iP · x con Pµ l’operatore di quadrimpulso, si ha dato che U è l’operatore di traslazione. Segue allora j em µ (x) = Uj em µ (0)U −1 (2.32) ∂ µ 〈p ′ |j em µ (x)|p〉 = ∂ µ 〈p ′ |Uj em µ (0)U −1 |p〉 = ie i(p′ − p)x i(p ′ − p)µ〈p ′ |j em µ (0)|p〉 (2.33) Possiamo scrivere l’espressione più generale per il tensore Wµν Wµν(pi, q) = −W1gµν + W2 M 2 piµpiν + W4 M 2 qµqν + W5 M 2 (piµqν + piνqµ) (2.34) La notazione W3 è riservata per il caso dello scattering νp → eX, che anche è stato molto studiato, in cui il tensore Wµν non è simmetrico ed inoltre si può avere violazione di parità. Se adesso imponiamo la conservazione della corrente si trovano le due equazioni che hanno per soluzione 0 = q µ Wµν = −W1qν + W2 M 2 (q · pi)piν + W4 M 2 q2 qν + W5 M 2 ((pi · q)qν + q 2 piν) (2.35) −W1 + W4 M 2 q2 + W5 M 2 (pi · q) = 0 W2 M 2 (pi · q) + W5 M 2 q2 = 0 (2.36) W5 = − (pi · q) q2 W2 2 M W4 = q2 W1 + (pi · q) 2 q2 W2 M 2 Si vede allora facilmente che il tensore Wµν si può riscrivere nella forma Wµν = W1 −gµν + qµqν q2 + W2 M 2 piµ − (pi · q) q2 qµ piν − (pi · q) q2 qν (2.37) (2.38)
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L L R R L C C R rotazione left rot
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I campi φ e θ possono essere desc
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