Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

si ottiene infine
〈cos θ〉 = d
e
log
dx
x − e−x
= L(x) (4.7)
x
da cui la (4.1). È interessante studiare il comportamento della funzione di Langevin per µH ≪ kT , cioè per x ≪ 1
e
cioè
coth x = ex + e−x ex 1
− e−x ≈
x
L(x) ≈ 1 x3
x −
3 45
1 x3
+ x −
3 45
42
(4.8)
(4.9)
M ≈ Nµ2
H (4.10)
3kT
Vediamo cosi che M decresce con l’aumentare di T , in accordo con i fatti sperimentali.
L’esistenza della temperatura di Curie fu spiegata nel 1906 da Weiss che introdusse il concetto fondamentale di
campo medio. L’idea di Weiss era che ogni singolo magnete fosse soggetto sia al campo esterno che al campo HM
dovuto a tutti gli altri magneti. Weiss suppose inoltre che HM fosse proporzionale alla magnetizzazione stessa
HM = KM (4.11)
L’equazione (4.1) che determina la magnetizzazione diviene ora una relazione di autoconsistenza
µ(H + KM)
M = Nµ L
kT
Se per H = 0 poniamo
si ottiene la condizione
Per piccoli valori di x, si ottiene dall’espansione 4.8)
x = M KNµ2
, y =
Nµ kT
(4.12)
(4.13)
x = L(xy) (4.14)
x = xy
3 − x3y3 45
Vediamo che per y ≤ 3 questa equazione ha soluzione solo a x = 0, mentre per y > 3, dato che
(4.15)
lim L(x) = 1 (4.16)
x→∞
si deve avere una soluzione per x = 0. Il grafico di L(xy) in funzione di x, per vari valori di y, è illustrato in Fig. 31.
Pertanto, il punto critico al di sopra del quale si ha una magnetizzazione spontanea è y = 3, cioè
Tc = KNµ2
3k
Usando ancora l’espansione della funzione di Langevin possiamo calcolare la suscettività.
temperatura critica (per cui x ≈ 0) e per piccoli valori del campo magnetico
Infatti, vicino alla
µ(H + KM)
L
≈
kT
µ
(H + KM)
3kT
(4.18)
(4.17)