Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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E. Il loop di Wilson e confinamento La proprietà di confinamento non è stata dimostrata in modo rigoroso in QCD, però nell’ambito delle teorie di gauge sul reticolo ne possiamo dare una giustificazione, almeno considerando una teoria di pura gauge o, in altri termini, considerando fermioni molto pesanti. Quello che possiamo dire in generale è che se il potenziale tra due quark è almeno lineare V (r) ≈ σr (9.48) dove σ è detta la tensione di stringa, allora i quark non si possono separare. Infatti, se proviamo a separarli la forza cresce in modo da impedire la separazione o, comunque, la stringa tra i quark si spezza originando due nuove stringhe. Se viceversa il potenziale asintoticamente decresce o va a costante, allora allora non si può avere confinamento. Si può stabilire un criterio per il confinamento facendo uso del loop di Wilson. Consideriamo un cammino sul reticolo che parta dal sito n e che poi si evolva di un numero di passi pari alla grandezza della cella in varie direzioni. Possiamo caratterizzare questo cammino C nel seguente modo: C = {n; ˆµ1, · · · , ˆµn} (9.49) A questo cammino possiamo associare il fattore di fase (omettendo la spaziatura del reticolo a) U(C) = U(n + ˆµ1 + · · · , ˆµn, n + ˆµ1 + · · · , ˆµn−1)U(n + ˆµ1 + · · · , ˆµn−1, n + ˆµ1 + · · · , ˆµn−2) Nel caso di un contorno chiuso avremo · · · U(x + ˆµ1 + ˆµ2, n + ˆµ1)U(n + ˆµ1, n) (9.50) ˆµ1 + · · · ˆµn = 0 (9.51) Se prendiamo la traccia della corrispondente espressione avremo una quantità gauge invariante. Saremo inoltre interessati al valore di aspettazione di questa quantità che prende il nome di loop di Wilson W (C) = 〈TrU(C)〉 (9.52) Un ruolo importante hanno i loop di Wilson associati a percorsi rettangolari come rappresentati in Fig 47. Infatti (R,0) (R,T) (0,0) Figura 47 Un loop rettangolare di dimensioni R × T faremo vedere che questa media per T ≫ R è correlata all’energia di interazione tra quark statici (infinitamente pesanti), che siano separati da distanza R. Precisamente si ha (0,T) W (R × T ) ≈ e −E0(R)T , T ≫ R (9.53) Per dimostrare questa equazione consideriamo la gauge con A4 = 0 (gauge assiale). In questo caso contribuiscono al loop di Wilson solo gli integrali fatti lungo le linee verticali del rettangolo di Fig. 47. Indichiamo con Ψij il contributo al loop di Wilson lungo le linee verticali: Ψij(t) = Pe i R 0 dx1A1(x1,···,t) 88 (9.54)
dove il simbolo P indicato l’integrale P-ordinato 9 lungo la direzione con estremi (0, · · · , t) e (R, · · · , t). Allora si ha chiaramente Inserendo un set completo di stati intermedi segue W (R × T ) = Prendendo il limite per grandi valori di T segue n W (R × T ) = 〈TrΨ(0)Ψ(T )〉 (9.55) 〈Ψij(0)|n〉〈n|ψ † ji 〉 = 〈Ψij(0)|n〉 2 n e −EnT 89 (9.56) W (R × T ) → e −E0T , perT → ∞ (9.57) La ragione per cui E0 è l’energia di interazione tra due quark statici a distanza R la si può capire per una teoria abeliana. La corrente di una carica puntiforme classica che percorra un cammino C è data da J µ (x) = e dz µ δ 4 (z − x) (9.58) dove la traiettoria è descritta da zµ. ˙ Quindi si ha d 4 xJ µ (x)Aµ(x) = e dx µ Aµ(x) (9.59) Ma d 4 xJ µ (x)Aµ(x) descrive proprio la variazione dell’energia dovuta all’interazione della particella con il campo. Nel caso in esame il cammino C corrisponde ad una carica statica in x 1 = 0 al tempo t = 0 che si evolve sino a t = T rimanendo nella stessa posizione. Analogamente l’altro integrale descrive una particella che si muove indietro nel tempo (quindi una antiparticella) ma rimanendo fissa ad R. Pertanto la variazione di energia corrisponde all’energia di interazione tra particella ed antiparticella statiche, in altri termini al potenziale coulombiano. Analogamente, nel caso non-abeliano, il loop di Wilson descrive l’energia di interazione tra due quark statici. F. L’espansione per accoppiamenti forti Cominciamo con l’osservare che il funzionale generatore di una teoria di gauge sul reticolo (consideriamo solo i campi di gauge perchádesso ci interessa trattare quark pesanti) è dato da Z = dU(n, n + ˆµ)e −S(U)/2g2 (9.60) n,ˆµ e quindi il loop di Wilson si può calcolare come W (C) = 〈TrU(C)〉 = Z −1 dU(n, n + ˆµ)e −S(U)/2g2 TrU(C) (9.61) n,ˆµ L’integrazione funzionale è fatta su tutti i possibili link. Vogliamo adesso calcolare il loop effettuando una espansione per g 2 → ∞. Dobbiamo prima di tutto chiederci come sia fatta la misura di integrazione sulle variabili di link che hanno valori in un gruppo di Lie. Al fine di preservare l’invarianza di gauge sul reticolo, dovremo richiedere oltre all’invarianza dell’azione anche l’invarianza della misura. Dovremo quindi richiedere dU = d(ΩU) = d(UΩ ′ ) (9.62) Una misura a valori in un gruppo con questa proprietà si chiama misura di Haar. Possiamo vedere un esempio esplicito nel caso di SU(2). Parametrizziamo il generico elemento del gruppo nella forma U = e ir·σ 9 Il cammino P-ordinato è l’analogo del’usuale cammino T-ordinato (9.63)
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Le espressioni cosi scritte sono ov
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adronici finali ma ci si disinteres
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di distribuzione del partone, che d
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in cui le masse dei quark u, d, s n
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Dato che in questa trasformazione A
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Figura 22 Scattering Rutherford e p
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