Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

Ma la relazione per l’impulso totale del protone da
e quindi
ɛu + ɛd = 1 − ɛg
24
(2.92)
ɛg = 0.46 (2.93)
Dunque circa il 50% dell’impulso totale del protone è dovuto a particelle neutre, ai gluoni. Questo tipo di particelle
è una predizione di QCD.
III. CROMODINAMICA QUANTISTICA (QCD)
Nelle Sezioni precedenti abbiamo visto che la rappresentazione che ci siamo fatti del protone come costituito da
particelle cariche puntiformi, identificate come quark, è ben suffragata dai dati sperimentali. Abbiamo anche mostrato
che devono però esistere anche degli oggetti neutri all’interno del nucleone, i gluoni. Nel modello a quark avevamo
mostrato l’esigenza di un nuovo grado di libertà, il colore. All’inizio degli anni 70 cominciarono ad affermarsi le
teorie di Yang e Mills per la descrizione delle interazioni deboli. Apparve allora naturale cercare di applicare queste
idee anche alle interazioni forti. Le teorie di Yang-Mills sono una generalizzazione della teoria elettromagnetica nel
seguente senso. Si è visto che l’elettromagnetismo descrive particelle cariche in interazione con il potenziale di gauge
Aµ(x). La forma di questa interazione risulta dettata dall’invarianza di gauge, cioè dall’invarianza della teoria rispetto
alle seguenti trasformazioni combinate agenti sulla funzione d’onda della particella carica e sul potenziale e.m.
φ(x) → φ ′ (x) = e iα(x) φ(x), Aµ(x) → Aµ(x) − 1
q ∂µα (3.1)
Questa invarianza si impone, partendo da una lagrangiana invariante sotto la trasformazione globale, cioè con α
indipendente da x ed effettuando poi la sostituzione minimale
∂µ → ∂µ + iqAµ
Nella discussione del modello a quark abbiamo mostrato come si possano avere delle situazioni in cui si hanno
simmetrie interne, cioè simmetrie sotto trasformazioni che non coinvolgono né lo spazio né il tempo. Per esempio
l’isospin per il nucleone o la simmetria SU(3) di Gell-Mann e Néeman per i quark u, d, s. In questi casi le funzioni
d’onda sone delle quantità complicate che oltre ad avere indici di spin hanno anche indici corrispondenti ad ulteriori
numeri quantici. Per esempio, i quark u, d, s colorati sono descritti da una funzione d’onda a 36 componenti complesse
(3.2)
ψα,a,i(x), α = 1, · · · , 4, a = u, d, s, i = R, W, B (3.3)
dove α è l’indice spinoriale di Dirac, a corrisponde alla scelta tra i tre quark u, d, s, o come si dice alla scelta dei
flavors (sapori), mentre i sceglie il colore. Il primo indice è legato alla simmetria spazio-temporale di Lorentz, mentre
gli altri due sono legati a simmetrie interne. Ovviamente simmetria significa che effettuando una data trasformazione
sulla funzione d’onda, l’equazione da questa soddisfatta non cambia. Nel caso che stiamo considerando, limitandosi
alle simmetrie interne, si possono fare delle trasformazioni sull’indice a con matrici di SU(3)
oppure delle trasformazioni agenti su i
ψα,a,i(x) → Vabψα,a,i(x), V ∈ SU(3) (3.4)
ψα,a,i(x) → Uijψα,a,i(x), U ∈ SU(3) (3.5)
dove U è ancora una matrice di SU(3). Questo SU(3) deve però essere pensato distinto dall’altro, ed a questo scopo
lo denoteremo con SU(3)c. Si può anche fare una trasformazione combinata, detta di SU(3) ⊗ SU(3)c in quanto le
due trasformazioni agiscono in modo indipendente
ψα,a,i(x) → VabUijψα,a,i(x) (3.6)
Le due trasformazioni sono su basi completamente diverse. Le trasformazioni di tipo V non sono simmetrie delle
equazioni del moto. Infatti queste contengono dei termini che non sono invarianti. Sappiamo per esempio, che le
masse dei barioni all’interno dell’ottetto o del decupletto non sono uguali. Consideriamo come illustrazione il caso