Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

dove δ è un cutoff on vF l e
ρ = 2
d 2 k
(2π) 3
1
vF ( k)
è la densità degli stati sulla superficie di Fermi for i due fermioni accoppiati. Nel caso di una superficie sferica
con l’impulso di Fermi definito come
Sommando la serie di grafici rappresentati in Fig. 53
Figura 53 La serie di grafici che contribuisce all’equazione (10.52).
si ottiene
Questo mostra che nel limite E → 0 si ha:
G(E) ≈
99
(10.49)
ρ = p2F π2 , (10.50)
vF
ɛ(pF ) = ɛF = µ (10.51)
......
G
1 + ρG
2 log(δ/E)
• G > 0 (interazione repulsiva), G(E) diventa più piccolo (interazione irrilevante)
• G < 0 (interazione attrattiva), G(E) diventa più grande (interazione rilevante)
(10.52)
Questi andamenti sono rappresentati in Fig. 54. Il fatto che una interazione attrattiva a 4 fermioni esploda quando
E → EF è indice di una instabilità della teoria. La situazione è esattamente quella di una teoria delle perturbazioni
degenere, in cui occorre scegliere a priori lo stato imperturbato in maniera corretta prima di calcolare l’effetto della
perturbazione. In questo caso ci aspettiamo dunque un riarrangemento dello stato fondamentale. Questo effetto porta
alla formazione delle coppie di Cooper che creano uno stato fondamentale diverso da quello originale. In pratica quello
che succede è che nello stato fondamentale un condensato a due fermioni acquista un valore di aspettazione diverso
da zero, producendo una rottura spontanea del numero di fermioni
〈ψσ(p)ψ−σ(−p)〉 (10.53)
In termini di questa rottura spontanea si possono facilmente spiegare tutte le caratteristiche della superconduttività
ma non affronteremo questo argomento in generale, ci limiteremo a considerare un modellino particolarmente semplice.
D. Un modello giocattolo
Abbiamo visto che la fisica alla superficie di Fermi è relativamente semplice dato che esiste una unica interazione
rilevante. Abbiamo visto che questa interazione può potenzialmente produrre un riarrangiamento del vuoto. Vorremmo
però capire questo punto più in dettaglio ed a questo scopo faremo uso di un modello semplicissimo con due
soli oscillatori di Fermi che possiamo penasare corrispondere a spin up e spin don. Trascuriamo cioè la dipendenza