Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

che il potenziale Aµ non si trasforma solamente con il pezzo inomogeneo nel gradiente delle fasi, ma anche con un
termine omogeneo che è assente nel caso elettromagnetico. A sua volta questo è dovuto al fatto che la simmetria di
fase del caso elettromagnetica è una simmetria abeliana. Cioè due trasformazioni di fase commutano
e iα(x) e iβ(x) = e iβ(x) e iα(x)
mentre nel caso di simmetria non abelianale trasformazioni non comutano
28
(3.40)
e iαA (x)TA e iβ A (x)TA = e iβ A (x)TA e iα A (x)TA (3.41)
La conseguenza è che i potenziali appartengono ad una rappresentazione non banale del gruppo di gauge. Nel caso di
SU(2) i potenziali appartengono ad una rappresentazione di spin 1. Poiché l’argomento della sostituzione minimale si
applica ad ogni derivata applicata ad una funzione d’onda che si trasformi in modo non banale sotto il gruppo, segue
che anche in Fµν si devono introdurre derivate covarianti. Queste generano appunto i termini bilineari che abbiamo
calcolato per altra via. Vedremo dopo che la presenza di questi termini, detti non abeliani, ha profonde conseguenze
fisiche. Espresso con un linguaggio più fisico, il fatto che i potenziali abbiano un termine omogeneo di trasformazione
li rende simili ad una generica funzione d’onda, cioè anch’essi rappresentano funzioni d’onda che portano la carica del
gruppo. Poichè i campi di gauge si accoppiano a qualunque cosa carica, segue che si devono autoaccoppiare.
Vediamo adesso come si modificano le regole di Feynman considerando, ad esempio, un fermione accoppiato ad un
campo di gauge non abeliano. Come illustrazione consideriamo un doppietto di isospin (per esemplificare consideriamo
questa simmetria come se fosse esatta), per esempio i quark u e d. La funzione d’onda avrà anche un indice di isospin
ψαa =
La lagrangiana che descrive le equazioni del moto dei fermioni sarà
e la corrispondente equazione del moto
uα
dα
, a = 1, 2 (3.42)
¯ψ[i ˆ D − m]ψ = ¯ ψ[i ˆ ∂ − g Aµγ µ · τ
− m]ψ (3.43)
2
(i ˆ ∂ − m)ψ = g Aµγµ · τ
ψ (3.44)
2
Le soluzioni dell’equazione d’onda libera nello spazio degli impulsi sono del tipo uα(p)χa, con
χ1 =
1
0
, χ2 =
0
1
Quindi χ1 descrive il quark up, mentre χ2 il quark down. Per il vertice avremo un fattore −igγµτ/2 e quindi per il
grafico elementare di Fig. 18 si ottiene
(3.45)
ū(pf )(−igγµ)u(pi)χ † τ
f 2 χi · ɛ a ɛ λ µ(k) (3.46)
con χf,i che descrivono gli stati di isospin finali ed iniziali, ɛ λ µ è il vettore di polarizzazione per una particella vettoriale
a massa nulla, e ɛ a è una base di vettori tridimensionali che seleziona la componente del campo Aµ. In modo analogo
le interazioni trilineari e quadrilineari dei campi Aµ danno luogo ai vertici raffigurati nelle Figure 19 e 20 , per i quali
non scriveremo però le espressioni analitiche. Le precedenti considerazioni si estendono in maniera banale ai casi
più complicati ed in particolare al caso della simmetria di colore SU(3)c che viene cosi promossa ad una simmetria di
gauge. Le differenze sono nella forma dei generatori del gruppo che adesso saranno matrici 3 × 3 operanti nello spazio
degli spinori a tre componenti χa, a = R, W, B, con
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
⎢ ⎥
χR = ⎣ 0 ⎦ ,
0
⎢ ⎥
χW = ⎣ 1 ⎦ ,
0
⎢ ⎥
χB = ⎣ 0 ⎦ (3.47)
0
0
1
I potenziali sono in numero pari ai generatori, cioè al numero di parametri del gruppo, che come visto prima è n2 − 1
per SU(n), e dunque 8 nel caso in esame. Il termine di accoppiamento tra fermioni e campi di gauge sarà dunque
¯ψai
µ C
−igγ Aµ (TC)ij ψaj
(3.48)