Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

C. Le frequenze di Matsubara
Prima di cominciare a calcolare la funzione di Green, cosa che faremo nello spazio degli impulsi, notiamo che come
per le funzioni a temperatura zero questa dipende solo dalla differenza τ − τ ′ e che
Si ha poi per τ > 0
Gβ(0, τ) = Z −1
(β)Tr
= ±Z −1 (β)Tr
e −βH Pτ
−β ≤ τ − τ ′ ≤ β (7.30)
φH(0)φ †
φH(0)e −βH φ †
H (τ)
H (τ)
= ±Z −1
(β)Tr e −βH φ †
H (τ)φH(0)
=
= ±Z −1
(β)Tr
=
e −βH φH(β)φ †
H (τ)
± = Gβ(β, τ) (7.31)
Dunque, tenendo conto che la funzione di Green dipende solo dalla differenza degli argomenti
od anche
Gβ(−τ) = ±Gβ(β − τ) (7.32)
Gβ(τ) = ±Gβ(τ + β), τ < 0 (7.33)
Poiché la funzione di Green a due punti è definita su un intervallo finito la sua trasformata di Fourier coinvolge solo
frequenze discrete. Quindi
con
Gβ(τ) = 1
β
72
e −iωnτ
Gβ(ωn) (7.34)
n
Gβ(ωn) = 1
+β
dτ e
2 −β
iωnτ
Gβ(τ) (7.35)
La condizione di (anti) periodicità per (fermioni) bosoni implica per ωn l’espressione
⎧
⎪⎨
2nπ
, per bosoni
β
ωn =
⎪⎩
(2n + 1)π
, per fermioni
β
Infatti possiamo scrivere
Gβ(ωn) = 1
0
dτ e
2 −β
iωnτ
Gβ(τ) + 1
+β
dτ e
2 0
iωnτ
Gβ(τ)
= ± 1
0
dτ e
2 −β
iωnτ
Gβ(τ + β) + 1
+β
dτ e
2 0
iωnτ
Gβ(τ)
= ± 1
β
dτ e
2
iωn(τ−β)
Gβ(τ) + 1
+β
dτ e
2
iωnτ
Gβ(τ)
= 1
2
0
−iωnβ
1 ± e +β
0
0
(7.36)
dτ e iωnτ Gβ(τ) (7.37)
Vediamo che per i bosoni Gβ(ωn) è nulla quando n è dispari, mentre per i fermioni è zero per n pari. Le frequenze ωn
sono dette frequenze di Matsubara.
Per quanto concerne le coordinate spaziali, tutto funziona come nel caso di temperatura zero e quindi potremo
scrivere (ricordiamo che a T = 0 si inserisce un segno neno tra il propagatore bosonico e la sua trasformata di Fourier)
Gβ(x, τ) = − 1
β
n
d 3 k
(2π) 3 e−i(ωnτ− k·x) Gn( k, ωn) (7.38)