Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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Consideriamo ora il termine di massa. Si ha Per il termine cinetico si ha m ¯ ψψ = m ¯ ψ P 2 L + P 2 R ψ = m ¯ψLψR + ¯ ψRψL ¯ψ∂/ψ = ¯ ψ P 2 R + P 2 L ∂/ψ = ψR∂/ψR ¯ + ¯ ψL∂/ψL dove si è usato l’anticommutatività di γµ con γ5. Quindi a massa zero la teoria è invariante per trasformazioni unitarie separate per i campi ψL ed i campi ψR Invece il termine di massa si trasforma come 76 (8.6) (8.7) ψL → LψL, ψR → RψR, L, R ∈ U(2) (8.8) ¯ψRψL → ¯ ψRR † LψL ed è invariante solo sotto trasformazioni con L = R cioè sotto il gruppo U(2) diagonale. Queste conclusioni valgono anche in QCD dato che l’unica cosa importante in queste considerazioni è la struttura di matrici γ di Dirac e non cè differenza tra ¯ ψ∂/ψ e ¯ ψD/ ψ. Considereremo nel seguito solo la parte SU(2)L ⊗ SU(2)R. Per quanto concerne le parti U(1)R e U(1)L, la loro combinazione diagonale è correlata alla conservazione del numero barionico, mentre l’altra combinazione è rotta a causa di correzioni quantistiche. Come abbiamo detto il termine di massa rompe questa simmetria, anche se la correzione è piccola. Quindi ci aspetteremmo che nello spettro degli stati legati, mesoni e barioni, ci fosse un riflesso di questa simmetria. Questo implicherebbe che ci fossero dei multipletti di stati legati con una data parità assieme ad altri multipletti di parità opposta 6 . Dato che in natura non c’e’ traccia di questa simmetria simmetria chirale, si assume che essa sia rotta spontaneamente. L’ipotesi è che la rottura avvenga tramite la formazione di un valore di aspettazione nel vuoto di un bilineare nei campi fermionici (condensato) (8.9) 〈0| ¯ ψψ|0〉 = 〈0|( ¯ ψRψL + ¯ ψLψR)|0〉 = 0 (8.10) Chiaramente sotto SU(2)L ⊗ SU(2)R il condensato non è invariante, ma se ci limitiamo a trasformazioni con L = R allora esso è invariante. Pertanto in questa situazione si ha una rottura della simmetria SU(2)L ⊗ SU(2)R → SU(2) (8.11) Ci aspettiamo dunque la presenza di tre bosoni di Goldstone. Ovviamente, dato che la simmetria chirale è rotta esplicitamente dai termini di massa, ci aspettiamo che i bosoni di Goldstone acquistino essi stessi una piccola massa. In questo modo si può spiegare perché i pioni abbiano una massa relativamente piccola ≈ 130 MeV rispetto alla scala degli altri stati legati come i mesoni K o i barioni. In questa versione ristretta di QCD, la lagrangiana effettiva di bassa energia è quella che abbiamo già visto precedentemente L = f 2 π 4 Tr ∂µU † ∂ µ U A questo possiamo aggiungere un termine di massa per i pioni (che rompe la simmetria chirale alla simmetria diagonale) del tipo All’ordine più basso questo è proporzionale a (8.12) BTr[U] (8.13) B 4f 2 π ma nel seguito considereremo il caso semplificato di masse nulle. In questa sezione siamo interessati a capire il modo in cui si passa dalla fase di simmetria chirale rotta a quella in cui è ripristinata. Il motivo per cui ci aspettiamo una transizione è ancora il fatto che ad alte energie la QCD è debolmente accoppiata e quindi non ci aspettiamo più formazione di stati legati. Per esempio i pioni si dovrebbero dissociare. È 6 Notiamo che l’operazione di parità, proporzionale a γ0, trasforma i proiettori di chiralità PL in chiralità PR π 2 (8.14)
ovvio che l’assenza dei bosoni di Goldstone è un indice della restaurazione della simmetria chirale. Esistono molti modi di testare questo tipo di transizione. Per esempio si può considerare un sistema adronico a temperatura finita. In altri termine si può fare una termodinamica di equilibrio con un bagno termico di stati adronici. Sperimentalmente questa situazione si può parzialmente realizzare negli urti ad alta energia tra ioni pesanti in cui si può formare un insieme statistico a temperatura definita. Aumentare la temperatura del sistema è equivalente ad aumentarne l’energia, possiamo dunque aspettarci che anche aumentando la temperatura si possa avere la transizione. La materia adronica ordinaria, in questa rappresentazione, è considerata a T = 0. Un altro modo è quello di variare la densità del sistema. Un aumento di densità corrisponde a diminuire la distanza media tra i quark e, come sappiamo, questo corrisponde ad un aumento in energia. Variazioni di densità si realizzano in urti tra ioni pesanti in cui la densità del sistema aumenta al momento dell’urto. Variazioni di densità importanti si trovano nelle stelle a neutroni, in cui la densità al centro della stella può raggiungere valori pari a 5-6 volte la densità nucleare (≈ .15 × 10 15 gr/cm 3 ). Per questo motivo è stato ed è di grande interesse il diagramma di fase di QCD in temperatura e densità, o equivalentemente in potenziale chimico. Purtroppo non è possibile effettuare dei calcoli espliciti partendo dalla lagrangiana di QCD dato che siamo in un regime di interazioni forti. Calcoli sulla transizione sono stati fatti sia usando dei modelli approssimati di QCD che con metodi basati sul calcolo dell’integrale funzionale in cui si approssima il continuo spazio-temporale con un reticolo finito. I risultati che si ottengono sono estremamente interessanti, ma purtroppo non abbiamo qui lo spazio per dire qualcosa sui vari modelli. Possiamo solo dire che in alcuni casi si simula l’interazione con i gluoni tramite un accoppiamento tra quattro fermioni del tipo G Λ 2 ¯ ψγµT A ψ ¯ ψγ µ T A ψ (8.15) dove il fattore G/Λ 2 simula l’interazione gluonica. Λ −1 può essere pensata come la scala di confinamento e quindi l’approssimazione può essere ragionevole per E ≪ Λ, ma non è possibile una giustificazione rigorosa. Un’altra approssimazione usata è quella detta di ladder-QCD. In questa approssimazione si tiene conto di un numero infinito di diagrammi che però sono solo una parte dei possibili diagrammi. In particolare, si calcola il propagatore dei quark (vedi Fig. 38). Si parte dalla teoria a masse nulle e se c’e’ rottura della simmetria chirale questa è segnalata dalla generazione di un termine di massa dei quark. Nonostante le approssimazioni molto crude si trova, per quark senza ~ + + + ... Figura 38 La serie infinite di grafici che contribuiscono al propagatore dei quark nell’approssimazione di ladder-QCD massa, che a potenziale chimico nullo, cè una transizione di fase del secondo ordine in temperatura, mentre a T = 0 c’è una transizione del primo ordine nel potenziale chimico. Quindi ad un certo punto del diagramma di fase occorre che la transizione del primo ordine diventi del secondo ordine. Il punto di incontro tra una linea di transizione del secondo ordine e di una del primo prende il nome di punto tricritico, Tutti i calcoli approssimati che abbiamo elencato mostrano l’esistenza di questo punto. In Fig. 39 è mostrato, in maniera qualitativa, il diagramma di fase di QCD nel piano (µ, T ). Diremo qualcosa sul reticolo in seguito. Qui ci limiteremo a studiare la transizione tramite l’azione di bassa energia. Ovviamente questa è una notevole approssimazione ma, come vedremo, da risultati qualitativamente in accordo con altri approcci. Per semplicità studieremo esplicitamente cosa accade nel caso di due flavor, u e d a massa nulla. Dato che saremo interessati a studiare cosa accade attorno alla transizione di fase, considereremo il modello σ-lineare del caso SU(2) × SU(2) inserendo anche il campo ρ(x) che intorno alla transizione avrà massa piccola e quindi fa parte naturalmente dell’azione di bassa energia. Ricordiamo anche che l’effetto della temperatura è di aggiungere un termine quadratico nei campi bosonici che riduce l’effetto del termine di massa negativo che induce la rottura spontanea. Considereremo dunque il modello σ-lineare sia a temperatura che a densità finite. A. Il modello σ-lineare a temperature e densità finite Riprendiamo la lagrangiana (5.83) L = 1 2 ∂µρ∂ µ ρ − 1 2 µ2 ρ 2 − 1 4 λρ4 + 1 4 ρ2 Tr ∂µU † ∂ µ U 77 (8.16)
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Figura 7 Il grafico di Feynman per
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Le espressioni cosi scritte sono ov
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adronici finali ma ci si disinteres
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