Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

• µ 2 > 0, si ha solo un minimo reale dato da φ = 0, poiché
∂2V = δlmµ
∂φl∂φm
2 > 0 (5.46)
• µ 2 < 0, ci sono infinite soluzioni tra cui φ = 0 è un massimo. I punti della sfera | φ| 2 = v 2 sono minimi degeneri.
Infatti, scegliendo φl = vδlN come un punto rappresentativo, si ha
∂2V = 2λv
∂φl∂φm
2 δlN δmN > 0 (5.47)
Consideriamo il secondo caso. Espandendo il potenziale attorno al minimo si ottiene
V (
φ) ≈ V +
minimum
1 ∂
2
2V
(φl − vδlN )(φm − vδmN) (5.48)
∂φl∂φm minimum
Se effettuiamo una espansione perturbativa, i campi da usare sono φl − vδlN , e la loro massa è data da
M 2 lm = ∂2V
= −2µ
∂φl∂φm minimo
2 ⎡
0 0 · 0
⎢ 0 0 · 0
δlN δmN = ⎢
⎣ · · · ·
0 0 · −2µ 2
⎤
⎥
⎦
Quindi le masse dei campi φa, a = 1, · · · , N − 1 e χ = φN − v, sono date da
Definendo
m 2 φa = 0, m2 χ = −2µ 2
m 2 = −2µ 2
possiamo scrivere il potenziale come funzione dei nuovi campi
V = − m4 1
+
16λ 2 m2χ 2
m2λ +
2 χ
N−1
a=1
φ 2 a + χ 2
+ λ
N−1
4
a=1
φ 2 a + χ 2
Come vediamo la simmetria originale O(N) è rotta. Sopravvive una simmetria residua O(N − 1). Infatti V dipende
solo dalla condizione N−1 a=1 φ2a ed è invariante sotto rotazioni attorno all’asse che abbiamo scelto per rappresentativo
per lo stato fondamentale (0, · · · , v). Si deve però osservare che il potenziale che abbiamo trovato non è il potenziale
più generale invariante sottoO(N − 1). Infatti il potenziale più generale (fino a termini del quarto ordine) che descrive
N campi scalari con simmetria O(N − 1) dipende da 7 accoppiamenti, mentre quello che abbiamo ottenuto dipende
da due soli parametri m e λ. Quindi la rottura spontanea della simmetria impone dei vincoli stringenti sulla dinamica
del sistema. Abbiamo anche visto che nella teoria ci sono N − 1 scalari a massa nulla. Chiaramente le rotazioni
attorno ai primi N − 1 assi lasciano il potenziale invariante. Invece le N − 1 rotazioni nei piani a − N portano fuori
dalla superficie dei minimi. Questo si può vedere in termini dei generatori. Una trasformazione di O(N) deve lasciare
invariata la norma di φ. Quindi per una trsformazione infinitesima
Questa condizione è soddisfatta se
2
59
(5.49)
(5.50)
(5.51)
(5.52)
φ ′ 2
i ≈ φ 2 i + 2φiδφi (5.53)
δφi = ɛijφj, ɛij = −ɛji (5.54)
Questa condizione ci dice appunto che i parametri della generica trasformazione di O(N) sono N(N − 1)/2. Per
trovare i generatori in questa base scriviamo la trasformazione nella forma
δφi = − i
2 ɛAB(T AB )ij
(5.55)