Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

La dimostrazione è semplice. Chiamando L(β) e R(β) i membri sinistro e destro dell’equazione si ha
Inoltre
e
dL(β)
dβ
dR(β)
dβ
L(0) = R(0) = 0 (5.101)
= −HL(β) − dH e−βH
= −HR(β) − dH e−βH
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(5.102)
(5.103)
Poiché sia L che R soddisfano la stessa equazione differenziale del primo ordine con la stessa condizione al contorno
coincidono. In particolare
Segue dalla (5.100) la seguente espressione
[A, e −βH ] = −e −βH
β
e
0
λH [A, H]e −λH dλ (5.104)
e βH d e −βH β
= − e
0
λH dH e −λH dλ (5.105)
Se H ùn elemento di un’algebra di Lie, dato che essa è chiusa sotto commutazione, e l’integrando si riconduce ad una
serie di commutatori multipli, segue che la parte destra dell’equazione sta nell’algebra di Lie e quindi anche la parte
sinistra.
Come abbiamo detto ω ∈ G e quindi la possiamo decomporre in una parte parallela ad H e nella parte ortogonale
che sta in G − H
dove
Possiamo ora calcolare come si trasforma ω sotto la trasformazione (5.96)
vale a dire
Ma
e quindi
e
ω(π) = ω (π) + ω⊥(π) (5.106)
ω α = 2Tr(ωSα ), ω a ⊥ = 2Tr(ωX a ) (5.107)
ω(π) → ω(π ′ ) = ξ −1 (π ′ )dξ(π ′ ) = (h(π, g)ξ −1 (π)g −1 )d(gξ(π)h −1 r(π, g)) =
= h(π, g)dh −1 (π, g) + h(π, g)ξ −1 (π)dξ(π)h −1 (π, g) (5.108)
ω(π ′ ) = h(π, g)ω(π)h −1 (π, g) + h(π, g)dh −1 (π, g) (5.109)
h(π, g)dh −1 (π, g) ∈ H (5.110)
ω (π) → ω (π ′ ) = h(π, g)ω (π)h −1 (π, g) + h(π, g)dh −1 (π, g) (5.111)
ω⊥(π) → ω⊥(π ′ ) = h(π, g)ω⊥(π)h −1 (π, g) (5.112)
Dunque ω⊥ si trasforma in modo omogeneo rispetto ad una trasformazione del gruppo e quindi si costruiscono
facilmente degli invarianti. Per esempio, ponendo
ω = ωµdx µ
(5.113)