Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

I campi φ e θ possono essere descritti anche in termini del determinante di X e Y
Le proprietà di trasformazione sotto G sono
dX = det(X) = e 6i(φ+θ) , dY = det(Y ) = e 6i(φ−θ) , (10.90)
ˆX → gc ˆ Xg T L, ˆ Y → gc ˆ Y g T R, φ → φ − α, θ → θ − β. (10.91)
La rottura della simmetria globale può anche essere discusso in termini dei seguenti campi gauge invarianti: dX, dY e
Σ i j =
( ˆ Y j α) ∗ Xˆ i
α → Σ = ˆ Y † X ˆ (10.92)
α
Il campo Σ descrive gli 8 bosoni di Goldstone corrispondenti alla rottura della simmetria chirale SU(3)L ⊗ SU(3)R,
come si vede subito dalle proprietà di trasformazione del campo Σ T ,
Σ T → gLΣ T g †
R
105
(10.93)
Dunque Σ T si trasforma come l’usuale campo chirale U. Gli altri due campi gauge invarianti dX e dY descrivono i
rimanenti bosoni di Goldstone associati alla rottura dei fattori U(1). La costruzione di una azione invariante richiede
un minimo di attenzione, perché una delle trasformazioni è locale. Da quanto abbiamo visto sulla forma di Maurer e
Cartan segue la convenienza di introdurre le seguenti combinazioni
con
J µ
X = ˆ XD µ ˆ X † = ˆ X(∂ µ ˆ X † + ˆ X † g µ ) = ˆ X∂ µ ˆ X † + g µ ,
J µ
Y = ˆ Y D µ ˆ Y † = ˆ Y (∂ µ ˆ Y † + ˆ Y † g µ ) = ˆ Y ∂ µ ˆ Y † + g µ
gµ = igsg a µT a
(10.94)
(10.95)
i campi dei gluoni e T a i generatori di SU(3)c. Questi operatori hanno proprietà di trasformazione semplici rispetto
al gruppo completo di simmetria G:
J µ
X,Y
→ gcJ µ
X,Y g† c
(10.96)
La lagrangiana più generale con al più due derivate, invariante sotto G, il gruppo delle rotazioni spaziali O(3)
(l’invarianza di Lorentz è rotta dal termine di potenziale chimico µ ¯ ψγ0ψ) e la parità definita come:
è data da
od anche
L = − F 2 T
4 Tr J 0 X − J 0 Y ) 2 − αT
JX
−
JY 2
+ F 2 S
4 Tr
P : ˆ X ↔ ˆ Y , φ → φ, θ → −θ, (10.97)
F 2 T
F
+ αS
2 S
4 Tr
L = − F 2 T
4 Tr
ˆX∂0 ˆ X † − ˆ Y ∂0 ˆ Y † ) 2
Xˆ ∇ X ˆ †
− Yˆ ∇ Y ˆ †
2
+ F 2 S
4 Tr
4 Tr J 0 X + J 0 Y ) 2 + 1
2 (∂0φ) 2 + 1 2
(∂0θ)
2
JX
+
JY 2
− v2 φ
2 | ∇φ| 2 − v2 θ
2 | ∇θ| 2
F
− αT
2 T
F
+ αS
2 S
4 Tr
+ 1
2 (∂0φ) 2 + 1
2 (∂0θ) 2 − v2 φ
2 | ∇φ| 2 − v2 θ
2 | ∇θ| 2
4 Tr
ˆX∂0 ˆ X † + ˆ Y ∂0 ˆ Y † + 2g0) 2
Xˆ ∇ X ˆ †
+ Yˆ ∇ Y ˆ †
+ 2g 2
(10.98)
Sfruttando l’invarianza di gauge possiamo fissare la gauge in cui ˆ X = ˆ Y † . In questo modo 8 bosoni di Goldastone
vengono eliminati dalla lagrangiana che adesso descrive 10 bosoni di Goldstone e 8 gluoni con massa. In questa gauge
i campi dei Goldstoni propriamente normalizzati sono dati da
ˆX = ˆ Y † = e iΠa T a /FT (10.99)