Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

Questa equazione è simile all’equazione che definisce la rappresentazione di interazione nelle teorie di campo a
temperatura zero. In altri termini la rappresentazione di interazione (modificata) è definita tramite
AI(τ) = e τH0 A ′ e −τH0 (7.19)
È opportuno notare che questa trasformazione non dà luogo ad un operatore unitario, a meno che τ sia immaginario
puro. Per questo il formalismo di Matsubara è anche detto a tempo immaginario. Dunque occorre prestare attenzione
alle proprietà di hermiticità degli operatori in questa rappresentazione.
L’equazione per S(β) può essere integrata formalmente per dare
S(β) = Pτ
e − β
0 dτH′
I (τ)
dove Pτ sta ad indicare che il cammino di integrazione va preso ordinato in τ. L’espressione è simile alla matrice S
usuale, ma qua l’integrazione è estesa su un intervallo finito e lungo l’asse dei tempi immaginari. Quindi possiamo
espandere l’esponenziale come nel caso ordinario e definire una serie perturbativa. Il teorema di Wick viene esteso
naturalmente a tempi immaginari. Inoltre, se definiamo ((τ, 0) fa riferimento all’intervallo di integrazione in eq.
(7.20))
Valgono chiaramente le proprietà
71
(7.20)
S(τ) = S(τ, 0) (7.21)
S −1 (τ) = S(0, τ), S(τ1, τ2)S(τ2, τ3) = S(τ1, τ3) τ1 > τ2 > τ3 (7.22)
La funzione di Green a due punti nella rappresentazione di Heisenberg è definita da
Gβ(τ, τ ′
) = 〈Pτ
〉β = Z −1 (β)Tr e −βH Pτ
Notiamo che
φH(τ)φ †
H (τ ′ )
φH(τ)φ †
H (τ ′ )
φH(τ) = e τH φe −τH , φ †
H (τ) = eτH φe −τH = (φH(τ)) †
Queste formule si applicano sia a campi di Bose che a campi di Fermi, con l’ovvia definzione dell’ ordinamento in τ
(7.23)
(7.24)
Pτ (φH(τ)φ †
H (τ ′ )) = θ(τ − τ ′ )φH(τ)φ †
H (τ ′ ) ± θ(τ ′ − τ)φ †
H (τ ′ )φH(τ) (7.25)
con il segno meno che si applica al caso dei fermioni. Possiamo anche mettere in relazione la rappresentazione di
Heisenberg con quella di interazione
AH(τ) = e τH Ae −τH = e τH e −τH0 AI(τ)e τH0 e −τH = S −1 (τ)AI(τ)S(τ) (7.26)
Adesso possiamo calcolare la funzione di Green in termini dei campi nella rappresentazione di interazione (0 ≤
τ, τ ′ ≤ β)
Gβ(τ, τ ′ ) = Tr e−βH Pτ (S −1 (τ)φI(τ)S(τ)S −1 (τ ′ )φ †
I (τ ′ )S(τ ′ ))
Tr e −βH
Dato che all’interno di Pτ l’ordinamento non conta si ha
Possiamo poi scrivere
Gβ(τ, τ ′ ) = Tr e−βH Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ ))
Tr e −βH
Gβ(τ, τ ′ ) = Tr e−βH0 S(β)Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ ))
Tr e −βH0S(β)
= 〈Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ )S(β))〉β,0
〈S(β)〉β.0
= Tr e−βH0Pτ (φI(τ)φ †
I (τ ′ )S(β))
Tr e−βH0S(β) =
L’indice 0 ricorda che le medie sono calcolate in un insieme non interagente. Il risultato ottenuto è identico a quello
a temperatura nulla.
(7.27)
(7.28)
(7.29)