Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

1. In una camera a bolle lo spessore di una traccia carica è proporzionale al quadrato della carica stessa. Quindi
confrontando tra loro le tracce cariche era possibile con una certa facilità distinguere una eventuale carica
frazionaria da una carica intera. Poiché non si aveva evidenza sperimentale non restava che concludere che
i quark non fossero prodotti alle energie disponibili. Si otteneva cosí un limite inferiore dell’ordine del GeV
sulla massa dei quark. Questo implicava una energia di legame molto grande per tre quark che costituivano un
protone anch’esso con massa dell’ordine del GeV .
2. La relazione spin-statistica. Nel 1934 Pauli aveva dimostrato il suo famoso teorema secondo il quale le particelle
di spin intero devono soddisfare la statistica di Bose-Einstein, e quelle di spin semintero la statistica di Fermi-
Dirac. Se adesso consideriamo il decupletto dei barioni, vediamo che le particelle Ω − , ∆ − e ∆ ++ sono costituite
da 3 quark identici, rispettivamente sss, ddd e uuu che inoltre devono essere nello stesso stato di spin al fine di
riprodurre lo spin 3/2 di queste particelle. Visto che in genere lo stato fondamentale si ha per funzioni d’onda
simmetriche nello scambio delle variabili di posizione, queste configurazioni risultavano proibite dal teorema
spin-statistica (dato che secondo il teorema i quark, avendo spin 1/2, dovevano essere fermioni). Ovviamente
si poteva pensare che lo stato fondamentale fosse descritto da funzioni d’onda antisimmetriche, ma era molto
difficile costruire dei potenziali di interazione realistici per giustificare questa assunzione. Tra le varie ipotesi
fatte ci fu anche quella che i quark fossero particelle speciali che obbedivano una parastatistica di ordine 3
invece che una statistica normale. In una parastatistica di ordine k, possono coesistere nello stesso stato sino
a k particelle, quindi la statistica di Fermi è di ordine 1, mentre quella di Bose è di ordine infinito. Ma questo
sembrava molto esotico e non facilmente riconducibile a principi primi.
Nel 1965 Han e Nambu trovarono una spiegazione che per certi versi va nella direzione di una parastatistica, ma in
termini molto più elementari. La loro spiegazione può essere illustrata nel modo seguente. Supponiamo di sapere che
l’elettrone obbedisce al principio di Pauli ma non sapere che ha spin 1/2. L’osservazione sperimentale ci dice però che
due elettroni possono coesistere nello stesso orbitale atomico con violazione apparente del teorema. Possiamo sí dire
che l’elettrone soddisfa una parastatistica di ordine 2, ma più semplicemente la soluzione sta nel fatto che l’elettrone
ha un ulteriore grado di libertà a due valori (lo spin) che permette giusto a due elettroni di stare nello stesso orbitale,
uno con spin up e l’altro con spin down. Seguendo questo argomento si può supporre che ogni quark esista in tre stati
possibili (stati di colore), che sono generalmente indicati con red, blue e white. Quindi la funzione d’onda dei quark
è del tipo
qα,a, α = u, d, s, a = R, W, B (1.33)
(oltre ad essere uno spinore di Dirac per ogni scelta degli indici α e a). Quindi l’Ω − ha una configurazione descritta
da una funzione d’onda completamente antisimmetrizzata nel colore
Ω − ≈ ɛabcsasbsc, a, b, c = R, W, B (1.34)
Abbiamo allora due distinti gruppi SU(3) che agiscono sui quark, uno detto di flavor che agisce sull’indice α e rimescola
tra loro i quark u, d, s (cioè i diversi flavor) a colore fissato. L’altro (indicato con SU(3)c) agisce invece sull’indice a
di colore a flavor fisso. Inoltre, mentre l’ SU(3) di flavor è una simmetria approssimata, si suppone che SU(3)c sia
invece una simmetria esatta di natura simile alla simmetria che dà luogo alla conservazione della carica elettrica (cioè
la simmetria di gauge). Han e Nambu postularono anche che i soli possibili stati fisici fossero neutri rispetto al colore,
cioè stati di singoletto (questa ipotesi è nota oggi come confinamento), come gli atomi sono ordinariamente neutri
rispetto alla carica elettrica. Ma mentre gli atomi si possono ionizzare, oggi si sospetta che stati liberi di quark (o più
in generale stati che non siano singoletti) non esistano in natura. Segue che gli stati osservabili sono fatti dalle solo
combinazioni di quark che producono singoletti di colore. Vediamo dalla (1.18) che questo è il caso per ¯qq e qqq. Il
problema che allora si poneva era la possibilità di avere un test sperimentale sull’ipotesi del colore. Un possibile modo
è nello studio del decadimento π 0 → 2γ. Questo è un decadimento elettromagnetico, che era già stato calcolato nel
modello di Fermi-Yang, usando il grafico di Feynman di Fig. 7 ed era stato trovato un risultato in accordo con i dati
sperimentali. Osserviamo che si hanno due contributi a questo grafico, uno quando circola un protone nel triangolo
ed uno quando circola il neutrone. Il risultato è proporzionale a
Q 2 (p) − Q 2 (n) (1.35)
dato che la funzione d’onda del π 0 è proporzionale a ¯pp − ¯nn. Questa differenza di quadrati vale 1 nel modello di
Fermi-Yang. Nel modello a quark si ha analogamente che la funzione d’onda del π 0 è data da ūu − ¯ dd e quindi
l’ampiezza è proporzionale a
Q 2 (u) − Q 2 (d) = 4 1 1
− =
9 9 3
8
(1.36)