Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

caso delle lega CuZn, nella fase ordinata, meno simmetrica, si hanno due sottoreticoli distinti, quello occupato dal
rame e quello occupato dallo zinco. Nella fase disordinata i due sottoreticoli diventano equivalenti e si acquista una
simmetria di permutazione tra i due. La classificazione di Landau delle transizioni di fase procede allora come segue:
1) Transizioni senza parametro d’ordine. Le simmetrie nelle varie fasi non sono incluse le une nelle altre. Queste
transizioni risultano sempre del 1 0 ordine nel senso di Ehrenfest.
2) Transizioni con parametro d’ordine. Il gruppo di simmetria della fase meno simmetrica è incluso nel gruppo della
fase più simmetrica. Se il parametro d’ordine è discontinuo alla transizione, la transizione è del 1 0 ordine, se continuo
la transizione è del 2 0 ordine.
Il grande progresso di Landau fu nel supporre che l’energia libera di Gibbs (che in realtà per Landau è piuttosto
un funzionale fenomenologico, più che la G) fosse una funzione analitica del parametro d’ordine in vicinanza della
transizione. Questa ipotesi permetteva il calcolo di certe quantità in vicinanza del punto critico. Per esempio era
possibile calcolare come il parametro d’ordine η si annullasse in vicinanza del punto critico
oppure come divergesse la suscettibilità magnetica
η ≈ (Tc − T ) 1
2 (4.38)
1
χ ≈
T − Tc
Più generalmente si definisce una serie di esponenti critici quali
calore specifico C ≈ (Tc − T ) −α′
T < Tc
C ≈ (T − Tc) −α T > Tc
parametro d ′ ordine η ≈ (Tc − T ) β T < Tc
suscettivita ′ χ ≈ (Tc − T ) −γ′
T < Tc
χ ≈ (T − Tc) −γ T > Tc
Nella teoria di Landau, come vedremo, si trova che indipendentemente dal numero di dimensioni dello spazio
Mentre in un modello risolubile, quale il modello di Ising in due dimensioni, si ha
46
(4.39)
(4.40)
α = α ′ = 0
β = 1
2
γ = γ ′ = 1 (4.41)
α = α ′ = 0, β = 1
8 , γ = γ′ = 7
4
e nel caso tridimensionale sono stati stimati i seguenti valori
α ′ ≈ 1 5
, β ≈
8 16 , γ′ ≈ 5
4
Questo significa che l’approccio di Landau non è corretto, ed infatti vedremo che l’origine dei problemi sta nel fatto
che la teoria di Landau ignora le fluttuazioni del parametro d’ordine. Questa approssimazione è corretta in un numero
di dimensioni maggiore di quattro, ma non per d ≤ 4. Più in generale, molte relazioni tra gli esponenti critici seguono
dall’ipotesi che l’energia libera, vicino alla transizione, abbia una forma del tipo
F (T, η) ≈ (T − Tc) 2−α
η
f
(T − Tc) β
(4.44)
Questa ipotesi non ha una dimostrazione rigorosa ma ha molte conferme sia teoriche che sperimentali. I lavori di
Kadanoff e Wilson conducono ad un tale risultato.
B. La teoria di Landau delle transizioni del secondo ordine
Come abbiamo mostrato negli esempi precedenti, nella teoria di campo medio per le transizioni del secondo ordine
si arriva ad equazioni di autoconsistenza del tipo
x = ax + bx 3
(4.42)
(4.43)
(4.45)