Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

Dato che in questa trasformazione Aµ acquista un termine lineare nei generatori di Lie G, vediamo che è consistente
assumere Aµ ∈ Lie G. Quindi potremo scrivere
Si ottiene dunque
e dunque
(Aµ)lm = A A µ (TA)lm
(δA A µ )TA = iα A A B µ [TA, TB] − 1
g ∂µα A TA = −f C ABαAA B µ − 1
g ∂µα A TA
δA C µ = −f C ABα A A B µ − 1 C
∂µα
g
A differenza del caso abeliano il campo di gauge ha anche una trasformazione omogenea che sopravvive per
trasformazioni costanti.
Riassumendo, la derivata covariante è data da
Poiché sotto una trasformazione locale
vediamo che
Dµ = ∂µ + igA A µ TA
27
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
Dµψ → UDµψ = UDµU −1 Uψ (3.31)
Dµ → D ′ µ = UDµU −1 , ψ → ψ ′ = Uψ (3.32)
Dobbiamo adesso occuparci di costruire l’analogo del tensore elettromagnetico Fµν. Si può fare l’osservazione che
questo tensore si può ottenere tramite il commutatore di due derivate covarianti
[∂µ + iqAµ, ∂ν + iqAν] = iqFµν
L’invarianza della derivata covariante sotto trasformazioni di gauge ha come conseguenza l’invarianza di Fµν. Nel
caso di una simmetria non abeliana le cose sono diverse, perché come abbiamo visto la derivata covariante ha una
trasformazione omogenea non banale sotto il gruppo. Possiamo però definire ancora tramite il commutatore un tensore
che si trasforma in modo omogeneo
e quindi
Definendo
si ha
(3.33)
igFµν = [Dµ, Dν] = [∂µ + igAµ, ∂ν + igAν] = ig (∂µAν − ∂νAµ + ig[Aµ, Aν]) (3.34)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ + ig[Aµ, Aν] (3.35)
Fµν = F A µνTA
(3.36)
F A µν = ∂µA A ν − ∂ A ν − gf A BCA B µ A C ν (3.37)
Le proprietà di trasformazione di Fµν sono identiche a quelle della derivata covariante
Fµν → UFµνU −1
(3.38)
Si può allora definire una lagrangiana invariante analoga a quella per i potenziali e.m. tramite la seguente espressione
− 1
2 Tr[FµνF µν ] = − 1 µν
F A 2 FµνBTr[T A T B ] = − 1
4 F A µνF µνA
La differenza cruciale con il caso elettromagnetico è la presenza di termini bilineari nell’espressione del tensore Fµν
che daranno luogo a termini di interazione trilineari e quadrilineari nei potenziali. Questa diversità nasce dal fatto
(3.39)