Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

Il determinante è allora dato da
det e
iτ · nθ
= det
cos θ + in3 sin θ (in1 + n2) sin θ
=
(in1 − n2) sin θ cos θ − in3 sin θ
= cos 2 θ + |n| 2 sin 2 θ = 1 (3.15)
Inoltre questa è la matrice più generale di SU(2) dato che dipende da 3 parametri. Ricordiamo che una matrice n × n
unitaria, a determinante uno, è definita da 2n 2 parametri soggetti a n 2 vincoli dalla condizione di unitarietà e ad un
vincolo dalla condizione sul determinante. Quindi una matrice di SU(n) contiene n 2 − 1 parametri indipendenti. Se
definiamo α = 2θn, la matrice di SU(2) può essere riscritta nella forma
U = e iτ · α
2
con α vettore arbitrario. Dunque uno spinore ha proprietà di trasformazione
Più in generale se ψ corrispondesse ad una rappresentazione di isospin T si avrebbe
26
(3.16)
ψ → e iτ
2 · α ψ (3.17)
ψl → (e i T · α )lmψm, l, m = 1, · · · , (2T + 1) (3.18)
Supponiamo dunque che la nostra teoria di partenza possieda una simmetria globale corrispondente ad un gruppo
G con generatori T A che soddisfino l’algebra di Lie
[TA, TB] = if C ABTC
Assumeremo anche che i generatori siano scelti in modo tale da soddisfare la condizione
Tr(TATB) = 1
2 δAB
Tutti i termini che non contengono derivate avranno le stesse proprietà sia nel caso locale che nel caso globale.
Dobbiamo dunque preoccuparci solo dei termini che contengono derivate della funzione d’onda. Per questi termini
introdurremo una generalizzazione della sostituzione minimale. Consideriamo un campo che si trasformi come una
qualche rappresentazione lineare di G
ψ → Uψ, U(x) = e iTAα A (x)
Ricercheremo una generalizzazione della derivata covariante tale che
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(Dµ)lmψm = (δlm∂µ + ig(Aµ)lm)ψm ≈ Dµψ → U(x)Dµψ (3.22)
da questa richiesta si possono fissare le proprietà di trasformazione di (Aµ)lm. Scriveremo anche più semplicemente
Aµ, intendendo con questo simbolo la matrice 2 × 2 che ha per elementi (Aµ)lm. La richiesta è dunque
Dal confronto si ha
(∂µ + igA ′ µ(x))ψ ′ (x) = (∂µ + igA ′ µ(x))U(x)ψ(x) = U∂µ + (∂µU) + igA ′ µ(x)U ψ(x) =
= U(∂µ + igAµ(x))ψ (3.23)
A ′ µ = UAµU −1 + i
−1
(∂µU)U
g
Nel caso di una trasformazione infinitesima potremo scrivere
e quindi
U(x) ≈ 1 + iα A (x)TA
δAµ = iα A (x)[ T A , Aµ(x)] − 1
g ∂µα A (x)TA
(3.24)
(3.25)
(3.26)