Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

potenziale:
e le loro caratteristiche dalla derivata seconda
∂V
∂ρ = µ2 ρ + λρ 3 + γρ 5
∂ 2 V
∂ρ 2 = µ2 + 3λρ 2 + 5γρ 4
La condizione di stazionarietà ha le seguenti soluzioni
ρ = 0, ρ 2 ± = 1
−λ ±
2γ
λ2 − 4µ 2
γ
Consideriamo ora le varie possibilità:
79
(8.20)
(8.21)
(8.22)
1. µ 2 > 0, λ > 0. Dato che in questo caso ρ 2 ± < 0 (segue subito dalla regola dei segni di cartesio) si ha come unica
soluzione reale ρ = 0 che risulta un minimo come si vede dalla (8.21)
2. µ 2 > 0, λ < 0. In questo caso le due radici ρ 2 ± sono entrambe positive. E si ha
∂ 2 V
∂ρ 2
= 2ρ
ρ=ρ±
2 ±(λ + 2γρ 2 ±) = ±2ρ 2
± λ2 − 4µ 2γ (8.23)
Pertanto si hanno 3 minimi, in ρ = 0 e ρ = ±ρ+ e due massimi in ρ = ±ρ−. Per decidere lo stato fondamentale
occorre confrontare il valore del potenziale in questi punti. In particolare il potenziale diventa uguale nei tre
minimi per
da cui segue
V (0) = 0 = V (±ρ+) = λρ 2 + + 4µ 2
λ = −4
γµ 2
3
(8.24)
(8.25)
Lungo questa linea nello spazio dei parametri si ha una transizione del primo ordine. La discontinuita in ρ su
questa linea è data da
ρ 2 + = − 3 λ
4 γ
(8.26)
Notiamo che se ci spostiamo dalla linea critica aumentando ρ+ il potenziale diventa positivo e l’unico minimo
rimane in zero. In questa situazione siamo nella fase simmetrica.
3. µ 2 < 0, λ > 0. Adesso ρ = 0 è un massimo, mentre si hanno due minimi degeneri in ±ρ+ (ρ 2 + è la sola radice
positiva). Inoltre vediamo che per µ 2 → 0 i due minimi tendono entrambi al valore ρ = 0. Pertanto la linea
µ 2 = 0, con λ > 0 corrisponde ad una linea di transizioni del secondo ordine.
4. µ 2 < 0, λ < 0. Ancora si ha un massimo in ρ = 0 e due minimi degeneri in ±ρ+. Ma per µ → 0 questi due
minimi permangono.
Notiamo infine che le soluzioni ρ 2 ± sono reali solo per
λ 2 > 4µ 2 γ (8.27)
Questa discussione è illustrata nel piano (µ 2 /γ, λ/γ) in Fig. 40. Abbaimo riscalato i parametri in termini di γ che
essendo positivo non altera l’argomento. In particolare vediamo che il punto tricritico corrisponde all’origine del piano.
I modelli approssimati forniscono delle espressioni esplicite dei parametri µ 2 , λ e γ in funzione della temperatura
e del potenziale chimico. Per esempio i valori tricritici della temperatura e del potenziale chimico corrispondono alla
soluzione contemporanea delle equazioni
µ 2 (Tc, µc) = λ(Tc, µc) = 0 (8.28)