Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

I generatori di O(N) in questa base dei campi sono T AB = −T BA e ɛAB i parametri della trasformazione.
Confrontando con (5.54) si ottiene subito
(T AB )ij = i(δ A i δ B J − δ B i δ A j ) (5.56)
Poiché il campo che abbiamo scelto come rappresentativo dello stato fondamentale è φi|min = vδiN , si ha
dato che a, b = 1, · · · , N − 1 e
T ab
ij φj|min = i(δ a i δ b j − δ b i δ a j )vδjN = 0 (5.57)
T aN
ij φj|min = i(δ a i δ N j − δ N i δ a j )vδjN = ivδ a i = 0 (5.58)
Quindi si hanno N − 1 simmetrie rotte e N − 1 scalari a massa zero.
I generatori di O(N) si dividono naturalmente nei generatori della simmetria dello stato fondamentale O(N−1)) e nei
generatori rotti, ognuno dei quali corrispondente ad un bosone di Goldstone. Più in generale, se la simmetria originale
definita da un gruppo G si rompe spontaneamente ad un sottogruppo H (la simmetria dello stato fondamentale), i
bosoni di Goldstone corrispondono ai generatori di G che sopravvivono dopo aver sottratti i generatori di H.
Intuitivamente l’origine delle particelle a massa nulla può ssere notata osservando che i generatori rotti permettono
delle transizioni tra uno stato fondamentale e l’altro. Dato che questi stati sono degeneri la transizione non costa
energia. La relazione di dispersione relativistica implica che si abbiano particelle a massa nulla. Si può anche dire
che i bosoni di Goldstone corrispondono alle direzioni piatte nel potenziale. Una maniera comoda di parametrizzare
i bosoni di Goldstone è la seguente:
φi =
e −iT aN
πa (χ + v) (5.59)
iN
Per piccoli valori dei campi (ricordiamo che noi siamo interessati ad una espansione perturbativa nell’intorno del
minimo) si ha
Segue
φi ≈ δiN (χ + v) − iδ a i πav (5.60)
φa ≈ −πav, φN = χ + v (5.61)
In questa rappresentazione i bosoni di Goldstone appaiono come i parametri di una trasformazione lungo le direzioni
rotte (dipendente dalla posizione, dato che πa ≡ πa(x)).
Consideriamo un esempio particolare, quello del modello σ-lineare, che corrisponde al caso precedente con N = 4.
Parametrizzeremo i campi nella forma
Questi campi si possono riarrangiare in una matrice 2 × 2 matrix
φ = (π1, π2, π3, σ) = (π, σ) (5.62)
M = σ + iτ · π (5.63)
dove τ sono le matrici di Pauli. La matrice M soddisfa delle condizioni di pseudo-realtà che derivano dal fatto che i
campi σ e π sono reali
M = τ2M ∗ τ2
che segue subito osservando che τ2 è immaginaria pura e che anticommuta con τ1 e τ3. Si vede anche facilmente che
Segue che la lagrangiana (5.42) si può riscrivere nella forma
60
(5.64)
| φ| 2 = σ 2 + |π| 2 = 1
2 Tr(M † M) (5.65)
L = 1
4 T r(∂µM † ∂ µ M) − 1
4 µ2 T r(M † M) − 1
16 λ T r(M † M) 2
Vediamo che in questa forma la lagrangiana è invariante sotto la trasformazione M
(5.66)
M → LMR † , L, R ∈ SU(2) (5.67)