Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

Il motivo per restringersi a trasformazioni di SU(2), cioè di determinante uno e non a trasformazioni di U(2) è al fine
di mantenere la condizione di pseudo-realtà (5.64). Infatti questa implica che
det
σ + iπ3
iπ1 − π2
iπ1 + π2
σ − iπ3
= σ 2 + |π| 2
(5.68)
sia reale. Se L e R fossero trasformazione di U(2) = SU(2) ⊗ U(1) la matrice M acquisterebbe un fattore di fase
nella trasformazione e si perderebbe la condizione di realtà. Tra l’altro questo argomento mostra che il gruppo
SU(2)L ⊗ SU(2)R che è il gruppo di invarianza in questa formulazione deve essere omeomorfo ad O(4) il gruppo
di invarianza con la teoria espressa in termini dei campi φ. In effetti c’e’ una relazione 2 a 1 dato che −L e −R
corrispondono alla stessa trasformazione di L e R. Abbiamo visto che per µ 2 < 0 la teoria ha un minimo a
| φ| 2 = σ 2 + |π| 2 = v 2 = M †
−µ 2
M, v =
(5.69)
λ
Se scegliamo come stato fondamentale quello corrispondente a π = 0, questo equivale a fissare σ = v. Ricordiamo che
una generica matrice non singolare (detM = 0) ammette una decomposizione polare data da
ed inoltre
La dimostrazione è molto semplice, poniamo
M = HU, H † = H, U † = U −1
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(5.70)
H = √ MM † (5.71)
H 2 = MM †
allora H 2 è definita positiva e quindi ne possiamo definire la radice quadrata H. Posto
segue subito che Uè unitaria. Infatti
Nel caso in esame possiamo porre
(5.72)
U = H −1 M (5.73)
UU † H −1 MM † H −1 = H −1 H 2 H −1 = 1 (5.74)
U † U = M † H −2 M = M † M †−1 M −1 M = 1 (5.75)
M = ρ U = ρ e i Π·τ
e per campi piccoli si ha la seguente relazione tra campi vecchi e nuovi
cioè
In presenza di rottura della simmetria abbiamo detto si ha
e quindi la lagrangiana sul minimo sarà data da
(5.76)
ρ U ≈ ρ(1 + i Π · τ) = σ + iπ · τ (5.77)
σ ≈ ρ, Π ≈ ρπ (5.78)
M † M = v 2 → ρ 2 = v 2
(5.79)
L = 1
4 v2 Tr ∂µU † ∂ µ U + termini costanti (5.80)
La lagrangiana che abbiamo ottenuto dipende solo dai campi Π. Notiamo che le proprietà di trasformazione dei campi
sotto O(4) erano inizialmente lineari, ma quando ci mettiamo sul minimo, i campi definiscono una sfera in 4 dimensioni